基于積分的級數斂散性判別方法

朱智慧 （長江大學一年級教學工作部，湖北 荊州434025）

無窮級數與微積分是數學分析的2大基本內容，它們在方法和理論上是共同發展和成熟起來的，兩者都以極限為工具從收斂與發散2方面研究函數，在一般教材中積分的應用比較多談到的是幾何應用［1－3］，而利用積分判定級數斂散性則很少提及。下面，筆者通過應用定積分與反常積分對級數斂散性的判定進行了探討。

1 級數與定積分

定義1 若函數f（x）在［a，b］上有界，在［a，b］中任意插入若干個分點：

由定義1可以看出，定積分是積分和的極限，因此可對無窮級數前n項的和構成的數列極限問題轉化為定積分來解決。

2 級數與反常積分

2.1 級數與無窮限反常積分

由數學分析中的歸結原則［1］可得以下定理：

2.2 級數與無界函數的反常積分

3 結 語

在高等數學的學習過程中，可以通過一定條件下級數與積分的內在聯系，使得所遇級數問題與積分問題可以得到相互轉化，從而解決問題。同樣，在高等數學教學過程中，更加應該加強對知識點的串聯，從而培養學生知識的遷移能力，更好的掌握所學知識，達到知識的融會貫通。

［1］華東師范大學數學系 .數學分析 ［M］.北京：高等教育出版，1991.

［2］同濟大學數學系 .高等數學 ［M］.北京：高等教育出版，1978.

［3］陳傳璋 .數學分析 ［M］.第2版 .北京：高等教育出版社，1983.