微分中值定理的推廣與應用

程 娜

遼寧廣播電視大學 （沈陽 110034）

1 中值定理的內容及聯系

1.1 基本內容

1.1.1 Rolle定理

1.1.2 Lagrange定理

1.1.3 Cauchy定理

1.2 三個定理之間的聯系

對這三個定理進行觀察和類比，從中可以發現這三個定理條件和結論都很相似，通過改變條件還可能互相轉化。從而我們可以得出這樣的結論：拉格朗日（Lagrange）定理是羅爾（Rolle）定理的推廣，而羅爾（Rolle）定理是拉格朗日（Lagrange）定理的特例，拉格朗日（Lagrange）定理是柯西（Cauchy）定理收縮，而柯西定理則是拉格朗日定理的推廣。

2 定理的推廣

3 定理的應用

3.1 利用微分中值定理來證明不等式

例 設函數 f( x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f( 0)= 0 ,f( 1)= 1 。試證：對任意給定的正數a, b在(0,1)內不同的ξ,η

又由于 f( x)在[0,1]上連續且 f ( 0)= 0 ,f ( 1)= 1 。由介值性定理,? τ ∈ ( 0,1)使得

f( x)在[0,τ],[τ,1]上分別用拉格朗日中值定理有

即

即

于是由上面兩式有

將兩式相加得

3.2 用微分中值定理求極限

解：根據題意，由Lagrangge定理，有

3.3 利用定理證明方程根（零點）的存在性

對微分中值定理的研究和應用從微積分建立之初就開始了，本文從三個方面介紹了該定理的運用。通過以上的例題讓大家了解，運用中值定理的關鍵和解題的難點，是在于構造輔助函數。對微分中值定理本課題主要是以羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，三個定理之間的聯系為主要的研究對象，希望通過本篇文章能夠使大家對微分中值定理的內容更加深刻了解，同時在應用中值定理時更加熟練。

[1]華東師范大學數學系編.數學分析第三版[M].北京：高等教育出版社,2001.

[2]孫清華,孫昊編.數學分析內容、方法與技巧（上）[M].武漢：華中科技出版社,2003.

[3]北京郵電大學數學教研室，高等數學[M].北京：北京郵電在學出版社,2003.

[4]同濟大學應用數學系，高等數學[M].北京：高等教育出版社，2002.