基于狀態(tài)空間的Buck型變換器數(shù)字電壓控制

李 峰

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司20所，西安710068）

0 引 言

利用經(jīng)典控制理論進(jìn)行Buck型變換器的數(shù)字控制器設(shè)計(jì)時(shí)，需要先完成控制器的連續(xù)域（s域）設(shè)計(jì)，然后再將其轉(zhuǎn)換成離散域（z域）的差分方程以實(shí)施數(shù)字控制［1］，這導(dǎo)致數(shù)字控制系數(shù)與系統(tǒng)設(shè)計(jì)指標(biāo)之間不存在直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系［2］。當(dāng)數(shù)字反饋控制不能滿足系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求時(shí)，無(wú)法判斷哪個(gè)控制系數(shù)需要調(diào)節(jié)以及如何調(diào)節(jié)，只能返回連續(xù)域（s域）階段重新設(shè)計(jì)，甚至需要反復(fù)試探多次才能達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

針對(duì)上述問(wèn)題，基于狀態(tài)空間理論和離散等效技術(shù)［3］，本文提出了Buck型變換器的數(shù)字電壓控制及其設(shè)計(jì)流程，可一次性完成數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)工作，避免了經(jīng)典控制理論固有的反復(fù)試探性。

1 被控對(duì)象的跟蹤控制模型

Buck型變換器的控制環(huán)路中，由功率級(jí)電路、數(shù)字脈沖寬度調(diào)制器（DPWM）和模／數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC）構(gòu)成了被控對(duì)象，如圖1所示［4］。其中vG、vO、vref、iL、uU、eE和dD分別是Buck型變換器的輸入電壓、輸出電壓、參考電壓、功率級(jí)電感電流、數(shù)字占空比、數(shù)字誤差電壓和模擬占空比。

圖1 Buck型變換器的被控對(duì)象結(jié)構(gòu)

選擇電感電流和輸出電壓作為狀態(tài)變量，得到功率級(jí)電路、DPWM和ADC的交流量狀態(tài)方程分別為［5－6］：

式中：L、C和R分別為功率級(jí)的濾波電感、濾波電容和負(fù)載電阻；VG和D分別為輸入電壓和模擬占空比的穩(wěn)態(tài)直流量；il（t）、vo（t）、vg（t）和d（t）為對(duì)應(yīng)的交流量；KDPWM和KADC分別為DPWM和ADC的傳遞函數(shù)；u（t）、e（t）和vref（t）分別為數(shù)字占空比、數(shù)字誤差電壓和參考電壓的交流量。

式（1）和式（2）說(shuō)明Buck型功率級(jí)電路的核心是LC濾波電路，式（3）和式（4）說(shuō)明DPWM 和ADC可等效成常數(shù)傳遞函數(shù)的比例環(huán)節(jié)，所以圖1所示的被控對(duì)象屬于二階諧振系統(tǒng)。為實(shí)現(xiàn)Buck型變換器的跟蹤控制，需要在模／數(shù)轉(zhuǎn)換器后面串行加入一個(gè)積分環(huán)節(jié)（復(fù)頻域模型1／s），使得原被控對(duì)象由二階系統(tǒng)升至三階系統(tǒng)。設(shè)q是積分輸出交流量，則存在下面關(guān)系式：

選擇積分輸出交流量作為第3個(gè)狀態(tài)變量，合并式（1）、式（2）、式（3）和式（5），得狀態(tài)方程模型：

式中：A為狀態(tài)矩陣；B為輸入矩陣。

輸出方程為：

式中：C為輸出矩陣；D為直接轉(zhuǎn)移矩陣。

模型式（9）中包含了積分環(huán)節(jié)，便于實(shí)現(xiàn)Buck型變換器的跟蹤控制，所以稱該模型為被控對(duì)象的跟蹤控制模型。

2 跟蹤控制模型的可控性和可觀性

系統(tǒng)可控矩陣是行滿秩矩陣，則系統(tǒng)完全可控；系統(tǒng)可觀矩陣是列滿秩矩陣，則系統(tǒng)完全可觀［1］，針對(duì)上述跟蹤控制模型，分別得出對(duì)應(yīng)的可控矩陣和可觀矩陣為：

可控矩陣MC和可觀矩陣MO的秩均等于3，分別是行滿秩矩陣和列滿秩矩陣，說(shuō)明Buck型變換器的被控對(duì)象完全可控且完全可觀，利用輸入信號(hào)控制被控對(duì)象有意義，利用輸出信號(hào)進(jìn)行反饋控制可行。

3 數(shù)字電壓控制

3.1 數(shù)字控制器結(jié)構(gòu)

以跟蹤控制模型的輸出電壓vO和積分輸出量qQ作為反饋源，由比例環(huán)節(jié)F1和積分環(huán)節(jié)構(gòu)成積分反饋支路，由F2構(gòu)成電壓反饋支路，形成Buck型變換器的電壓反饋控制，如圖2（a）所示。用Ts表示Buck型變換器的開關(guān)周期，采用數(shù)字濾波技術(shù)將積分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)換成差分形式并作如下定義［3］：

得到如圖2（b）中虛框所示的數(shù)字控制電路，它由2個(gè)乘法器和3個(gè)兩輸入加法器構(gòu)成。

圖2 電壓反饋控制的Buck型變換器

3.2 控制系數(shù)計(jì)算公式

根據(jù)圖2（a），Buck型變換器在數(shù)字電壓控制下，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型和特征方程分別為：

式中：Asys為狀態(tài)矩陣；Bsys為輸入矩陣。

控制理論對(duì)一階系統(tǒng)和二階欠阻尼系統(tǒng)進(jìn)行了深入研究，并根據(jù)極點(diǎn)之間的相對(duì)位置，將三階系統(tǒng)近似等效成二階欠阻尼系統(tǒng)或一階系統(tǒng)進(jìn)行分析。不妨給出便于系統(tǒng)設(shè)計(jì)的三階特征方程：

式中：ζ、ωn和ζωn分別為阻尼系數(shù)、無(wú)阻尼振蕩頻率和衰減系數(shù)；p為復(fù)平面中的實(shí)極點(diǎn)距原點(diǎn)的距離。

當(dāng)Buck型變換器被設(shè)計(jì)成近似二階欠阻尼系統(tǒng)時(shí)，根據(jù)式（18）和式（19），得出控制系數(shù)計(jì)算公式為：

當(dāng)Buck型變換器被設(shè)計(jì)成近似一階系統(tǒng)時(shí)，控制系數(shù)計(jì)算公式為：

3.3 瞬態(tài)性能分析

控制系數(shù)F1對(duì)Buck型變換器瞬態(tài)性能的影響在參考文獻(xiàn)［7］中進(jìn)行了系統(tǒng)論述，本文僅對(duì)控制系數(shù)F2進(jìn)行分析。根據(jù)圖2（a），當(dāng)F2＜0時(shí)（b＞0），電壓反饋支路形成正反饋，導(dǎo)致Buck型變換器振蕩；當(dāng)F2＝0時(shí)（b＝0），電壓反饋支路的作用消失，系統(tǒng)僅由積分反饋支路控制；當(dāng)F2＞0時(shí)（b＜0），電壓反饋支路屬于負(fù)反饋，削弱了積分反饋支路對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)性能的影響，F(xiàn)2越大（｜b｜越大），削弱作用越強(qiáng)。因此，控制系數(shù)F2對(duì)瞬態(tài)性能的影響與控制系數(shù)F1的作用相反，如表1所示（F1＞0，F(xiàn)2＞0；↗：增大，↘：減小）。

表1 控制系數(shù)的影響

4 數(shù)字電壓控制設(shè)計(jì)流程

基于上述分析，得到Buck型變換器數(shù)字電壓控制的設(shè)計(jì)流程如下：

（1）確定Buck型變換器的系統(tǒng)階數(shù)。根據(jù)應(yīng)用環(huán)境及瞬態(tài)響應(yīng)的要求，確定Buck型變換器為近似二階欠阻尼系統(tǒng)或近似一階系統(tǒng)。

（2）計(jì)算控制系數(shù)F1和F2。根據(jù)選定的系統(tǒng)階數(shù)，利用式（20）或式（21）計(jì)算控制系數(shù)。

（3）設(shè)計(jì)驗(yàn)證。利用仿真或測(cè)試等方法驗(yàn)證由F1和F2所確定的數(shù)字控制器是否滿足Buck型變換器的設(shè)計(jì)指標(biāo)。若滿足，設(shè)計(jì)結(jié)束；若不滿足，繼續(xù)（4）。

（4）微調(diào)控制系數(shù)F1和F2。判斷當(dāng)前Buck型變換器的瞬態(tài)性能與設(shè)計(jì)指標(biāo)的差距，并根據(jù)表1總結(jié)的規(guī)律，對(duì)控制系數(shù)進(jìn)行微調(diào)，微調(diào)后返回（3）。

上述流程如圖3所示。

5 仿真與測(cè)試

控制系數(shù)F1的驗(yàn)證見參考文獻(xiàn)［7］，本文只驗(yàn)證控制系數(shù)F2對(duì)Buck型變換器瞬態(tài)性能的影響。利用Matlab／Simulink建立Buck型變換器模型，其系統(tǒng)參數(shù)為：fs＝200kHz，Ts＝5μs，L＝22.0μH，C＝22.0μF，R＝1.8Ω，VG＝5.0V，VO＝1.8V，KDPWM＝1／211，KADC＝210／5。

圖3 數(shù)字電壓控制的設(shè)計(jì)流程

針對(duì)負(fù)載電流發(fā)生0.2A的上跳變，固定a（F1·Ts）＝0.225，從0～2.7之間等步長(zhǎng)地變化｜b｜（F2／KADC），并分別進(jìn)行瞬態(tài)仿真，其結(jié)果統(tǒng)計(jì)在圖4中。當(dāng)｜b｜＝0時(shí)，電壓反饋支路無(wú)效，積分反饋支路配置變換器為近似二階欠阻尼系統(tǒng)；隨著｜b｜增大（F2增大），電壓反饋支路對(duì)積分反饋支路的削弱作用開始增強(qiáng)，促使變換器由近似二階欠阻尼系統(tǒng)向近似一階系統(tǒng)轉(zhuǎn)換，過(guò)渡時(shí)間和超調(diào)量均逐漸減小；當(dāng)｜b｜增大至2.1時(shí)，超調(diào)量減小至零，標(biāo)志著Buck型變換器過(guò)渡至近似一階系統(tǒng)；之后，過(guò)渡時(shí)間又隨著｜b｜的增大而增加。在當(dāng)前仿真環(huán)境下，過(guò)渡時(shí)間的最小值為130μs。上述仿真結(jié)果與表1所示的理論分析結(jié)果一致。

圖4 控制系數(shù)F2對(duì)超調(diào)量和過(guò)渡時(shí)間的影響

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文結(jié)論，保證系統(tǒng)參數(shù)與仿真模型一致的前提下，設(shè)計(jì)了基于FPGA的數(shù)字Buck型變換器，并在其上實(shí)施所提的數(shù)字電壓控制，測(cè)試曲線如圖5所示。測(cè)試結(jié)果表明：數(shù)字電壓控制實(shí)現(xiàn)了Buck型變換器的穩(wěn)態(tài)跟蹤控制；隨著控制系數(shù)｜b｜的增大，變換器由近似二階系統(tǒng)向近似一階系統(tǒng)過(guò)渡，驗(yàn)證了數(shù)字電壓控制的理論分析和仿真結(jié)果的正確性。

圖5 電壓反饋控制的輸出電壓測(cè)試曲線

6 結(jié)束語(yǔ)

基于狀態(tài)空間理論，提出了Buck型變換器的數(shù)字電壓控制，針對(duì)系統(tǒng)超調(diào)量和過(guò)渡時(shí)間2個(gè)指標(biāo)，分析了控制參數(shù)對(duì)變換器瞬態(tài)性能的影響，給出了數(shù)字電壓控制的設(shè)計(jì)流程，用以指導(dǎo)數(shù)字控制器的一次性設(shè)計(jì)工作，有效地避免了經(jīng)典控制理論固有的反復(fù)試探性。仿真與測(cè)試結(jié)果驗(yàn)證了所提數(shù)字電壓控制的有效性及理論分析的正確性。

［1］胡壽松.自動(dòng)控制原理（第5版）［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.

［2］俞 立.現(xiàn) 代 控 制 理 論 ［M］.北 京：清 華 大 學(xué) 出 版社，2007.

［3］Gene F F，DAVID J P，MIichael W.Digital Control of Dynamic Systems ［M］.Reading，MA：Addison－Wesley，1998.

［4］張衛(wèi)平.開關(guān)變換器得建模與控制［M］.北京：中國(guó)電力出版社，2006.

［5］Erichson Robert W，Maksimovic Dragan.Fundamentals of Power Electronics［M］.New York：Kluwer Academic Publishers，2000.

［6］Benjamin J P，Aleksandar P，Art Z，et al.High－frequency digital PWM controller IC for DC－DC converters［J］.IEEE Transactions on Power Electronics，2003，18（1）：438－446.

［7］李峰，魏廷存，鄭宇亮.單參數(shù)控制的數(shù)字DC－DC變換器設(shè)計(jì)及其FPGA實(shí)現(xiàn)［J］.計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制，2012，20（4）：1042－1045.