同軸對轉行星齒輪傳動系統的固有特性

劉 敬，石萬凱，鄒卓航

(1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044;2.武漢理工大學信息工程學院，武漢 430070)

行星齒輪傳動系統具有體積小、傳動比大、承載能力強等優點。同軸對轉傳動系統不僅具有普通行星齒輪傳動的特點，還可以將單一輸入轉換成兩個輸出，實現減速增扭的作用。

國內外學者對行星齒輪系統的固有特性進行了深入研究［1－11］。Kahraman 等［1－2］采用集中質量法建立了行星齒輪系統的非線性時變動態模型，考慮不同誤差種類對系統動態特性的影響，并通過實驗模型驗證了不同誤差與行星輪個數對系統動態特性的影響。Lin和Parker［3］建立了直齒行星齒輪傳動系統的扭轉－橫向耦合模型，分析了無阻尼振動下系統的3種振動模式:扭轉振動、橫向振動和行星輪振動。Zhu等［4］建立了柔性銷軸行星傳動系統的動力學模型，分析了其模態特性與不同變量對固有頻率靈敏度的影響。趙永強等［5－6］以人字齒封閉行星輪系為研究對象，指出了系統存在星形輪系振動模態、行星輪系振動模態和耦合振動模態，并對其進行了模態躍遷現象分析。羅玉濤等［7］推導并建立了混合動力傳動系統的純扭轉動力學模型，討論了耦合剛度對系統固有頻率的影響。秦大同等［8－9］基于Lagrange方程建立了盾構機多級行星齒輪傳動的動力學模型，并分析了該系統的模態特性、位移響應和加速度響應等特性。

1 齒輪傳動系統的動力學模型

同軸對轉傳動系統如圖1所示。定軸輪系由太陽輪Zs1、行星輪Zpi(i=1，2，…，N)和內齒圈Zr1組成;差動輪系由太陽輪Zs2、行星輪Zmj(j=1，2，…，M)、內齒圈Zr2和行星架C組成，其中，內齒圈是雙齒圈且采用相同的幾何參數。輸入扭矩通過太陽輪分流傳遞給定軸輪系機構與差動輪系機構，并通過內齒圈和行星架C分別形成輸出A和B。

為了簡化計算模型，在建立同軸對轉系統的平移－扭轉齒輪傳動系統的動力學模型時做以下假設:各個構件為剛體;各級行星輪在圓周均勻分布，其平移質量與轉動慣量分別相等;系統中各個構件的支撐剛度為常值，各對齒輪之間的嚙合剛度也為常值，忽略嚙合阻尼對系統的影響;忽略齒輪對嚙合時的摩擦力、傳遞誤差等。

圖1 同軸對轉傳動系統

基于集中質量參數法建立同軸對轉傳動系統的動力學模型。圖2(a)為固定坐標系下定軸輪系的動力學模型，其中Kspi為太陽輪Zs1與行星輪Zpi的嚙合剛度，Krpi為內齒圈 Zr1與行星輪 Zpi的嚙合剛度;圖2(b)為差動輪系以行星架轉速ωc為動坐標的動力學模型，其中Ksmj為太陽輪Zs2與行星輪Zr2的嚙合剛度，Krmj為內齒圈Zr2與行星輪Zmj的嚙合剛度。圖(2)中:k1為太陽輪Zs1、Zs2之間的耦合扭轉剛度;k2為內齒圈Zr1、Zr2之間的耦合扭轉剛度;kC為行星架的扭轉剛度;kr1、kr2分別為內齒圈 Zr1、Zr2的支撐剛度;kp1、kp2分別為行星輪 Zpi、Zmj的支撐剛度。行星輪支撐剛度按Montestruc［10］提供的方法進行計算。

圖2 同軸對轉系統動力學模型

同軸對轉傳動系統共有(13+3N+3M)個自由度，其廣義坐標如下:

式(1)中:xs1、xpi、xr1、xs2、xmj和 xr2分別為齒輪 Zs1、Zpi、Zr1、Zs2、Zmj和 Zr2沿嚙合線的微位移;Hxy和 Vxy(x=s，r;y=1，2)分別為齒輪xy中心的橫向和縱向微位移;εpi和ηpi為行星輪Zpi中心的徑向和切向微位移，εpi和ηpi為行星輪Zmj在動坐標系下中心的徑向和切向微位移;xC為行星架C在其半徑rC上的切向微位移。

2 同軸對轉系統的動力學平衡方程

設δspi和δrpi為定軸輪系第i個行星輪與太陽輪和內齒圈沿嚙合線的等效微位移，δsmj和δrmj為差動輪系第j個行星輪與太陽輪和內齒圈沿嚙合線的等效微位移，則:

式(2)中:φi=2π(i－1)/N 為定軸輪系第 i個行星輪相對于第1個行星輪的位置角;φi=2π(j－1)/M為差動輪系第j個行星輪相對于第1個行星輪的位置角;α1和α2分別為定軸輪系行星輪與太陽輪和內齒圈的嚙合角，α3和α4分別為差動輪系行星輪與太陽輪和內齒圈的嚙合角。

根據Lagrange方程推導出同軸對轉系統各個自由度的振動微分方程。

定軸輪系平衡方程:

差動輪系平衡方程:

其中:M和m分別為各個構件的等效質量和平移質量，且M=J/r2;J為構件的轉動慣量，對于齒輪，r是其基圓半徑rb，對于行星架，r是其當量基圓半徑rbc;T1為同軸對轉系統的輸入扭矩，T2為差動輪系內齒圈Zr2的輸出扭矩，T3為差動輪系行星架C的輸出扭矩。

將方程(3)～(9)整理成如下的矩陣形式:

其中:M、X分別為廣義質量矩陣和廣義坐標位移列陣;F為外載荷列陣;K為剛度矩陣。

3 固有特性分析

根據式(10)建立的同軸對轉系統平移－耦合動力學模型對系統進行模態分析，可得到系統的各階固有頻率與對應的振型。式(10)對應的特征值問題為

其中:ωi為系統的第i階固有頻率;φi為對應固有頻率下的振型矢。

表1給出了某一同軸對轉系統的幾何參數，通過計算可以得到系統的各階固有頻率與振型矢量。主要考慮系統不同的振動模式、兩級行星輪個數與固有頻率重根數的關系、行星輪個數的改變對振動模式的影響、系統耦合剛度的變化對固有頻率的影響等。

表1 同軸對轉系統的幾何參數

表2列出了定軸系統行星輪N=3時，系統在差動輪系行星輪M=3、4、5下的固有頻率，同時分析了不同固有頻率下系統的振動矢量，得到以下的結論:

1)定軸輪系振動模式

①此時差動輪系振動幅值為0，定軸輪系各構件主要表現為平移模式振動，即中心構件的扭轉振動為0。圖3為定軸輪系振動模式的振型圖。

②隨著差動輪系行星輪個數的增加，定軸輪系各振動頻率不發生變化，差動輪系振動頻率個數為(3M+1)。

2)差動輪系振動模式

①此時定軸輪系各構件振動幅值為0。當M為奇數時，差動輪系的振動頻率均為重根，重根數為(3M+1)/2，各構件主要表現為平移模式振動;當M為偶數時，差動輪系的振動頻率有單根和重根，此時單根主要表現為差動級行星輪模式振動，重根主要表現為平移模式振動。圖4為差動輪系振動模式的振型圖。

②定軸輪系行星輪一定時，隨著差動輪系行星輪個數的增加，系統的振動頻率變化趨勢為逐漸增大，這與文獻［5］中的結果一致。

表2 定軸系統行星輪的固有頻率(N=3)

圖3 定軸輪系振動模式振型圖(M=3，N=3)

圖4 差動輪系振動模式振型圖(M=4，N=3)

3)耦合振動模式

①隨著差動輪系行星輪個數的增加，耦合振動頻率個數不發生變化，共有11個固有頻率，并且無重根。

②系統的振型主要為兩級構件的扭轉模式振動。圖5為耦合振動模式的振型圖。

圖5 耦合振動模式振型圖(M=4，N=3，f=230 Hz)

4 系統的耦合剛度對固有特性的影響

定軸輪系與差動輪系有兩種不同的耦合，即兩個太陽輪的扭轉耦合與兩個內齒圈的扭轉耦合。以兩太陽輪的耦合剛度為設計變量，兩內齒圈的耦合剛度為定值，考查不同太陽輪扭轉耦合剛度下系統的固有頻率變化情況。此時取兩級行星輪個數為 M=N=3，k2=1.0 ×106，計算不同太陽輪耦合剛度下系統的固有頻率，可以得到如下結論:扭轉剛度的變化對定軸輪系振動模式和差動輪系振動模式的固有頻率沒有影響，各階頻率保持不變。說明定軸輪系振動模式和差動輪系振動模式的固有頻率只與齒輪的嚙合剛度和質量有關，與扭轉耦合剛度無關，與文獻［7］的結論一致。表3列出了太陽輪耦合扭轉剛度下系統的固有頻率。隨著兩太陽輪耦合剛度的增加，耦合振動模式的固有頻率也相應遞增。

表3 太陽輪耦合扭轉剛度下系統的固有頻率(M=3，N=3)

5 結論

1)基于Lagrange方程采用集中參數法建立了同軸對轉傳動系統的平移－扭轉耦合動力學方程，分析了其固有特性。

2)同軸對轉系統具有3種不同的振動模式:定軸輪系振動模式、差動輪系振動模式和耦合振動模式。討論了不同差動輪系行星輪個數對系統固有特性的影響，指出了重根數與行星輪個數的關系，與前人的相關研究結論吻合。

3)通過計算不同太陽輪扭轉耦合剛度下系統的固有頻率，說明定軸輪系振動模式和差動輪系振動模式下的固有頻率沒有變化，僅影響耦合振動模式的固有頻率，并且隨著耦合剛度的遞增，耦合振動模式的固有頻率也相應增大。

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