附有基線長度約束的模糊度快速解算方法＊

王振杰，喬永杰

（中國石油大學（華東）地球科學與技術學院，山東 青島266555）

0 引 言

在利用載波相位觀測值進行GPS快速定位中，如何快速準確地解算整周模糊度，是一個關鍵的問題［1－2]。國內外很多學者利用某種特征作為約束條件來輔助確定整周模糊度，取得了一些成果［3－8]。Monikes等直接用基線長度約束條件，結合改進的LAMBDA方法進行了模糊度的快速確定［3]。韓保民等在GPS變形觀測數據處理中，將2次觀測的變形值不大以及各變形方向和大小可以比較精確預測等特征作為約束條件，提出了一種含約束條件的單頻單歷元GPS相位求解算法和模糊度搜索方法［4－5]。熊永良等針對建筑物變形監測的特點，提出了一種含變形區間約束條件的GPS變形監測單歷元算法［6]。唐衛民等提出了附有基線長度約束的LAMBDA方法，能在基線長度已知條件下采用LAMBDA方法較高成功率地確定單頻單歷元數據的整周模糊度［7]。李博峰等利用坐標參數和模糊度參數的約束條件，通過改善模糊度浮點解的精度，減小整數模糊度的搜索空間，進而實現模糊度的快速解算［8]。上述快速解算模糊度的方法主要采取兩種手段來提高固定模糊度的成功率：一是采用病態問題或秩虧問題的處理方法改善浮點模糊度解的精度，降低模糊度之間的相關性，利于快速解算整周模糊度［9－10]；二是采用高效率的模糊度搜索技術，快速有效地固定模糊度。

超短基線的長度事先可以精確測量，采用基線長度作為約束條件，提出了一種附有基線長度約束的超短基線的模糊度快速確定新方法。以事先通過精確量距得到的超短基線長度作為約束條件，采用少數歷元在LS估計基礎上得出的模糊度浮點解周圍建立模糊度搜索空間，利用基線長度作為約束條件在模糊度搜索空間內保留多組模糊度備選解，以單位權方差最小為原則，剔除錯誤的模糊度組合，快速確定正確的整周模糊度，實現基線向量的快速解算。

1 附長度約束的模糊度解算方法

1.1 雙頻相位差分觀測方程

在GPS超短基線處理中，一般采用消除了大氣延遲誤差和鐘差誤差的雙差觀測值。設某歷元兩臺雙頻GPS接收機可共視顆GPS衛星，則可以組成個載波相位雙差觀測方程，經過線性化后的雙差觀測方程可以簡寫為

式中：i為歷元號，Ai為k×3維的基線向量系數矩陣；B為k×k維的模糊度向量系數矩陣；Xi為基線向量改正值組成的向量，Xi＝（δXδYδZ）T；N為k維整周模糊度向量；Li為k維雙差觀測值向量，它是雙差實測值與計算值之差；Δi為k維真誤差向量；觀測值的權陣為P，它是k×k維的方陣。

設這兩臺GPS接收機連續有n1個歷元共視了這顆衛星，則這n1個歷元的總的雙差觀測方程為

即寫成

式中：A為n×m維（n＝k×n1，m＝k＋3）系數矩陣；Y為m維待估參數向量；L為n維雙差觀測值向量，其權矩陣為Pn，Pn＝In1?P，Δ為n維真誤差向量。

根據式（3）組成法方程，得到LS解：

1.2 附有約束的整周模糊度快速解算方法

對于超短基線，當基于LS估計求得的模糊度浮點解在一定的精度范圍內時，在模糊度浮點解的周圍建立模糊度搜索空間，可以利用基線長度約束條件在搜索空間中進行整周模糊度的搜索。基于以上思路，采用一種簡單實用的新方法來快速確定整周模糊度。

在Nb的每一個模糊度參數Nbi的±a周內（a一般小于5）確定整周模糊度的搜索空間∑N1，則搜索空間∑N1中包含有（2a＋1）k個可能的模糊度組合，即：

在搜索空間內對每一組可能的整數模糊度依據最小二乘原理都可以求出一個基線長度F，與精確鋼尺量距方法得出的基線長度真值F0相比較。根據：

式中，δ為一個常量，其大小根據載波相位的精度和基線長度來定，一般對于超短基線，如果模糊度正確，利用載波相位觀測值計算出來的基線精度是mm級的，計算基線長度與實際基線長度之差不會超過1cm，因此，δ常取1cm.

在式（6）基礎上，根據式（7）的約束條件，可得出l個可能的最佳模糊度組合∑N2為

式中，i＝1，2，…，l.

由于式（7）約束條件的作用，式（8）∑N2中包含的模糊度個數要少于式（6）∑N1中包含的模糊度個數，利于快速正確的固定模糊度。

根據模糊度的單位權方差最小的原則解算正確的模糊度，即

式中：Na為正確的模糊度；PNc為模糊度的權陣。根據式（9）可以求得最終的模糊度最佳組合Na，進而可求得正確的基線長度。

2 算例及分析

采用2011年4月27日觀測的由三條超短基線構成的微小等邊三角形GPS網，三條基線分別為：A－B、B－C、C－A，如圖1所示。觀測時長為1h，采樣率為1s，截止高度角為15°，設計等邊三角形邊長為2m.基準衛星為PRN－15，參考衛星為PRN－9、PRN－27、PRN－21、PRN－18，得到的四個雙差衛星對為：15－9、15－27、15－21、15－18.

用GAMIT軟件和傳統的LAMBDA方法處理1h的觀測數據，得到三條基線的基線長度和正確的整周模糊度，計算結果如表1所示。將其作為真值，新方法計算得出的基線長度和整周模糊度與

圖1 微小等邊三角形GPS網

其相比較。

表1 基線長與正確的整周模糊度

提出的新方法采用MATLAB編程實現，進行模糊度的快速固定。分別處理三條基線不同歷元數的觀測數據，其中取a＝2，得到整周模糊度以及基線長度，計算結果如表2所示。

表2 不同歷元固定的整周模糊度及對應的基線長度

從表2的計算結果可以看出：

1）當處理少數歷元時，比如50個歷元（50s）以內的數據時，由于模糊度浮點解精度不高，造成確定出的模糊度搜索空間可能不包含正確的模糊度，從而固定模糊度錯誤或搜索不到正確的整周模糊度。需要說明的是：新方法加了式（7）的基線長度約束，計算得出的基線長度與正確值滿足式（7）要求時，并不一定說明正確地固定模糊度，如基線A－B 10、40個歷元時的處理結果。

2）當處理歷元達到50個（50s）以上時，采用該方法得出的模糊度搜索空間中，包含有正確的整周模糊度組合，整周模糊度能夠正確固定，進而得出正確的基線解。

3）算例中采用搜索空間±2周是依據模糊度的浮點解的精度來確定的，一般對于采樣間隔較小的超短基線來說，在取整后的浮點解的±2周內建立模糊度搜索空間，能夠在較短的時間內完成整周模糊度的固定。算例中，當采用50s數據即50個歷元時，可以得到正確的整周模糊度解。

3 結 論

通過理論分析和實例驗證，可以得出如下結論：

1）在雙頻載波相位超短基線處理中，采用附有基線長度約束的模糊度解算新方法只需少數歷元就可以快速確定整周模糊度，能夠實現GPS基線向量的正確解算。該方法簡單有效，能在短時間內準確地固定整周模糊度。該方法在GPS超短基線處理以及運動載體的測姿定向中具有一定的應用價值。

2）本文方法與整周模糊度的浮點解的精度有很大的關系。采用最小二乘法得到模糊度的浮動解，如果模糊度浮點解的精度不高，模糊度搜索空間會依情況增大，可能會喪失該方法的優越性。如何采用正則化的方法來改善模糊度的浮動解，將在后續文章中進行討論。

［1]周忠謨，易杰軍，周 琪.GPS衛星測量原理與應用［M].北京：測繪出版社，1997.

［2]HOFMANN－WELLENHOF B，LICHTENEGGER H，WASLE E.GNSS－Global navigation satellite system GPS，GLONASS，Galileo ＆more［M].New York：Springer－Verlag，2008.

［3]MONIKES R，WENDEL J，TROMMER G F.A modified lambda method for ambiguity resolution in the presence of position domain constraints［C]／／ION GNSS 18thInternational Technical Meeting of the Satelitte Division，Long Beach，CA，2005：81－87.

［4]韓保民，歐吉坤.一種附約束的單頻單歷元GPS雙差相位解算方法［J].測繪學報，2002，31（4）：300－304.

［5]韓保民，歐吉坤，成 樞，等.一種適合單頻接收機的GPS單歷元相位求解算法及其在開采沉陷觀測中的應用［J].煤炭學報，2002，27（5）：479－482.

［6]熊永良，黃丁發，張獻洲.一種可靠的含約束條件的GPS變形監測單歷元求解算法［J].武漢大學學報·信息科學版，2001，26（1）：51－57.

［7]唐衛民，孫紅星，劉經南.附有基線長度約束的單頻數據單歷元LAMBDA方法整周模糊度確定［J].武漢大學學報·信息科學版，2005，30（5）：444－446.

［8]李博峰，沈云中.附有約束條件的GPS模糊度快速解算［J].武漢大學學報·信息科學版.2009，34（1）：117－121.

［9]WANG Zhenjie，CHRIS R，SAMSUNG L.Single epoch algorithm based on tikhonov regularization for deformation monitoring using single frequency GPS receivers［J].Survey Review，2006，38（302）：682－688.

［10]歐吉坤，王振杰.單頻GPS快速定位中模糊度解算的一種新方法［J].科學通報，2003，48（24）：2572－2575.