GNSS導航中GDOP最小值的分析與驗證＊

李 森，李長會，劉 寧，楊 昊

（61365部隊，天津300140）

0 引 言

GNSS導航定位的誤差取決于觀測量的精度和接收機—衛星幾何分布的情況，精度衰減因子GDOP描述了接收機與可視衛星間的幾何分布關系，反映了由于衛星幾何關系的影響造成的偽距測量誤差與目標位置誤差的比例系數［1]，是衡量衛星定位精度的一個重要指標。幾何分布越好，GDOP值就越小，定位精度就越高。因此為了提高GNSS導航定位的精度，應使GDOP值最小［2－3]。

文獻［4－6]給出了GDOP 值與接收機和衛星組成的多面體體積之間的關系，但是未對GDOP的最小值進行分析；文獻［7]對GPS定位中的GDOP進行了分析，推導出了利用4顆衛星導航定位時，GDOP的最小值為；文獻［1]經過分析發現文獻［7]給出的最小值是不能達到的，并利用矩陣的特征值推導出GDOP的理論最小值為文獻［8]［9]從不同角度得到了與文獻［1]相同的GDOP理論最小值及其計算公式。以上文獻在GDOP最小值討論方面均有一定的參考價值。但是分析發現文獻［8]和［9]給出的GDOP最小值計算方法是從純數學角度推導的，沒有考慮到接收機不能接收地平線以下衛星信號的情況。文獻［10]也指出在衛星導航定位中，接收機通常只能接收衛星高度截止角大于零的衛星信號，在實際中上述理論最小值不能達到，但文獻［10]并沒有給出實際GDOP最小值的求解方法。

對現有文獻中GDOP最小值的計算方法進行了討論，分析和給出了其計算GDOP最小值的不合理原因；從實際情況出發，對GDOP最小值的求解重新進行了分析和推導，得到了GDOP最小值的計算方法，并給出了GDOP值達到最小時的衛星空間幾何分布情況；最后給出了仿真和實測算例，驗證了本文推導方法和結果的正確性。

1 現有GDOP最小值計算方法的分析

1.1 GDOP的定義

接收機至衛星i在歷元tk時刻的偽距觀測方程為

式中：ρ為偽距觀測值；D為測站至衛星的幾何距離；c為真空中光速；δti，δt為接收機與衛星鐘差；dion為電離層延遲；dtro為對流層延遲；ε為未模型化的殘余誤差項及觀測噪聲。

在接收機的概略位置ˉrtro＝（x0y0z0）T處泰勒展開，忽略二階以上的小量，得到觀測n（n≥4）顆衛星的觀測方程為

式中：X＝（δxδyδz b）T為待估向量；（δxδyδz b）T為位置改正量；b為接收機鐘差等效距離參數；為n×4的列滿秩系數矩陣；ei＝（exi，eyi，ezi）為接收機指向第i顆可視衛星的方向余弦，滿足｜ei｜＝1，即ei（i＝1，2，…，n）均位于單位球面上；L為n×1觀測向量，其權陣為單位矩陣；ε為n×1隨機誤差向量。

模型（2）中X的最小二乘解為

其協方差陣為Q＝σ20（HTH）－1，其中σ0為未知的單位權中誤差，

則 GDOP＝［tr（HTH）－1]1／2其中tr（HTH）－1表示矩陣（HTH）－1的跡。

GDOP表征了接收機和可視衛星在空間的幾何分布情況。GDOP值最小，則接收機和衛星的空間幾何分布最佳，定位精度最高。另外，隨著可視衛星數目的增加，GDOP的最小值不斷減少，即可視衛星數目越多，GDOP 值越小，定位精度越高［9－10]。

1.2 現有GDOP最小值計算方法的分析

由條件｜ei｜＝1，i＝1，2，…n，可知矩陣HTH的跡為

即

當λi（i＝1，2，3）相等時式（6）的等號成立且當λ4＝n時，獲得最小值文獻［9]在條件下得到了同樣的GDOP最小值。但是這個最小值的獲取有一個前提就是要求HTH為對角矩陣，即需要同時滿足以下條件

由于參與導航定位解算的衛星均應為地平面上方的可視衛星，則所有衛星與z軸的夾角介于0和之間，故要求e＞0，i＝1，2，…，n.這與條件zi相矛盾，所以矩陣HTH不能為對角矩陣。故上述GDOP最小值是數學意義上的最小值，而不是測量意義上的最小值。

2 GDOP最小值的理論推導

推導GDOP的最小值，需要在滿足ezi＞0，i＝1，2，…，n的條件下進行，此時HTH不再是對角矩陣。經過分析，給出如下結論：

證明：因H為列滿秩矩陣，則HTH是正定矩陣，故C、D也是正定矩陣。即，在矩陣偏序意義下滿足C＞0、D＞0.

由分塊矩陣的求逆法可知

由于C、D為正定矩陣，故UD－1UT和UTC－1U 均半正定，即

且當僅當U＝0時上式等號成立。故

進而得

因此

且當僅當U＝0時上式等號成立，證畢。

U＝0要求條件

同時成立，故求解GDOP最小值的問題轉化為尋找滿足上述條件的（exi，eyi，ezi），i＝1，2，…，n.獲得方程（13）的解析解比較困難，根據上述條件和衛星在空間分布越分散GDOP值越小的要求，當n＝4時，可構造一族解如下所示：

經過分析可以發現，這一組解不但滿足上述條件式（13），而且滿足故此時矩陣為C對角矩陣。這一族解有明確的幾何意義：接收機與4顆衛星組成一個對稱的六面錐，中心與Z軸重合，接收機在錐尖位置，4顆衛星不在與XOY平行的平面上，這個六面錐投影在XOY平面上是一個菱形。如果α＝β，則4顆衛星在與XOY平行的平面上，接收機與4顆衛星組成一個以正方形為底的五面錐，但此時系數矩陣H奇異，這樣的解不可取。

將這一族解代入到矩陣HTH中，得到GDOP最小值的計算公式為

根據上式可以方便地利用數值法得到GDOP的最小值。

當n＝5時，可構造一族解為

相應地，GDOP最小值的計算公式為

此時在n＝4的基礎上，增加的第5顆衛星在接收機正上方，即位于Z軸正上方的位置，此時GDOP值亦達到最小。

3 仿真與分析

算例1：為了驗證本文推導出的GDOP理論最小值的正確性，以4顆、5顆可視衛星為例進行仿真分析。分別按下列三種方案計算相應的GDOP最小值，計算結果如表1所示。

1）用該方法計算得到GDOP的最小值，記為GDOPmin1.

3）根據美國JPL噴氣動力實驗室網站提供的衛星軌道根數等數據，不考慮各種誤差的影響，采用外推法計算GDOP的最小值。這個GDOP最小值應該是相對真實的，記為GDOPtrue.

表1 三種方案得到的GDOP最小值

算例2：為了進一步驗證本文結果的正確性，利用XW－GPS1000接收機在鄭州市區采集一天的GPS靜態數據，采樣周期為1s，分析處理后可以得到GDOP值隨可視衛星數變化的曲線如圖1所示。

圖1 衛星GDOP值變化曲線

由圖1可以看出，對于GPS衛星導航系統，由于受衛星數目和衛星軌道長時間變化的限制及觀測時衛星高度截止角的影響，可視衛星數為4、5時，GDOP 最小值分別為3.492、2.430，比理論推導的GDOP最小值大的多。

4 結 論

對GNSS導航定位中GDOP最小值的計算方法進行了分析，得到了以下結論：

1）在導航定位中，接收機通常只能觀測到衛星高度截止角大于0的衛星，因此相關文獻給出的GDOP理論最小值是不合理的，也是不能達到的；

2）對GDOP最小值進行了重新分析和推導，得出當接收機在n顆衛星的空間幾何分布滿足一定條件時，GDOP達到最小值，并利用數值法得到了4顆、5顆可視衛星對應的GDOP最小值；

3）隨著GNSS的發展，當多個衛星導航系統組合導航定位時，隨著衛星數目的增加，衛星的空間幾何分布會得到較大的改善，GDOP值將達到較小；

4）此研究成果可以為星座設計、導航定位精度分析等提供一定的理論參考。

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