數學中的類比歸納

李文天，安立堅，陰燕華

一、引言

美國數學家.波利亞曾說過，“科學家處理經驗的步驟，通常稱為類比歸納法。類比歸納法的例子可以在數學研究中找到。”拉普拉斯也說過，“甚至在數學里，發現真理的主要工具也是歸納和類比。”

類比歸納法是數學中最基本的方法之一，它有很大的創造性。許許多多有關數學的理論及數論的結果都是類比歸納的產物，而且有不少數學家都是類比歸納大師，高斯就曾說過，他的許多定理都是靠類比歸納發現的。通過閱讀數學大師波利亞的名著《數學與猜想》，結合一些實例對類比歸納在數學各分支及其它領域對引入新概念、新規律做一個比較系統而又實用的分析探討。

二、類比歸納的內涵

（一）類比歸納的概念

“類比”，在古希臘語中是比例的意思。起初僅僅表示數目之間的一定關系，后來用在邏輯學上，作為獲得推出新知識的一種形式，即類比歸納。G.波利亞說過，“相似對象在某些方面有一致性，如果把它們相似的地方化為明確的概念，那么就把相似的對象看作是可以類比的。如果你把它變為一個清楚的概念，那么也就闡明了類比關系。”

所謂“類比”就是將未知事物與已知事物進行對比比較，根據對象屬性在某些方面的相似處或相同點，進而推出未知事物也有可能顯示已知事物的某些屬性的方法。所謂“歸納”就是對個別或特殊事物概括出相同的本質或一般原理的邏輯思維方法，邏輯學上又稱歸納原理。在類比歸納過程中，尋求熟知的舊知識和陌生的新知識之間的相似原則的原理，可以讓同學們對知識經過正向遷移，做出合理大膽的假設或推理，進行類比歸納的探索，從而發現解決問題的新思路，這種教學法叫做類比歸納。

（二）如何建立類比歸納思想

類比歸納的模式是簡單的，但是具體的類比歸納情況是多樣復雜的。那么我們想象一下事物之間的相似是怎樣建立起來的，又是如何進行歸納的呢？這其中有幾個關鍵的環節。

首先，從已知的經驗引出最正確的信心。經驗改變人們的信念，我們應該從經驗里學習。能夠充分地利用經驗是人類一項偉大的任務，為了這個任務而努力工作是科學家們的應有使命，科學家們為了建立關于某個問題的正確信念而積累最正確的經驗。一般處理經驗的方法，通常稱作類比歸納法。

其次，對事物間的相似從一般化到特殊化到類比再到歸納的啟發性聯想。在1900年國際數學家大會上，偉大的數學家希爾伯特所做的著名演講《數學問題》中講了一般化與特殊化方法。一般化、特殊化是類比思維的左膀右臂。每當我們遇到一個新問題時，你會試圖想起一個與此有關的類似的比較簡單的問題嗎？雖然這是一句簡單的話，卻還是一句特殊的提示語，“與此有關”和“類似”，這就牽涉類比，只有正確有成效的類比才有可能引導我們解決適當的特殊問題。例如，我們從三角形考慮到任意多邊性，從多邊形轉化為考慮正多邊形，還可以從正多邊形轉化為考慮等邊三角形，而且通過類比考慮到不同的立體圖形。

再次，檢驗一下類比歸納出的結論，即支持性聯想。對于歸納得出的結論，要驗證它是正確的還是錯誤的。只要對于一個一般命題在新的特例中仍得以證實，那么此時它就會變得更可信了。

由此可見類比歸納的過程：對于某個問題，抽取同類事物的特征，于是激起某一相似事物的另外一個問題，從不同角度、層次、背景建立類比關系，對照問題是否發現類比關系。如果有，然后進行知識的遷移、類比、歸納、總結。最后，檢驗疑問是否解決。

三、類比歸納引入數學新知識

類比歸納可以使學生對新舊知識有很好的對比理解，很容易記憶一些相似的知識并得到快速的應用，常常可以解決一些無從下手的問題。對于老師，可以在實際的教學中突破一些教學難點，深入淺出地引入一些新概念和新規律，在教學中起到事半功倍的效果，是值得運用的一種教學方案。

（一）初等數學中互逆運算的類比歸納

初等數學中余弦與反余弦運算，余切與反余切運算，正切與反正切運算有相應的恒等式，并二者分別互為逆運算。

根據上面三組互逆運算的性質，可以把關于逆運算的思想合理地類比歸納在微積分上，微分與（不定）積分運算互為逆運算，但不同的是在先微分，后積分的運算時，所得結果要在函數上再加一個積分常數，這是不定積分的性質所決定的。

逆運算廣泛地存在于數學的教學內容之中，上面的互逆運算有一定的類似之處，但由于各自的性質又略有不同。在實際教學中，善于運用類比歸納可以讓同學們很快了解它們的性質，并形象直觀地掌握新舊知識之間的聯系，便于深入理解知識，不易忘記。對于上面的逆運算可以簡單地歸納為：如果對某一事物進行某種運算后，再做逆運算，則得到該事物的回歸，也就是這兩種運算的抵消。這種抵消可以運用到數學中互逆的各種運算，也可以用在其它領域中，比如物理學中的作用力與反作用力的相互抵消。

（二）立體幾何中多面體的類比歸納

數學上，立體幾何是三維歐氏空間幾何的傳統名稱，因為實踐上這大致上就是我們生活的空間。立體幾何是研究空間幾何圖形性質的一門學科,它主要是借助圖形（如棱柱、棱錐、圓柱、圓錐及球等等）的各種變換來研究空間圖形的性質。

初學立體幾何，首先知道每一個多面體都有面、棱、角，這種模糊的說法幾乎每一個人都有所了解，但大多數人沒有認真地去深入研究這句話的意義，也沒有在此基礎上去探究更精確的知識。從不同角度熟悉一個多面體的面、棱、角及性質后，我們在解決復雜的幾何問題時才可得心應手。

現在我們提出一個問題：人們潛意識里認為一個多面體的面數目是隨頂點數目的增大而增大，是否正確呢？

認真地觀察我們熟知的幾個多面體，例如三棱柱的面數是五、頂點數是六、棱的數目是九；立方體的面數是六、頂點數是八、棱的數目是十二；五棱柱的面數是七、頂點數是十、棱的數目是十五；三棱錐的面數是四、頂點數是四、棱的數目是六；四棱錐的數面是五、頂點數是五、棱的數目是八；五棱錐的面數是六、頂點數是六、棱的數目是十；八面體的面數是八、頂點數是六、棱的數目是十二等等。觀察上面數據，是否多面體的面數隨頂點數目的增大而增大呢？比較一下，上述問題是不成立的，即對于多面體建立的面數隨頂點數增大而增大的規律是不成立的。它們之間到底有什么樣的關系呢？通過觀察，面、頂點和棱都不會單獨隨其中任何一個增大而增大，但是否會有二者的聯合增大而增大呢？再次觀察，發現上面的多面體都符合這樣的規律，即面數加頂點數等于棱數加二。通過一般到特殊到類比得出一個關系，對于任何多面體來說，面數加頂點數等于棱數加二。對于歸納出的結論是否成立，我們得去檢驗。

上述已經驗證了立方體和八面體，用上面類比歸納所得的關系去驗證一下十二面體和二十面體。十二面體，有十二個面，每個面都是五角形，每個頂點處有三個面。十二個五角形共有六十個邊，但每個邊都有兩個邊重疊，故有三十個棱。同理，十二面體每個頂點處有三個面，十二個五角形共有六十個角，但每個頂點處都有三個五角形的頂點，故有二十個頂點。即面數是十二，頂點數是二十，棱數是三十。同理，二十面體有二十個面，每個面都是三角形，每個頂點處有五個面，故面數是二十，頂點數是十二，棱數是三十。這兩種情形也滿足我們類比歸納出的關系，即面數加頂點數等于棱數加二。

以上只是舉了一些特殊的棱柱和棱錐，那么對于所有的棱柱和棱錐成立嗎？對于無限數目的多面體也同樣成立，即對于我們初高中學習的各種多面體都成立。

通過類比歸納，我們對多面體有了一個更深層次的了解，學生可以用同樣的方法去研究直線分割平面或平面分割空間等問題，對于以后學習立體幾何、直線與平面及直線與圓錐曲線那部分知識有很大的用處，解決問題時能夠深入了解并熟練運用。

（三）數學疑難問題中的類比歸納

數列問題以其多變的形式和靈活的解題方法備受高考、會考和模擬考試命題者的青睞，歷年來都是高考命題的“熱點”。對學生來說，數列既是重點，又是難點，常常用到的就是數學類比歸納思想。

直到今天，對于數論中最著名的哥德巴赫猜想，即“每一個大于四的偶數都是兩個奇素數的和”，仍是一個我們所不能證明也不能推翻的關于數的一個問題。對于它的證明，許多科學家都是經過類比歸納推理的。雖然它導致一些錯誤，但是只有在前人的教訓及經驗的基礎上才導致了后來人對其更精確的推理，這才是它格外值得珍視的地方。我國數學家陳景潤在此問題的研究上取得了國際最先的研究成果，于1966年證明：“任何充分大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而后者僅僅是兩個質數的乘積。”通常簡稱這個結果為大偶數可表示為“1+2”的形式，稱為陳氏定理。他作為數學家運用類比歸納法探究所研究的問題，我們也應該運用到我們的學習中，盡量學會知識的類比、遷移、歸納總結，加強對知識的理解及應用，起到溫故而知新的作用。

四、小結

重視加強類比歸納思維的訓練可以引導學生發現新知，并運用所學的知識，做知識的類比、遷移、歸納總結，加強對知識的理解及應用，起到溫故而知新的作用。還可以激發學生主動性和研究興趣，培養勇于探索精神，形成嚴謹治學態度。在以后的學習生活中我們應培養類比歸納的思想,融會貫通各個學科間的聯系，如運籌學、化學、管理、醫學、生物學、計算機等領域，類比歸納極大程度上推動了這些學科的發展，并值得我們去進一步研究及應用。

[1]（美）波利亞.數學與猜想[M].北京：科學出版社，1991

[2]趙永青.淺談類比歸納推理[J].哈爾濱市委黨校學報，2005，(3)

[3]程友元.關于逆運算的類比歸納法教學研究[J].數學教育報,2007，(17)

[4]陳顯強.淺談類比歸納法在數學中的應用[J].廣東廣播電視大報，1999，(3)

[5]姜麗妍.歸納和類比方法在中學物理教學中的應用[J].丹東師專學報，1994，(1)