基于數字鎖相環控制的硅微陀螺儀驅動模態分析與實驗

王曉雷 張印強，3 楊 成 李宏生

(1東南大學儀器科學與工程學院，南京 210096)(2東南大學微慣性儀表與先進導航技術教育部重點實驗室，南京 210096)(3南京工業大學自動化與電氣工程學院，南京 210009)

硅微陀螺儀具有體積小、成本低、功耗低、易于集成化等特點，被廣泛應用于慣性技術測量和慣性導航等測控領域［1-2］.根據哥氏效應原理，硅微陀螺儀的測量系統可分為驅動和檢測2個模態，其中驅動振動是實現檢測模態測量輸入旋轉角速度的前提，同時決定著測量的精準度.

由于受到溫度等外界環境的影響，驅動模態的諧振頻率會發生漂移.為了保證驅動信號的頻率總是與驅動模態的諧振頻率保持一致，通常采用閉環控制的方式對驅動信號頻率進行控制.常用的控制方法有自激振蕩［3］和鎖相環控制［4］2 種.自激振蕩需要準確的360°移相形成自激環路，實現起來較為困難；同時，用于實現解調的正交信號一般由驅動檢測振動信號移相90°得到，精度較低.而鎖相環是基于相位控制的閉環控制系統，可以同時產生正交的2路信號，使用方便.但是，目前鎖相環多采用模擬電路實現，容易出現失調誤差和器件老化等問題，且靈活性差.數字鎖相環由于采用軟件編程實現，操作方便，易于修改和合成，更有利于實現高精度控制.

本文采用基于數字鎖相環的相位控制方案，對硅微陀螺儀的驅動模態頻率進行跟蹤和控制，并通過仿真和實驗驗證了方案的可行性.

1 硅微陀螺儀驅動模態分析

線振動式硅微陀螺儀由2個正交的二階機械振動［5-6］構成，可分別實現驅動模態和檢測模態的功能，理想情況下可表示為

式中，m為振動質量塊質量；cx，cy分別為x方向和y方向上的阻尼系數；kx，ky分別為x方向和y方向上的剛度；Fd為驅動信號的幅度；ωd為驅動信號的頻率；Ωz為z軸旋轉角速度；t為時間.

對驅動模態方程(1)求解，可得到驅動模態的振動幅值和相位分別為

式中，ωnx=為驅動模態的諧振頻率；Qx=mωnx/cx為驅動模態的品質因數.

由式(3)可知，當驅動信號的頻率與驅動模態的諧振頻率相等(即ωd=ωnx)時，驅動模態獲得最大的能量轉換.由式(2)可知，當輸入角速度Ωz不為0時，增大驅動振動位移，可以提高檢測模態振動的幅度，增加角速度的測量靈敏度.為了提高硅微陀螺儀驅動模態的能量轉換效率和檢測靈敏度，必須設計專門的控制電路，在頻率上實現驅動信號頻率與驅動模態諧振頻率相等，在相位上滿足φx=－90°.

由于溫度變化等外界因素的影響，硅微陀螺儀驅動模態的諧振頻率會發生偏移.以本實驗室制造的硅微陀螺儀為例，當溫度在－40～60℃內變化時，驅動模態的諧振頻率變化量約為7 Hz.假設常溫時驅動模態的諧振頻率為3139.4 Hz，當以固定的驅動頻率進行驅動時，溫度變化而導致的最大頻率誤差為2.23×10－3，故不能使驅動信號工作在驅動模態的諧振頻率點上.因此，為了保證驅動信號以驅動模態諧振頻率驅動硅微陀螺儀振動，必須采用閉環控制方式以保持驅動頻率和驅動模態諧振頻率一致.由式(4)可知，當驅動頻率與驅動模態諧振頻率不等時，驅動振動的相位也將發生偏移.通過正交解調的方法，能夠方便地解出相位.由此可知，利用相位判斷驅動模態是否處于諧振狀態較容易實現.

2 基于PLL原理的頻率控制

2.1 鎖相環的基本原理

鎖相環是根據輸入信號與輸出信號的相位差來控制振動信號頻率的一種閉環控制系統，主要由鑒相器(PD)、環路濾波器(LPF)和壓控振蕩器(VCO)組成(見圖1).其中，鑒相器用于比較輸入信號ui(t)和輸出信號uo(t)的相位關系，并生成含有相位差的信號ue(t)；環路濾波器采用低通濾波器，濾掉鑒相器輸出中的高頻成分，得到穩定的相位偏差信號uc(t)；壓控振蕩器是電壓控制器件，根據輸入電壓的大小調整輸出信號的頻率.在鎖相環回路中，當輸入信號和輸出信號的相位不一致時，由鑒相器和環路濾波器處理得到兩者的相位差信號.以相位差信號作為壓控振蕩器的控制信號，及時調整壓控振蕩器輸出信號的頻率，使輸出信號uo(t)與輸入信號ui(t)的頻率保持一致.

圖1 鎖相環原理圖

2.2 硅微陀螺儀鎖相環的控制原理

根據鎖相環的基本原理，結合硅微陀螺儀驅動模態的特性方程，構建了控制驅動信號頻率的鎖相環相位控制方案，其原理圖見圖2.圖中，Kvf為驅動電壓到驅動力的轉換系數；Kxv為驅動振動位移到驅動振動電壓的轉換系數.

圖2 基于鎖相環控制的硅微陀螺儀原理圖

由硅微陀螺儀的原理可知，當驅動信號的頻率與驅動模態的諧振頻率相等時，驅動檢測信號的相位滯后于驅動信號90°.通過采用正交乘法解調的方法［7-8］可以求出兩者的相位差.假設鎖相環輸入信號 ui=cos(ωdt+ θd)，輸出信號 uo=sinωdt，其中，θd為驅動檢測信號的相位，即偏離驅動模態諧振頻率的相位.兩信號相乘可得解調信號up，即

式(5)中包含了2倍頻信號和含有相位信息的直流偏置信號，若通過低通濾波器濾除掉高頻，則可得到含有相位信息的信號.當θd很小時，存在近似關系sinθd≈θd，故帶有增益的相位信號(即相位誤差ue)為

PI控制算法是一種有效控制誤差變量的方法，由比例控制和積分控制構成.比例控制可以提高變化響應的快速性，積分控制則起到平均的作用，以減小穩態誤差.當輸入的相位誤差信號發生變化時，PI控制器能夠快速響應，這時，輸出的控制電壓為uc，且

式中，Kp和Ki分別為PI控制器的比例參數和積分參數.

壓控振蕩器是一種信號發生裝置，通過控制輸入電壓可以改變輸出信號的頻率，并能同時生成正弦和余弦信號.壓控振蕩器的輸出頻率ωd'由中心頻率ω0、驅動信號頻率ωd與中心頻率的偏差以及相位控制電壓uc與壓控振蕩器增益Ko的乘積共同組成，即

振蕩信號的產生可分為以下2步:①對壓控振蕩器的輸出頻率積分，得到不同時刻的相位；②根據不同時刻的相位，計算正弦或余弦值，即可產生時域正弦或余弦信號.在實際電路中，可由直接數字頻率合成(DDS)算法實現，輸出信號為

信號uo作為驅動電壓信號，經Kvf轉換為靜電力，在諧振頻率下驅動硅微陀螺儀振動.提取硅微陀螺儀振動位移，并經Kxv轉換為驅動振動電壓信號，此時，鎖相環的輸入與輸出相位差為90°.因此，通過判斷陀螺儀驅動電壓和驅動振動電壓的相位關系，可以實現硅微陀螺儀的鎖相環閉環驅動控制.

2.3 硅微陀螺儀鎖相環的相位控制

由于存在非線性環節，硅微陀螺儀鎖相環閉環控制電路為非線性控制系統［9］.由文獻［10］可知，鎖相環在鎖定狀態下具有線性特性.為了方便分析，構建線性系統分析鎖相環的相位控制(見圖3).圖中，θi為輸入相位，θo為輸出相位，Ka為鑒相器的增益.

圖3 鎖相環相位控制線性模型

低通濾波器LPF采用一階低通實現，傳遞函數為

式中，ωc為轉折頻率；s為Laplace算子.壓控振蕩器VCO的傳遞函數為

式中，Ko為積分系數.

因此，鎖相環的開環增益為

其鎖相環的閉環傳遞函數為

閉環控制系統的特征方程為

求解方程(14)得到如下2個根:

由于ωc為濾波器的截止頻率，ωc＞0，不論ωc2－4KaKoωc為何值，方程(14)的根都會具有負實部，閉環控制系統的極點均位于s左平面上，因此，鎖相環閉環控制系統為漸進穩定系統.

隨著溫度等外界條件的變化，硅微陀螺儀的驅動模態諧振頻率產生相應的階躍響應.輸入相位θi在t=0時刻發生階躍變化，假設相位階躍函數為

式中，u(t)為單位階躍函數；Δφ為相位變量.該相位階躍函數的拉氏變換為

根據拉氏變換終值定理可知，當時間t趨向于無窮時有

因此，當t趨向于無窮時，相位誤差趨向于0，即相位與輸入相位保持一致.此時，輸出頻率也鎖定在輸入頻率上，實現了對輸入頻率的自動跟蹤.

3 電路仿真與實驗

3.1 電路仿真

為了驗證鎖相環的跟蹤特性，對硅微陀螺儀鎖相環驅動控制技術進行仿真分析.圖4為Matlab/Simulink環境下的仿真示意圖.圖中，fd為觀測驅動頻率.硅微陀螺儀驅動模態的初始諧振頻率設為fnx=3139.4 Hz，其他仿真參數分別設置為ωnx=2πfnx=1.9725 × 104rad/s，Qx=2000，m=0.667 mg，Kvf=1.45 ×10－7N/V，Kxv=8.75 ×105V/m，Ko=100 Hz/V，ωc=628 rad/s，Kp=10，Ki=0.04.

為了檢驗鎖相環電路的閉環控制特性，設計了仿真實驗.開始時，設置壓控振蕩器的中心頻率較驅動模態諧振頻率高100 Hz，經過1 s后，諧振頻率增加10 Hz，觀察鎖相環的動態跟蹤過程.

圖4 硅微陀螺儀鎖相環驅動模態仿真示意圖

開始運行后，驅動頻率與諧振頻率之間存在頻率差，導致鎖相環檢測到的硅微陀螺儀驅動信號與驅動檢測信號不完全正交，存在非正交相位差.在鎖相環的控制下，通過相位解調、低通濾波和PI控制，得到對應的控制電壓uc(見圖5).由于頻率差的存在，控制電壓uc急劇下降.在uc的控制下，驅動信號頻率迅速減小，直到與驅動模態諧振頻率相等.此時，控制電壓uc穩定下來，表明鎖相環的輸入信號和輸出信號正交，硅微陀螺儀在驅動方向上處于諧振狀態.運行至1 s時，硅微陀螺儀的諧振頻率發生變化，根據驅動模態的相頻特性，硅微陀螺儀驅動信號與驅動檢測信號的相位差不等于90°，存在非正交的相位差.同樣，經過鎖相環的一系列信號處理，得到控制電壓uc.在uc的作用下，VCO迅速調整驅動信號的頻率，使驅動信號頻率與驅動模態的諧振頻率保持一致，從而實現對驅動模態諧振頻率的跟蹤和鎖定.仿真中，鎖相環的響應時間小于0.1 s，鎖頻范圍大于100 Hz.

圖5 鎖相環控制的控制電壓和頻率變化曲線

3.2 實驗

為了進一步驗證鎖相環控制的有效性，根據鎖相環閉環控制原理，結合AGC幅度控制算法［11］，設計了基于FPGA的電路控制方案(見圖6).其中，FPGA選用Altera公司的 Cyclone系列芯片，AD轉換器和DA轉換器分別采用24位和16位精度的轉換芯片，硅微陀螺儀微結構采用本實驗室研制的結構解耦雙質量線振動硅微陀螺儀［12］.圖6中，ug為幅值增益控制信號.

圖6 鎖相環控制硅微陀螺儀驅動模態方案

將硅微陀螺儀放置在溫控箱內，通過調節溫控箱的溫度來改變硅微陀螺儀的環境溫度，陀螺儀驅動模態的諧振頻率也隨之發生變化.實際使用的硅微陀螺儀及實驗測試設備照片見圖7.

圖7 硅微陀螺儀及實驗設備照片

開環驅動時，測試硅微陀螺儀的驅動模態諧振頻率.首先，設置溫控箱為60℃，保持30 min，使陀螺整體均勻受熱.然后，以信號發生器產生的正弦波信號作為硅微陀螺儀的驅動信號，通過調整驅動信號頻率，使驅動檢測信號的有效值達到最大值，此時可認為驅動信號的頻率與陀螺儀驅動模態的諧振頻率相同，記錄下驅動頻率值.然后，將溫控箱的溫度依次設置為40，20，0，－20，－40 ℃，重復上述實驗，得到各個溫度測試點的驅動模態諧振頻率.

閉環驅動時，測試硅微陀螺儀的驅動信號頻率.首先，將溫控箱升高到60℃，保持30 min.然后，使溫控箱的溫度以1℃/min的速度下降，降溫過程中的驅動信號頻率通過FPGA串口傳送到計算機中，得到60～－40℃的溫度曲線.在溫度曲線中分別找到60，40，20，0，－20，－40 ℃對應的驅動信號頻率，即為驅動模態閉環控制下各溫度點對應的諧振頻率.

硅微陀螺儀驅動模態的開環諧振頻率和閉環驅動頻率見表1.

表1 開環諧振頻率和閉環驅動頻率 Hz

由表1可知，隨著溫度的下降，硅微陀螺儀驅動模態的諧振頻率逐漸減小，并且在各個溫度測試點上，驅動信號的頻率與驅動模態的諧振頻率的最大差值小于0.08 Hz，跟蹤相對誤差為2.5×10－5，說明鎖相環頻率跟蹤系統能夠較好地實現驅動信號頻率對驅動模態諧振頻率的跟蹤.

由此可知，硅微陀螺儀驅動模態諧振頻率變化跟蹤實驗結果與理論分析結果一致，表明鎖相環閉環頻率控制是可行的，且具有較高的動態控制精度.

4 結語

通過分析硅微陀螺儀的驅動模態控制方程特性，提出了一種基于數字鎖相環技術控制驅動信號頻率的方法.結合硅微陀螺儀數字鎖相環閉環控制的原理，分析了鎖相環頻率控制的可行性和穩定性.在Matlab/Simulink環境下進行了鎖相環閉環控制的仿真，并設計電路進行實驗驗證.結果表明，基于鎖相環控制的硅微陀螺儀驅動信號能夠時刻跟蹤驅動模態諧振頻率的變化，并鎖定在諧振頻率點上，其跟蹤相對誤差為2.5×10－5.因此，基于數字鎖相環閉環控制的硅微陀螺儀頻率控制是可行的.

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