函數解析的充要條件及Cauchy-Riemann方程的不同形式

程希偉

（淮南師范學院數學與計算科學系，安徽淮南232038）

函數解析的充要條件及Cauchy-Riemann方程的不同形式

程希偉

（淮南師范學院數學與計算科學系，安徽淮南232038）

解析函數是復變函數論中最基本的概念之一，在這里給出了五個函數解析的充要條件，還推導出函數解析的另一個充要條件，并探討出Cauchy-Riemann方程另外兩種形式.

解析函數；充要條件；柯西黎曼方程

1 五個常見充要條件

引理1函數在區域D內解析的充要條件是：二元函數u(x,y)，v(x,y)在區域D內可微且u(x,y)，v(x,y)在D內滿足C.-R.方程.

引理2函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區域D內解析的充分必要條件是:ux,uy,vx,vy在D內連續且u(x,y)，v(x,y)在D內滿足C.-R.方程.

引理3函數f(z)在區域G內解析的充要條件是：f(z)在G內連續；且對任一周線C，只要C及其內部全含于G內，就有

引理4函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區域D內解析的充要條件是：在區域D內v(x,y)是u(x,y)的共軛調和函數.

引理5函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區域D內解析的充要條件是：f(z)在D內任一點a的鄰域內可展成z-a的冪級數.

2 函數解析另一個充要條件

函數f(z)=u+iv解析的充分必要條件fzˉ=0.

證明必要性

而f(z)是解析函數，由C.-R.得，ux-vy=0，uy+vx=0,代入(4)即fzˉ=0.

必要性:

證畢.

3 Cauchy-Riemann方程另兩種形式

3.1 極坐標下的柯西黎曼方程為

證明若f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ) z=reiθ=r(cosθ+isinθ)=x+iy f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)

而f(z)=p(x,y)+iq(x,y)解析，C.-R.方程為px=qy；py=-qx即

3.2 Cauchy-Riemann方程的梯度形式

f(z)=u(x,y)+iv(x,y),u(x,y)v(x,y)的Cauchy-Riemann方程的梯度形式為

證明在代數形式下的柯西黎曼方程為ux=vy，uy=-vx，那么有

其中e1,e2是與x,y軸正向相同的單位矢量.

4 求解析函數的一種公式

已知調和函數v(x,y)，以v(x,y)為虛部的解析函數

證明因為v(x,y)是調和函數，共軛關系知存在u(x,y)使得f(z)=u+iv在D內解析，取D內任一點z0，那么f(z)在z0的某一鄰域內

將(5)(6)代入(4)中有

將ε換成z得出以下結論

同理有已知u(x,y)是單連通區域D內的調和函數，z0為D內任一點，則在D內以u(x,y)為實部的解析函數為

〔1〕鐘玉泉.復變函數論[M].北京：高等教育出版社，2004.

〔2〕楊綸標，郝志峰.復變函數[M].北京：科學出版社，2003.

O174.5

A

1673-260X（2013）07-0007-02