瀝青路面黏彈性泊松比近似方法的比較

陳靜云 孫依人 劉佳音 徐輝

(大連理工大學交通運輸學院，大連 116024)

瀝青混合料是一種典型的黏彈性材料，其泊松比是一個與加載時間(或頻率)相關的函數，而非彈性材料通常采用的常數0.35［1］.若要客觀反映瀝青路面的實際行為特性，應采用黏彈性泊松比對其進行分析.伴隨著計算機計算能力的提高，以有限元法為基礎的力學研究方法為瀝青路面的黏彈性分析提供了有效途徑.然而，大多數通用有限元程序(如ABAQUS，ANSYS等)僅提供了瞬態泊松比的常數參數輸入，并未提供黏彈性泊松比隨時間(或頻率)變化的參數輸入.黏彈性泊松比隨時間變化的規律需要通過輸入體積松弛模量K(t)和剪切松弛模量G(t)的Prony級數來體現.由于體積松弛模量K(t)隨時間變化很小且難以測量，故通常對其進行適當的近似處理，并相應衍生出3種常見的黏彈性泊松比近似方法.目前，關于這3種近似方法各自的特點、相互關系、適用條件以及對瀝青路面動態響應模擬的可靠性的研究較少.為此，本文推導了這3種黏彈性泊松比的數值關系，進而建立了一種三維瀝青路面黏彈性有限元模型，比較分析了在不同溫度(10，25，50℃)、不同加載時間(0.1，0.01，0.001 s)下，3 種黏彈性泊松比近似方法對瀝青路面橫向正應力響應的影響.

1 本構關系

瀝青混合料是典型的黏彈性熱流變簡單材料.根據Boltzmann線性疊加原理，可以得到瀝青混合料的積分型本構關系為［2］

式中，τ為積分變量；E(t)為松弛模量；σ為應力；ε為應變；tr為參考溫度為T0時的縮減時間，其與物理時間t的關系為

式中，αT為時間-溫度移位因子.松弛模量E(t)通常可由Prony級數表示，即［3］

式中，Eg為玻璃態(瞬態)模量；Ei為松弛強度；ρi為松弛時間；Ee為平衡模量.

黏彈性泊松比也可表示為相似的形式［3］，即

式中，μg為玻璃態(瞬態)泊松比；μi為與 θi對應的橫向收縮比；θi為推遲時間；μe為平衡泊松比.

對各黏彈性材料函數進行Carson變換，將其從時間域變換到復數域，變換前后函數的對應關系為

式中，s為變換參數；G(t)為剪切松弛模量；K(t)為體積松弛模量；~E(s)，~μ(s)，~G(s)，~K(s)分別為E(t)，μ(t)，G(t)，K(t)經 Carson 變換后的函數形式.

由彈性-黏彈性對應原理可知，在復數平面內各材料函數間存在與彈性材料類似的關系，即

利用移位因子αT，可以將溫度T和加載角頻率ω合并成一個在參考溫度下的縮減角頻率ωr=ωαT.通過 Carson 變換和變量替換 s→ωri，可將松弛模量E(t)轉換成頻域下的復數模量E*(ωr).在高溫、低頻加載條件和低溫、高頻加載條件下，ωr分別趨于0和∞，復數模量E*(ωr)相應達到接近平衡模量Ee和瞬態模量Eg的狀態，均稱為準彈性狀態.

2 3種黏彈性泊松比近似方法

體積松弛模量K(t)隨時間變化很小且難以測量，故通常對其進行適當的近似處理，并相應衍生出如下3種黏彈性泊松比近似方法:

1)將體積松弛模量K(t)近似為彈性常數Kc時，式(6)經逆變換可得

此時，泊松比可以表示為隨時間變化的泊松比μ(t)［4-6］.

2)將瀝青混合料視為不可壓縮材料時，K(t)趨于無窮大，式(6)經逆變換可得

此時，泊松比可以表示為不可壓縮泊松比μ(t)=0.5［7］.

3)假設體積松弛模量K(t)、剪切松弛模量G(t)和松弛模量E(t)均具有相同的松弛時間分布，由式(6)可知，這3個材料函數之間仍存在彈性狀態下的數值關系，即

此時，泊松比即為常數泊松比 μ(t)= μc［8-9］.

瀝青混合料黏彈性泊松比隨溫度或加載頻率變化，其范圍約為 0.1 ～0.5［10-11］.本文令瞬態泊松比μg=0.1，平衡泊松比μe=0.5.由式(7)～(9)可知，本質上方法2)是假設泊松比始終為平衡泊松比μe，方法3)是假設泊松比始終為瞬態泊松比μg，而方法1則是介于上述兩者之間的狀態，即泊松比為0.1～0.5之間隨時間(或頻率)變化的函數.

3 有限元模型

為比較不同黏彈性泊松比近似方法對瀝青路面動態響應的影響，利用ANSYS程序建立了瀝青路面三維黏彈性有限元模型(見圖1).路面結構由瀝青面層、基層和路基組成.瀝青上面層材料型號為SMA13，厚度為0.04 m；中面層材料為改性瀝青Superpave20，厚度為0.06 m；下面層材料為普通瀝青Superpave25，厚度為0.08 m.瀝青面層的3種材料松弛模量E(t)的Prony級數參數詳見文獻［12］；時間-溫度移位因子的試驗過程及結果詳見文獻［13］.基層材料為級配碎石，厚度為0.4 m，彈性模量為250 MPa，阻尼比為0.05；路基的彈性模量為60 MPa，阻尼比為0.05.路面幾何尺寸為6 m×6 m×6 m，采用雙輪均布荷載，將加載區域簡化為2個正方形(尺寸為20 cm×20 cm)，雙輪中心距為30 cm.模型與荷載均具有對稱性，故采用1/4模型.施加對稱邊界條件，并假設模型底面無z方向位移，行車方向前后面無y方向位移，左右面無x方向位移.采用SOLID185單元對幾何模型進行網格劃分.采用半正弦荷載模擬動態輪載，即［7］

式中，q=0.7 MPa為荷載幅值；d為加載時間，此處 d=0.1，0.01，0.001 s.

圖1 路面模型示意圖

4 橫向正應力響應分析

在豎向車輪荷載作用下泊松比效應對路面的橫向響應影響最為顯著，故本文對應用不同黏彈性泊松比近似方法獲得的橫向正應力響應進行比較分析.首先，確定計算點.在溫度為25℃、加載時間為0.01 s的條件下，荷載達到峰值時距輪隙中心不同距離、不同深度處橫向正應力σx的分布情況見圖2.由圖可見，在距離輪隙中心5～25 cm的位置(即單側輪載)處，橫向正應力的絕對值隨著路面深度的增加逐漸減小，最終從壓應力變為拉應力，而在輪隙中心除0.02 m深處橫向正應力絕對值低于單側輪底壓應力外，其他深度處橫向正應力絕對值均達到最大值，即輪隙中心處為最能體現泊松比對橫向正應力影響的位置.通過對輪隙中心處不同深度橫向正應力的比較發現，最大壓應力出現在改性瀝青SMA13層和改性瀝青Superpave20層的結合處，因此選擇輪隙中心改性瀝青SMA13層和改性瀝青Superpave20層的結合處作為計算點.

圖2 荷載達到峰值時不同深度的橫向正應力分布

圖3 d=0.01 s時橫向正應力的時程曲線

圖3給出了d=0.01 s時不同溫度(10，25，50℃)下橫向正應力σx的時程曲線.由圖3(b)可知，溫度為25℃時采用不同黏彈性泊松比近似方法計算出的橫向正應力有很大差別.由方法2計算得到的最大橫向正應力(0.412 MPa)為方法3計算結果(0.223 MPa)的1.81倍，而方法1得到的橫向正應力曲線處于上述2條曲線之間.由圖3(c)可知，在高溫(50℃)條件下，基于方法2和方法3的曲線差別更大，而基于方法1和方法2的曲線幾乎重合.另一方面，由圖3(a)可知，10℃時基于方法1的曲線更為接近基于方法3的曲線；由3種泊松比之間的數值關系可以推測，若溫度繼續降低，這2條曲線也將變得更加接近甚至重合.這種現象可以用時間-溫度等效原理來解釋，即高溫條件等效于低頻加載條件，而低溫條件等效于高頻加載條件.高溫時瀝青混合料更容易產生應力松弛現象，從而導致泊松比從0.1迅速變化到接近0.5的狀態，因此50℃時基于方法1與方法2的曲線十分接近.相反地，在低溫條件下，由于瀝青混合料松弛時間延長，瀝青面層處于準彈性狀態，其泊松比接近于瞬態泊松比0.1，故基于方法1的曲線更靠近基于方法3的曲線.

考慮到黏彈性材料除具有溫度依賴性外，還具有時間(或頻率)依賴性，故對相同溫度、不同加載時間(不同車速)下的橫向正應力進行了比較分析.圖4給出T=25℃，d=0.001，0.1 s時橫向正應力的時程曲線.與圖3(b)相比，d=0.001 s時，基于方法1的曲線更接近基于方法3的曲線；而d=0.1 s時，基于方法1的曲線幾乎與基于方法2的曲線重合.由3種泊松比之間的數值關系可以推測，若加載時間足夠短(頻率足夠高)，基于方法1的曲線將十分接近基于方法3的曲線，甚至與之重合.這仍然可由時間-溫度等效原理解釋.由圖3和圖4可知，當溫度增加時，基于方法2和方法3的曲線差異增大，但當加載時間增加時這2條曲線間的差異逐漸縮小.這是因為除了黏彈性泊松比，瀝青層的彎曲剛度也對曲線變化趨勢造成了一定的影響，而瀝青路面的橫向正應力是各黏彈性材料函數共同作用產生的綜合響應.

圖4 T=25℃時橫向正應力的時程曲線

黏彈性泊松比作為反映瀝青混合料橫向變形的重要物理參數，與流動性車轍的產生存在密切關系［14］.瀝青路面橫向正應力造成的側向推移是流動性車轍產生的主要原因之一.通過上述分析可以發現，黏彈性泊松比對瀝青路面在豎向荷載作用下產生的側向推移有直接影響.因此，依據道路材料工作溫度區域和荷載頻率的不同，采用正確的黏彈性泊松比近似方法，對于模擬橫向流動性車轍及進一步研究其產生機理有重要意義.

5 結論

1)高溫、低頻加載條件下，采用隨時間變化泊松比方法得到的橫向正應力與采用不可壓縮泊松比方法得到的結果接近；低溫、高頻加載條件下，采用隨時間變化泊松比方法得到的橫向正應力與采用常數泊松比方法得到的結果接近.這種規律符合熱流變簡單材料的時間-溫度等效原理.

2)不同黏彈性泊松比近似方法對橫向正應力計算結果影響顯著.不可壓縮泊松比始終保持為0.5，適用于高溫、低頻加載條件；常數泊松比始終保持為初始瞬態泊松比0.1，適用于低溫、高頻加載條件；隨時間變化泊松比則由溫度和加載時間(或頻率)決定，其值在0.1～0.5之間變化，應用不受溫度與加載模式的限制.

3)瀝青路面的側向推移是流動性車轍產生的主要原因之一，而黏彈性泊松比對瀝青路面在豎向荷載作用下產生的側向推移有直接影響.因此，依據道路材料工作溫度區域和荷載頻率的不同，采用正確的黏彈性泊松比近似方法對于模擬橫向流動性車轍及分析其產生機理有重要意義.

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