立體幾何中的平面問題——勾股定理的應用

張麗萍

教師注重對學生抽象思維的培養，需要從學生實際生活經驗出發，將生活中的問題融入到數學模型當中。同時，教師要注重學生的實際動手能力的培養，激發學生學習數學的熱情，讓學生在數學實踐過程中掌握新知識[1]。在教材中，很多題目都將數學知識應用到實際生活中。從學生的角度來說，在求解直角三角形的問題時，勾股定理可以快速、準確地對生活中的問題進行處理。另外，立體幾何中勾股定理問題也是考試中的重點，其具體的命題形式也發生不斷的變化，所以，教師要讓學生從本質上了解勾股定理，以不變應萬變。下面就對立體幾何中的平面問題進行詳細和深入的闡述。

一、勾股定理在包含問題中的應用

例1 如圖1所示，鐵棍長80cm，放在長80cm，寬60cm，高100cm的長方形木箱中，是否可以放入？

這一題并不陌生，在長方形木箱中連接兩條線段，并運用兩次勾股定理，求出長方形的對角線長度80cm。因此，長80cm的鐵棍可以放入長方形木箱中。

圖1 長方形木箱示意圖

二、勾股定理在最短距離中的應用

例2 如圖2所示，圓柱體高8cm，底面積半徑r=3cm。圓柱體底面上的A點向上底面與A點對應的B點移動，沿著圓柱體側面移動的最短路程是多少?

分析：這道題將勾股定理方面的知識融入到物體移動問題當中。在這道題當中，很多學生容易將A點與B點進行連接，然后運用勾股定理計算出AB兩點之間的距離，即，并得出最短路程是10厘米的結論。如果認真想一想，我們容易發現，這種算法中包含很多疑點。

圖2 圓柱體示意圖

解析：這一類題目的關鍵主要分為三部分：第一步閱讀：可以從題目中獲取以下信息：（1）圓柱體的高度為8cm，底面半徑為3cm；（2）物體沿著圓柱體的側面向B點移動；（3）A，B兩點之間的最短路程是多少。第二步深入：物體移動只能在圓柱體外側移動，不能在圓柱體內部進行移動，所以上述直接連接AB兩點的做法是錯誤的[2]。圓柱體的側面是曲面，所以要將圓柱體的側面進行展開，并連接AB兩點，兩點之間的連線就是AB兩點之間的最短路程。第三步計算：根據勾股定理計算出AB兩點之間的最短路程。通過對這道題的分析，可以衍生出下一道題。

圖3 圓柱體展開示意圖

例3 如圖4所示，長方形木箱，長是26cm、寬是20cm、高12cm，A點處一物體，其從A點向與A點對應的B點移動，問A點到B點的最短路程是多少？

分析：很多學生不知道如何下手，AB之間距離何時最短？這一道題與上一道題類似，所以可以仿照上一道題進行分析和計算。

因此，A點物體沿著圓柱體外側向B點移動，最短路程為

圖4 長方形木箱示意圖

第一步閱讀：從題目可以獲得以下信息：（1）長方形木箱的長為26cm、寬為20cm、高為12cm；（2）需要求得AB兩點之間的最短路程，不僅要找出題目中所含的隱藏信息，還要對其進行進一步分析：題目中隱含物體沿著長方形木箱的表面運動；第二步分析：物體不在長方形內部運動，所以直接連接AB兩點之后，運用兩次勾股定理計算出AB兩點之間的路程是不對的，必須將長方體展開。長方體展開方式的選擇，直接決定計算的準確性。學生通過抽象思維，并進行實際操作，可以發現長方形展開方法有三種，如圖5所示。第三步計算：利用勾股定理計算。

所示圖形（1）是將長方體木箱沿著前面和上面展開，其中AH=AE+EH=12+20=32cm，HB=26厘米，所以

圖（2）是將長方體木箱的前面和右面的兩個面進行展開，此時，AC=AG+GC=43厘米，CB=12厘米，所以

圖（3）是將長方體木箱中的左面和上面兩個面展開，其中AB

三、勾股定理在生活中的應用

例4 如圖6，學校操場為長方形，部分學生為了尋找“捷徑”而避開轉角，在操場內踩出一條“路”。問學生少走多少步（假設2步為1m）。

圖6 操場示意圖

分析：學生需要將“捷徑”的路長和原來走的路程求出，就可以算出學生至少少走多少步路。

解：學生原來走過的路為6m+8m=14m。假設學生原來走“捷徑”的路長為xm，則，所以學生至少少走4m，而1m=2步，所以學生至少少走8步路。

分析：學生在立體幾何計算中遇到走“捷徑”的問題時候，應該以此題為樣板，進行合理計算。另外，老師在考查勾股定理知識的時候，要將生活中的實際問題融入到數學計算中，諸如，小草微微笑，請你多走幾步路。

四、勾股定理在網格中的應用

例5 圖7中的虛線網格就是所謂的正三角形網格，其中每個三角形都是邊長為1的正三角形，也叫單位正三角形。

（1）通過觀察直接計算出正三角形的高和面積。

（2）圖7中的平行四邊形ABCD至少含有多少個正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？

（3）求出圖7中中位線AC的長度，可以作輔助線。

（4）求出圖7中四邊形EFGH的面積。

圖7 網格計算示意圖

分析：學生要將網格的形式弄清楚，并研究圖形和網格之間的關系，每個圖形中包含多少網格，進而借助網格知識來了解圖形的相關性質[3]。

（2）由圖7可直接得出平行四邊形ABCD面積中，包含24個單位正三角形，所以其面積為

（3）過A作AK⊥BC于點K（如圖7所示），則在直角三角形ACK中，故（4）過點 G、H、E、F 作矩形 MNPQ（如圖 7）。因為，所以四邊形MNPQ的面積=；三角形

五、勾股定理在實際問題中的應用

例6 如圖8所示，在一次航海活動中，甲從港口A點出發，沿東偏北30°方向走了50 3，三角形，所以四邊形EFGH的面積=8■ m到達B點，然后再沿北偏西30°方向走了50m到達目的地C點。

（1）求A、C兩點之間的距離。

（2）確定目的地C在營地A的什么方向。

圖8 實際問題示意圖

分析：把航海問題轉化為立體幾何中的勾股定理問題進行求解。

解：（1）過B點作BE//AD，如圖8所示

（2）在直角三角形ABC中，

即點C在點A的北偏東30°的方向

結論：本題為航海實際問題，學生從已知條件出發得出△ABC是直角三角形的結論，并運用勾股定理知識求解。

六、結論

在立體幾何中的平面問題——勾股定理的應用中，學生必須做到以下幾點。

1.學生要認真分析題目，找出題目中隱含的意思，明白立體幾何內部中存在的問題，諸如放入鐵棍問題和動點移動問題。

2.學生在處理表面問題的時候，要多動手、多動腦，將所給的立體幾何圖形（長方形、正方形和圓柱形）按照要求展開，使得移動點的移動路程呈現直線段，這樣才能保證兩點之間的路程最短。

3.學生面對的展開圖形包含幾種，必須對幾種展開形式進行比較，找出兩點之間的最短路程，以此得出符合題目要求的結論。

4.學生在處理立體幾何中勾股定理問題時，要善于構建直角三角形，正確處理勾股定理的應用問題。

[1]馮有兵.幾道立體幾何題的探究與思考[J].中學數學研究，2012，（2）：40-42

[2]儲祥紅.立體幾何中的平面問題——勾股定理的應用[J].數學學習與研究，2012，（3）：92

[3]馬隨芝.巧解妙用勾股定理[J].中學生數理化（教與學），2012，（2）：88