擾動算子的群可逆性及其表示

胡春梅

(麗江師范高等專科學校 數計系，云南 麗江 674100)

1 引言與引理

設X和Y為兩個任意可分的Banach空間，L(Χ，Υ)是從X到Y的有界線性算子的全體，L(Χ，X)記為L(Χ)。對任一算子A∈L(Χ，Υ)，R(A)，N(A)和Reσ(A) ＞0分別表示A的值域，零空間和特征值的實部。

定義1[1]設 A∈ L(Χ)，稱滿足下列方程的算子 X∈L(Χ)

(1)AXA=A，(2)XAX=X，(3)AX=XA為A的群逆，記X=Ag。且A的指標為1，即Ind(A)=1。

引理1[2]設A∈L(Χ)且Ind(A)=1，則在空間分解Χ=R(A)⊕R(A)⊥下，存在可逆算子

此時，

引理2 設A∈L(Χ)且Ind(A)=1，E∈ L(Χ)。若‖AgE‖＜1，則I+AgE和I+EAg均可逆，且

2 主要結果

定理1 設A∈L(Χ)且Ind(A)=1，E∈L(Χ)，B=A+E，‖AgE‖＜1，AAgEAπ=0，

若EAπ=0，AπE=0則 B是群可逆的且 Bg=(I+

證明：由引理1可知，在空間分解Χ=R(A)⊕R(A)⊥下，A、Ag和AAg、Aπ分別具有(1)和(2)中的形式，且可設E=

由條件AAgEAπ=0，EAπ=0，AπE=0，可計算出E12=0，E21=0，E22=0.

又因為‖AgE‖ ＜1，則由引理2，I+AgE可逆，即I+Ag可逆，則A11+E11可逆，所以由引理1知B是群可逆的。

[1]DJORDJEVIC D.S.，VLADIMIRI RAKOCEVIC。Lectures on generalized inverse[M].Faculty of Sciences and Mathematics：University of NiS，2008.

[2]Conway J.B.A Course in Functional Analysis.Springer-Verlag，New York Inc.1990.

[3]BEN-ISRAEL A，GREVILLE T.Generalized Inverse：Theory and Applications[M].New York：Wiley，1974.

[4]Castro N，Koliha J J，Wei Yi Min.Integral representation of Drazin inverse AD[J].Electronical J.Linear Algebra，2002(9).

[5]楊凱凡，杜鴻科。擾動算子的Drazin可逆性及其Drazin逆的表示[J]。數學學報，2010，53(6)。