基于指數標度的G1法及其應用

常艷梅，陳義華

(重慶大學數學與統計學院，重慶 401331)

層次分析法作為一種定性與定量分析相結合的多準則決策方法，在運營管理評價、廠址選擇、技術評價、資源分析、交通運輸、安全評價等方面得到了廣泛的應用［1－2］。在用層次分析法確定評價指標體系權重時，特征值法是最常用的方法之一，但由于在實際應用中判斷矩陣的一致性難以滿足，所以判斷矩陣一致性的檢驗標準C.R.＜0.1的科學性有待考證。心理學實驗表明:當被比較的元素個數超過9時判斷就不再準確，且當指標較多時，計算量很大。基于上述原因，文獻［3］提出了一種無需一致性檢驗的方法——G1法。由于指數標度具有許多優良的性質，因此其得到人們的認可和廣泛應用。筆者將指數標度用于G1法，為指標相對重要性程度的比較判斷提供賦值參考。應用基于指數標度的G1法確定了城市消防安全評價指標體系中指標的權重。

1 G1法及其步驟

G1法是東北大學的郭亞軍教授通過對特征值法的改進提出的一種無需一致性檢驗的方法。該方法不用構造判斷矩陣，計算量相比層次分析法明顯減少，且對同一層次中的元素個數沒有限制，具有簡便、直觀、便于使用的特點。G1法分為以下3 個步驟［3］:

1.1 確定序關系

定義1 若評價指標xi相對于某評價準則(或目標)的重要性程度大于(或不小于)xj時，則記 xi?xj。

定義2 若評價指標x1，x2，…，xm相對于某評價準則(或目標)具有關系式

時，則稱評價指標x1，x2，…，xm間按“?”確立了序關系。這里表示 x1，x2，…，xm按序關系“?”排定順序后的第 i個評價指標(i=1，2，…，m)。為書寫方便且不失一般性，以下仍記式(1)為

對評價指標集 {x1，x2，…，xm}建立序關系的步驟見文獻［3］。

1.2 給出 xk－1與 xk間相對重要性程度的比較判斷

設專家對評價指標xk－1與xk的重要性程度之比 ωk－1/ωk的理性判斷分別為

當m較大時，由序關系式(2)可取rm=1。rk的賦值可參考表1。

表1 rk賦值

關于rk之間的數量約束，有下面的定理:

定理1 若x1，x2，…，xm具有序關系式(2)，則 rk－1與 rk必須滿足

1.3 權重系數ωk的計算

定理2 若專家(或決策者)給出rk的理性賦值滿足關系式(4)，則ωm為

而

2 指數標度

在綜合評價過程中經常存在一些因素無法定量表示的情況，所以只能對其進行定性分析，此時就需要借助標度將人們的主觀感覺數量化，以實現對其的客觀描述。該過程是決策的基礎和依據，因而標度方法的科學性至關重要［4］。

2.1 G1法中標度的缺陷

假定對3個指標x1、x2、x3按重要程度排序有x1?x2?x3，其中 x1比 x2稍微重要，x2比 x3稍微重要。設 ω1、ω2、ω3是指標 x1、x2、x3的相對重要性程度，按表1中給出的標度法對指標間的相對重要性程度之比進行賦值，有

由于指標間的相對重要性程度之比滿足傳遞性，可得ω1/ω3=1.44。研究表明:x1比 x3重要是合理的，即正常情況下應為ω1/ω3=1.4，相對來說指數標度更加符合人們的對應習慣［5］。表1標度中若x1比x2極端重要，其相對重要性程度之比僅為1.8，與人們通常的認知不相符，影響指標間重要性程度內在關系的準確表達。

2.2 指數標度

心理學上的韋伯－費希納定律表明:當客觀差別等比遞增時，主觀感覺等差遞增。指數標度就是在此基礎上構造的一種“等距分級、等比賦值”的標度方法［4］。

首先將決策者對因素xi比xj重要性程度之比的主觀感覺判斷等距地分成n等級，如同等重要、稍重要、重要、很重要、極重要等，分別以cij=0，1，2，…;i，j=1，2，…，n 表示，稱 cij為感覺判斷。依據韋伯－費希納定律，設相鄰兩級客觀重要性比率為a，a＞1，則xi與xj客觀重要性程度之比為ωi/ωj=acij，其中 ωi、ωj分別為 xi、xj的客觀重要性程度，稱acij為xi對xj的重要性程度之比的客觀差別判斷［6］。

文獻［7］指出了對于關系的復合假設:2個“稍重要”的復合等于“重要”;2個“重要”的復合等于“很重要”;2個“很重要”的復合等于“極重要”。這是符合人們的心理習慣的。據此構造了一種指數標度——標度(可復合標度)。基于此類指數標度的指標間相對重要性程度之比rk的賦值可參考表2。

表2 基于指數標度的rk的賦值

指數標度有利于根據人們的感覺判斷對指標間的客觀重要性程度之比進行準確揭示，其構造方式使得標度間的重要度滿足傳遞性，且cij允許取任何實數。由于感覺判斷的數值表示與通常人們在確定因素間的重要性程度之比時的表示方式有所差異，為使指數標度更加符合人們的思維習慣，在專家做出指標間的重要性程度關系(如同等重要、稍重要、重要等)的感覺判斷后，直接根據對應指數標度的賦值參考得出指標間的客觀重要性程度之比。將指數標度用于G1法，有利于客觀、準確地反映評價指標體系中各指標的權重。

3 基于指數標度的G1法

對于復雜的綜合評價問題，經常需要依據層次分析法對問題本質及其影響因素等進行分析，然后按照一定的規則將因素分解為目標、準則、方案等層次，進而建立一個遞階層次結構，并選取適當的綜合評價方法對其進行處理。用基于指數標度的G1法對此類問題進行指標權重計算時，首先進行層次單排序，然后依次沿遞階層次結構由上而下地逐層計算得到層次總排序。

3.1 層次單排序

層次單排序用于計算子系統中時，某層次因素相對于上一層次中某一因素的相對重要性程度為權值。用基于指數標度的G1法對某層因素進行層次單排序的步驟如下:

1)組織專家確定待評價的指標相對于某一評價準則的序關系。

2)依據指數標度設定的重要性程度之比的賦值參考，對專家給出的序關系中相鄰兩評價指標間的相對重要性程度的比較判斷進行量化。為減少評價專家主觀因素的影響，提高評價結果的準確度和可靠性，可同時組織多名專家分別對同一排序問題中評價指標的重要性程度進行比較判斷，并借助區間賦值進行指標間重要程度的賦值。

假設L位專家對于評價指標 x1，x2，…，xm建立了相同的序關系，不妨設為x1?x2?…?xm，專家j對指標xk－1與指標xk間的相對重要性程度之比 rk的賦值記為［rkj1，rkj2］，其中 j=1，2，…，L，k=m，m －1，…，2，則

3)根據rk的值，由式(5)、(6)計算各指標的權重系數ωk。

3.2 層次總排序

要得到最低層次的指標關于總目標的排序權重，需要在得出各指標相對于上一層元素的相對權重的基礎上按照由上而下的順序將其進行層次總排序。

假設指標集 X={x1，x2，…，xm}相對于其上一層指標集 B={b1，b2，…，bn}中各元素 bl的權重為{ωl1，ωl2，…，ωlm}，l=1，2，…，n，其中不受指標 bl支配的元素 xi的權重 ωli為 0［8］。指標集{b1，b2，…，bn}中各元素相對于總目標的權重已求得，設為 β1，β2，…，βn，則指標 xi相對于總目標的權重為

4 基于指數標度的G1法的應用

公安消防部組織相關部門和專家建立了城市消防安全評價指標體系，該指標體系由“公共消防基礎設施”“公共消防管理保障”“消防宣傳教育培訓”“滅火救援應急聯動”和“火災預警防控”共5個方面的17個二級子系統和30個評價指標構成［9－10］。

要實現對城市消防安全的評價，各評價指標權重的確定是其重要步驟。用基于指數標度的G1法確定評價指標體系中5個一級指標的權重。

首先，由專家討論確定了5個指標之間的序關系為:公共消防基礎設施(A1)?公共消防管理保障(A2)?消防宣傳教育培訓(A3)?火災預警防控(A4)?滅火救援應急聯動(A5)。

其次，由專家分別給出相鄰指標間的相對重要性程度的比較判斷，并借助指數標度將其量化得到其賦值區間，根據式(7)計算rk，整理得:

由式(5)、(6)計算得公共消防基礎設施、公共消防管理保障、消防宣傳教育培訓、火災預警防控和滅火救援應急聯動的權重分別為0.290 4、0.225 8、0.196 8、0.156 6、0.130 4。

用基于指數標度的G1法對城市消防安全評價指標體系中各層的指標進行了層次單排序之后，按照由上而下的順序進行層次總排序，從而得到各指標相對于總目標的權重。其中“公共消防基礎設施”子系統中各評價指標的權重見表3。

表3 “公共消防基礎設施”子系統的評價指標權重

5 結束語

本文針對G1法指標間相對重要性程度賦值參考標度存在的問題，引入了指數標度對其進行改進。在用基于指數標度的G1法確定評價指標的權重的過程中，由于指數標度的優良性質使得各評價指標間的重要性程度通過人們的主觀感覺得以定量表示，且無需構造比較判斷矩陣，因而與層次分析法相比計算量大幅減少。在城市消防安全評價指標體系中各指標權重的計算是城市消防安全評價的重要步驟，本文提出的方法對此類問題的解決有一定的參考價值。確定指標間相對重要性程度之比時采用區間賦值及多專家群組判斷的實現還需進一步研究。

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