具有BIBO穩定的網絡系統隨機容錯設計

周霞，鐘守銘

1.阜陽師范學院 數學與計算科學學院，安徽 阜陽 236037 2.電子科技大學 數學科學學院，成都 611731

具有BIBO穩定的網絡系統隨機容錯設計

周霞1，鐘守銘2

1.阜陽師范學院 數學與計算科學學院，安徽 阜陽 236037 2.電子科技大學 數學科學學院，成都 611731

1 引言

網絡化系統（networked systems），是指通過網絡實現控制系統各元件（傳感器、控制器、執行器等）之間信息交換的閉環反饋控制系統[1]。相對于傳統的點對點互連控制系統而言，網絡化系統具有資源共享，系統布線少，成本低，交互性好，診斷能力高，安裝和維護容易，可靠性高等優點，廣泛地應用于智能交通、航空航天、電氣化運輸等領域。這些應用對系統的安全性和可靠性要求很高，控制系統一旦發生故障，將會帶來無法估量的危害。但另一方面，由于網絡帶寬等資源受限，網絡化系統中存在網絡傳輸時延，數據丟包、亂序等問題，同時系統運行中還可能存在執行器或傳感器等故障，這些因素會引起系統控制性能下降，甚至導致系統不穩定。因此，使其具有容錯能力是現代網絡化控制系統的本質性能要求，同時網絡化控制系統的容錯控制及控制器的設計引起了學術界的廣泛關注。

目前，針對網絡化控制系統的容錯控制及控制器的設計方面已有相關研究。文獻[2]研究了一類不確定網絡化控制系統的完整性和保性能魯棒容錯控制問題；文獻[3-5]研究了一類具有Markovian特性的隨機時延的網絡化控制系統的容錯控制問題；文獻[6]建立網絡化控制系統的隨機模型，并研究了該模型在傳感器和執行器失效故障情況下系統的隨機容錯控制問題；文獻[7]研究了基于觀測器的非線性連續網絡控制系統容錯控制器設計問題；文獻[8-9]研究了一類網絡化控制系統的控制器設計問題，在[8]中采用連接權矩陣分解的方法，在[9]中采用了反饋增益矩陣分解的方法；文獻[10]研究了具有α-穩定的網絡化控制系統的容錯控制器設計問題；文獻[11]研究了一類含有隨機擾動的網絡化控制系統，具有均方BIBO穩定控制器的設計問題。

以上的研究工作主要是針對網絡化控制系統的一般容錯控制問題，通過引入0、1常數開關矩陣來實現傳感器失效故障、控制器失效故障控制。而事實上，這些元器件的失效故障具有隨機性[5]，因此可以引入Bernoulli隨機變量序列作為開關矩陣更精確，從而需要研究網絡化控制系統的隨機容錯控制問題。另一方面，在實際問題中，往往還需要追蹤到系統的輸入信號，對系統的有界輸入和有界輸出（BIBO）穩定性研究也很有意義，參見文獻[11-14]?；谝陨嫌懻摚疚膶⒀芯烤哂芯紹IBO穩定的網絡化控制系統的隨機容錯控制問題，給出系統存在傳感器失效故障和執行器失效故障兩種情況下的均方BIBO穩定性條件，及基于該條件下控制器的設計問題。

2 系統的描述和預備工作

考慮網絡誘導時延，數據丟包及錯序等非理想網絡狀況因素的單回路網絡控制系統，其結構如圖1所示。

圖1 網絡化控制系統結構圖

假定被控對象為：

其中，x(k)∈Rn為系統的狀態變量，u(k)∈Rm為系統控制輸入變量，y(k)∈Rl為控制輸出變量，A、B、C為合適維數常數矩陣。為了追蹤到系統（1）的控制輸入，狀態反饋控制規律設計為：

其中，K為控制增益矩陣，r(k)為相應的輸入向量，τ(k)為傳感器到控制器的網絡時延τsa(k)與控制器到執行器的網絡時延為τca(k)的和，即τ(k)=τsa(k)+τca(k)。則τ(k)為時變時延，且滿足：

其中τm為網絡時延的下界，τM為網絡時延的上界。則閉環控制系統（1）可以寫為：

為了進一步討論的需要，引入如下的定義、引理和假設。

定義1[11]向量函數稱為的元素，如果滿足，其中‖·‖表示Rm空間中Euclid范數或者矩陣范數，N[0，+∞)=[0，1，2，…)。

定義2[11]網絡控制系統（1）是均方BIBO穩定的，如果控制器設計為（2）的形式，控制輸出y(k)滿足：

其中N1、N2是正常數。

引理1[15]對任意的實向量νi∈Rn，i∈N+，有：

引理2[11]對任意的實向量x、y和合適維數的正定矩陣Q，有：

假設1傳感器采用時間驅動，執行器和控制器都采用事件驅動。

假設2傳感器與執行器的失效故障與網絡狀態變量相互獨立。

假設3傳感器之間、執行器之間及傳感器與執行器之間的失效故障相互獨立。

3 具有均方BIBO穩定的網絡化系統的隨機容錯設計

情況1傳感器存在失效故障情況

在傳感器存在失效故障情況下，引入隨機開關矩陣序列F(k)，并把它放在反饋增益矩陣和狀態變量x(k)之間：

其中，{fi(k)}是一組相互獨立的Bernoulli隨機變量序列，fi(k)=1表示第i個傳感器正常，fi(k)=0表示第i個傳感器失效。其概率分布為：，且F可逆。

當系統存在傳感器失效故障時，閉環系統（3）可改寫為：

基于式（7），可以得到如下定理。

定理1存在狀態反饋控制律（2）的隨機系統（7）是均方BIBO穩定，若存在實數ρ＞0，正定對稱矩陣P、Q、R使得下列矩陣不等式成立：

其中，N1、N2為常數。根據定義2可知，具有反饋控制律（2）的網絡化系統（7）是均方BIBO穩定的。證明完畢。

注1 由于定理1的條件中出現非線性項，不能通過LMI工具箱直接求出反饋增益矩陣，所以有下面定理。

定理2存在狀態反饋控制律（2）的隨機系統（7）是均方BIBO穩定，設，如果對任意的正實數ε1、ε2、ε3，若存在正定對稱矩陣P、Q、R使得下列矩陣不等式成立：

注2在定理2中，K2的設計有一定的保守性，K1的求解需要通過根據線性矩陣不等式（21）先求出P之后才可以得到。下面試圖給出K=K1+K2的任意分解，并且K1、K2的求解可以直接通過LMI工具箱求解。得到如下定理。

定理3存在狀態反饋控制律（2）的隨機系統（7）是均方BIBO穩定，對任意的對稱正定矩陣N、Φ，若存在對稱正定矩陣Q、R使得下面線性矩陣不等式成立：

其余的過程證明方法同定理1，這里不再贅述。證明完畢。

注3在定理3中的式（22）中，可以通過LMI不等式直接求解出K1、K2，從而得到控制反饋增益矩陣K。此方法得到的均方BIBO穩定性條件保守性低，自由矩陣少，K的分解也是任意分解。

情況2執行器存在失效故障情況

在傳感器存在失效故障情況下，引入隨機開關矩陣序列L(k)，并把它放在連接權矩陣和狀態反饋矩陣之間：

其中，{li(k)}是一組相互獨立的Bernoulli隨機變量序列，li(k)=1表示第i個執行器正常，li(k)=0表示第i個執行器失效。其概率分布為：，且L可逆。

當系統存在執行器失效故障時，閉環系統（3）可改寫為：

類似于定理1和定理2，針對系統（24）可以得到相應定理，這里不再闡述。在此，只給出類似定理3的相關結論。

定理4存在狀態反饋控制律（2）的隨機系統（24）是均方BIBO穩定，對任意的對稱正定矩陣、，若存在對稱正定矩陣、使得下面線性矩陣不等式成立：

情況3當傳感器和執行器同時存在失效故障情況

如同情況1和情況2，引入隨機開關矩陣序列F(k)，L(k)，則閉環系統（3）改寫為：

由于F(k)，L(k)，x(k)的相互獨立性，類似于定理3和定理4，可得下面定理。

定理5存在狀態反饋控制律（2）的隨機系統（26）是均方BIBO穩定，對任意的對稱正定矩陣、，若存在對稱正定矩陣、使得下面線性矩陣不等式成立：

4 數值實例

考慮離散化網絡控制系統（1），其參數矩陣為：

首先，考慮控制系統只存在傳感器失效故障情況，并假定傳感器的失效概率數學期望矩陣為：

取τm=1，τM=9，由定理3，利用Matlab LMI工具箱可以解得可行解為：

其次，考慮控制系統只存在執行器失效故障情況，并假定執行器的失效概率數學期望矩陣為：

取τm=1，τM=9，由定理4，利用Matlab LMI工具箱可以解得可行解為：

最后，考慮控制系統同時存在傳感器和執行器失效故障情況，并假定傳感器失效概率數學期望矩陣和執行器的失效概率數學期望矩陣分別為：

取τm=1，τM=9，由定理5，利用Matlab LMI工具箱可以解得可行解為：

5 結束語

本文就離散時間網絡化系統在均方BIBO穩定條件下，系統的隨機容錯控制和反饋增益矩陣的設計問題進行了研究。通過引入相互獨立的Bernoulli隨機變量序列作為傳感器、執行器失效故障的開關矩陣，研究了在傳感器失效故障情況下和執行器失效故障情況下，以及二者同時失效故障情況下的系統均方BIBO穩定條件，并基于此條件給出了反饋增益矩陣的設計。文中定理1和定理2給出的穩定性條件都需要通過對反饋增益矩陣進行設定，通過求解出自由矩陣之后才可以得到反饋增益矩陣，而定理3、4、5可以通過LMI工具箱直接進行求解，并得到反饋增益矩陣的任意分解。數值實例結果表明，本文的結論是有效的。

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ZHOU Xia1,ZHONG Shouming2

1.School of Mathematics and Computational Science,Fuyang Teachers College,Fuyang,Anhui 236037,China
2.College of Mathematics Science,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 611731,China

The problem of stochastic fault-tolerant control and controller design for networked systems with mean square Bounded Input Bounded Output（BIBO）stability are investigated.Considering the random phenomenon of sensor failure and actuator failure,the random sensor failure and actuator failure are modeled as independent Bernoulli random variable sequence.Combined with linear matrix inequality technology and Lyapunov stability theory,by decomposing the feedback gain matrix,the mean square BIBO stability conditions under the system existence of sensor failure and actuator failure are obtained respectively. Based on the stability conditions,random fault-tolerant controller design of the system is given.Finally,the simulation example is given to demonstrate the effectiveness of design method.

networked systems;stochastic fault-tolerant control;Bernoulli random variable sequence;mean square BIBO stability;controller design method

研究了具有均方BIBO穩定的網絡化控制系統的隨機容錯控制及控制器設計問題。針對網絡化控制系統的傳感器失效故障和執行器失效故障均具有隨機性這一現象，將傳感器和執行器的故障建模為相互獨立的Bernoulli隨機變量序列；利用Lyapunov穩定性理論，結合線性矩陣不等式技術，通過對反饋增益矩陣的分解，得到了網絡控制系統存在傳感器失效故障和執行器失效故障情況下的均方BIBO穩定條件；基于該穩定條件給出了系統隨機容錯控制器的設計。以數值實例驗證了該方法的有效性。

網絡化系統；隨機容錯控制；Bernoulli隨機變量序列；均方BIBO穩定；控制器設計

A

TP13

10.3778/j.issn.1002-8331.1303-0203

ZHOU Xia,ZHONG Shouming.Stochastic fault-tolerant design of networked systems with BIBO stability.Computer Engineering and Applications,2013,49（13）：26-30.

國家自然科學基金（No.11226140）；安徽省教育廳自然科學研究項目（No.KJ2013Z267）；阜陽師范學院自然科學基金（No.2012FSKJ08）。

周霞（1981—），女，博士，講師，主要研究方向：網絡控制系統容錯控制，隨機系統均方BIBO穩定等；鐘守銘，教授，博士生導師，主要研究領域：動力系統及定性理論。E-mail：zhouxia44185@163.com

2013-02-26

2013-04-16

1002-8331（2013）13-0026-05

CNKI出版日期：2013-04-27http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130427.1412.005.html

◎理論研究、研發設計◎