基于二階錐規劃的寬帶波束形成器設計

劉子龍，丁淑娟，孫廣俊，李鐵成

中國電波傳播研究所，山東 青島 266107

基于二階錐規劃的寬帶波束形成器設計

劉子龍，丁淑娟，孫廣俊，李鐵成

中國電波傳播研究所，山東 青島 266107

1 引言

寬帶波束形成技術是雷達、聲納、通信、醫療、宇航等領域中被廣泛研究的熱門技術之一，恒定束寬響應（constantbeamwidth response）是對寬帶信號進行波束形成的一個基本要求。早在20世紀90年代人們就提出了很多對寬帶信號進行波束合成的方法[1-3]，其中，Nordebo等人提出了設計切比雪夫權系數的方法，該方法只適用于均勻線陣；文獻[2]根據工作帶寬先把天線劃分成許多子陣，再針對不同子陣的每個天線單元單獨設計FIR濾波器，該設計思想在工程中被廣泛引用，但其FIR濾波器設計過程繁瑣；文獻[3]提出一種根據天線孔徑和頻率對應關系來設計陣列和選取權系數的方法，但鑒于天線陣的不連續性及孔徑的有限性，這種方法獲得的結果只是個近似值；Simon等人[4]在總結對比各種優化準則的基礎上，提出利用特征濾波器（eigenfilter）來求取權系數；文獻[5]把波束響應向參考波束響應上投影，以此來獲得最小二乘解；文獻[6]提出利用逆FFT的方法快速求解陣元的復加權系數；當然，還有在頻域上利用聚焦矩陣進行波束形成的方法。這些方法要么只適合特定的陣列結構，要么設計過程繁瑣，特別是在約束條件較多的情況下，設計靈活性變差，不具通用性，且所求結果的精確度難以控制。

在對寬帶波束形成器設計進行深入研究的基礎上，本文首先以兩種典型結構的寬帶波束形成器作為出發點，推導出波束形成器波束響應的統一表達式，然后，根據波束設計中參考波束的選擇情況，為固定參考波束（固定參考模板）和參數化參考波束（參數化參考模板）兩種波束優化問題分別進行了數學建模，并借鑒文獻[7-10]，把二階錐規劃方法引入到寬帶波束形成器的設計求解中來。仿真結果表明，二階錐規劃方法可以在波束形成器的主瓣寬度、旁瓣級、主瓣響應誤差、穩健性等多個指標之間進行全面的折中處理，而且可以利用現有的工具箱軟件進行快速求解，設計結果精確直觀。

2 寬帶波束形成器的結構模型

圖1是典型的時域寬帶波束形成器，它在每個天線陣元的后面連接一個數字延時線Ti(i=1，2，…，M)和一個FIR濾波器，數字延時線的作用是調節波束指向，補償觀測方向來波信號到達各天線陣元的波程差；FIR濾波器的作用是實現寬帶聚焦，使波束在指定的方向上實現寬帶恒定束寬響應。采用數字延時線與FIR濾波器相結合的結構方式，可以使FIR濾波器以較少的階數實現更優的性能[8]。圖1是使用比較廣泛的寬帶波束形成器結構，這里把該結構簡稱為TDLs（Tapped Delay-Lines）[11-12]。

圖1 傳統的時域波束形成器結構示意圖

圖2是基于長方形陣列結構的寬帶波束形成器[11-12]，它對每個天線陣元的輸出直接乘上一個加權系數，再把所有陣元輸出求和，從而實現對寬帶信號的恒定束寬波束形成。圖2與圖1最顯著的區別就是沒有了時域上的FIR濾波器，這使得波束形成的計算過程更加簡練，更適合處理頻率較高的寬帶信號，但它是以增加空間上的天線陣元為代價的，可以理解為是以空域信息來換取時域信息。這里把該波束形成器結構簡稱為SDLs（Sensor Delay Lines）。

圖2 基于長方陣的寬帶波束形成器結構示意圖

對于圖1，以均勻線陣為例，設天線陣列沿直角坐標的x軸排列，天線編號沿x軸的正方向依次減小，設來波信號x(t)的方向偏離x軸法向角度為θ(θ∈[-π/2，π/2])，選取天線陣列中第1個陣元接收的信號為參考，則第m陣元第n個延時節點(xm(n))接收到的信號可表示為：

其中，τm(θ)=(m-1)dsin(θ)/c（d為陣元間距，c為信號在媒質中的傳播速度），Ts是單位時延。對式（1）進行傅里葉變換，并與參考信號作比較，得出TDLs結構中第m個陣元第n個延時節點對信號的頻率響應為：

其中 f是信號頻率。設第m陣元第n個延時節點的復數權系數為hmn，并令：

其中T代表轉置，h為陣列加權向量，e(f，θ)為頻率響應向量。對M個陣元的所有N個延時節點的信號加權求和，可得波束形成器的波束響應為：

對于圖2所示的SDLs結構，取x(0，0)陣元接收的信號作為參考，則陣元x(m，n)對接收信號的頻率響應為：

此時，只要把向量（4）中的各元素用式（6）的結果替換，并把得到的向量e(f， θ)代入式（5），即可得到SDLs結構下的波束響應。

事實上，對于任意結構的陣列模型，它們的波束響應都可以統一表達為式（5）的形式，并且，為了使波束響應逼近某一期望響應，它們的權系數都可以用二階錐規劃方法進行求解[9-10，13-14]。

3 二階錐規劃簡介

二階錐規劃是數值優化問題的一個分支，屬于凸優化問題范疇，二階錐規劃最大的特點就是只要能把一個優化問題轉化為二階錐問題，便可以用快速有效的數學方法（如內點算法）進行求解，并且獲得的解是全局最優的。二階錐規劃集線性規劃與最小二乘擬合等功能于一身，能有效地解決線性不等式約束、二階錐約束條件下的線性目標函數的最優值問題，它的數學模型可表示為：

其中，y∈Rm×1是優化變量，f∈Rm×1，Ai∈R(ni-1)×m，bi∈R(ni-1)×1，ci∈Rm×1，cTiy∈R，di∈R，R為實數，Rm×1表示m×1維實數矩陣，N是二階錐不等式約束個數，||·||表示歐幾里德（Euclidean）范數，不等式（7）稱為維數為ni的二階錐約束，即

是等價的，其中κni是ni維二階錐（或洛侖茲錐），它的定義為：

特別地，當ni=1時，κni成為1維二階錐，此時式（7）變為：min fTy

這就是大家熟悉的線性規劃問題。二階錐規劃問題可以用數值優化工具如Sedumi進行快速有效地求解，求解方法參見文獻[13-14]。

4 恒定束寬響應波束形成器的設計

寬帶波束形成器的設計在很多情況下就是恒定束寬響應波束形成器的設計，該設計要求波束響應主瓣增益保持恒定，而旁瓣低于某一旁瓣級[8-9，12，15]。設計中參考主瓣響應（模板）既可以是某一固定的常規波束響應（固定參考模板），也可以是參數化的波束響應（參數化參考模板），并且在兩種情況下，待求解的約束方程不同。下面，以最小均方準則分別對兩種情況下波束形成器的求解進行數學建模。

設δobj為優化目標函數；f0為參考波束所選用的頻率，P(f0，θmi)為固定參考模板；

fpk∈Fpass-band(k=1，2，…，M1)，為通帶內頻率離散值。

θmi∈Θmain-lobe(i=1，2，…，N1)，為通帶內波束響應的主瓣離散值。

θsj∈Θside-lobe(j=1，2，…，N2)，為通帶內波束響應的旁瓣離散值。

fsl∈Fstop-band(l=1，2，…，M3)，為阻帶內頻率離散值。

則對于固定參考模板，波束形成器權系數的求解問題可表述為：

對于參數化參考模板，權系數的求解問題表述為：

其中，式（11）、（16）的作用是把通帶內主瓣上的波束響應向參考模板進行聚焦，式（12）、（17）是對通帶內波束響應的旁瓣進行約束(M1=M2)；式（13）、（18）是對阻帶內波束響應的約束(N3=N1+N2)；式（14）、（19）是對權系數的范數進行約束，目的是對白噪聲增益進行控制[15]。

式（11）～（19）為恒定束寬響應波束形成器的設計提供了統一的框架，只要選取某一δi(i=1，2，3，4)作為目標函數δobj，把其他δj(j=1，2，3，4， j≠i)設置滿足特定要求的數值，便可以方便地把這些問題轉換為二階錐規劃問題進行求解，但有幾點需要注意：

兩種數學模型適用的場合不同，式（11）～（14）的目的是要逼近某一期望的波束響應，而式（15）～（19）的目的是讓優化算法自動選取高精度的波束響應及其權系數，波束圖形狀不具有任意性，因此不能籠統地說式（15）～（19）的性能優于式（11）～（14）。

目標函數的選取是任意的，這比文獻[12-13]提到的方法都更加靈活，并且目標函數選取不同，求解的結果不同，這在稍后的仿真中可以看到。

約束條件中各個不等式之間是相互制約的，因此各個控制值δi(i=1，2，3，4)是相互影響的，在求解過程中要對這些值進行折中考慮，合理設置，以確保求解的結果滿足要求。

相對于式（11）～（14），式（15）～（19）增加了等式約束（15），它的作用是確定波束指向，并且式（15）對工作頻帶內的每一個頻點都定義了波束指向，仿真發現這比只對單一頻點約束指向的方法[12-13]效果更好。

對于式（16）～（18），可以定義空間響應均方誤差（SRV）函數[12]。以式（16）為例，令：

其中，H代表共軛轉置，*代表復共軛。

且R是Hermitian矩陣，這樣，對R進行Cholesky分解，可以得到：

把式（21）代入式（16），得到：

類似地，式（17）、（18）也可以分別定義SRV函數，并分別變換為：

采用SRV方式處理的好處就是使待求的二階錐問題維數更低，處理的速度相應地也就更快。

如果采用的額外濾波器（模擬濾波器或數字濾波器）對阻帶進行抑制，則式（13）、（18）的約束條件可以適當放松，這樣，在其他指標要求相同的情況下，設計的濾波器結果會更精確。

5 設計實例

5.1 基于TDLs結構擬合固定參考模板的波束設計

以8個各向同性陣元組成的均勻線陣為例，設陣元間距為最高工作頻率 fu所對應波長的一半，且要求在一個倍頻程[fl， fu]=[fu/2， fu]的工作帶寬內實現恒定束寬響應特性。信號的采樣頻率為 fs=4fu，即歸一化工作帶寬為[0.125，0.25]，FIR濾波器階數為16。設頻率離散化間隔為Δf=0.003 125，頻帶取值范圍為 Fpass-band=[0.125，0.25]，Fstop-band=[Δf:Δf:0.1]∪[0.275:Δf:0.5]，其余為過渡帶；角度離散化間隔為Δθ=3°，且Θmain-lobe=[-27°:Δθ:27°],Θside-lobe= [-90°:Δθ:-32°]∪[32°:Δθ:90°]。以 fl所對應的常規波束的主瓣響應作為參考，并以式（14）作為目標函數，旁瓣控制在－20 dB以下，阻帶增益控制為0 dB，用式（11）～（14）方法求解波束形成器的權值，并畫出歸一化工作頻帶內的方向圖如圖3所示，圖4為圖3所對應的三維圖。從圖中清楚地看到主瓣響應非常一致，其均方根誤差為5.445 1×10-5，旁瓣嚴格控制在－20 dB以下，且濾波器的范數值為0.151 88，具有很好的穩健性。

圖3 TDLs結構固定參考模板下求解的波束圖

圖4 TDLs結構固定參考模板下求解的波束圖（三維圖）

5.2 基于TDLs結構參數化參考模板下的波束設計

在該實例中，以式（16）作為目標函數，權系數范數約束小于1，濾波器階數為23，波束設計的其他指標與實例一相同。經過仿真，得到的波束圖如圖5、圖6所示，從圖中可以看到，計算結果很好地滿足設計要求，此時，主瓣響應的均方根誤差為1.197 2×10-5，旁瓣控制在－20 dB以下，且濾波器的范數值為0.042 54。顯然，此設計方法的主瓣擬合精度比實例一中的結果更高。

圖5 TDLs結構參數化參考模板下求解的波束圖

圖6 TDLs結構參數化參考模板下求解的波束圖（三維圖）

5.3 基于SDLs結構參數化參考模板下的波束設計

這里假設陣列為15×15理想陣元構成的均勻方陣，陣元間距為最高工作頻率 fu所對應波長的一半，要求在一個倍頻程[fl， fu]=[fu/2， fu]的工作帶寬內實現恒定束寬響應特性，觀測方位為[-90°，90°]。取陣元 x((M+1)/2，0)= x(7，0)作為參考陣元，并按照式（6）構建每個陣元的頻域響應。角度離散化間隔為Δθ=2°，并設定主瓣內響應不變的區域為Θmain-lobe=[-14°:Δθ:14°]，響應低于－20 dB的旁瓣區域為Θside-lobe=[-90°:Δθ:-21°]∪[21°:Δθ:90°]，其他角度集為空域濾波器的過渡角度區域。選取式（16）作為目標函數，阻帶增益抑制為0 dB，利用式（15）～（19）對權系數進行求解，得到的波束圖如圖7、圖8所示。顯然，旁瓣控制在－20 dB以下，經計算，主瓣響應的均方根誤差為4.304 9×10-7，濾波器的范數值為0.195 62，這一結果比文獻[11]中的結果要精確得多，并且由于選擇了不同的目標函數，使求得的結果比文獻[12]中提到的方法適用于更寬的工作帶寬。

圖7 SDLs結構參數化參考模板下求解的波束圖

圖8 SDLs結構參數化參考模板下求解的波束圖（三維圖）

6 結束語

以二階錐規劃方法為依據，對基于參數化和非參數化參考模板下寬帶恒定束寬響應波束形成器的求解方法進行了數學建模、分析、對比，并以兩種典型結構（TDLs和SDLs）的寬帶波束形成器為仿真對象，對滿足特定要求的多約束波束優化問題進行了求解，仿真結果表明本文提出的波束優化數學模型的正確性以及利用二階錐規劃方法求解該問題的靈活性和有效性。

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LIU Zilong,DING Shujuan,SUN Guangjun,LI Tiecheng

China Research Institute of Radiowave Propagation,Qingdao,Shandong 266107,China

Two typical structures for broadband beamformering using FIR filters and rectangular arrays are discussed respectively, their beampattern is deduced and represented by the uniform function.Based on the selection of reference beampattern,mathematical models are established for these pattern synthesis problems and then solved effectively by SOCP（Second-Order Cone Programming）methods.Simulation results suggest that the proposed mathematical models are general in finding weights of constantbeamwidth broadband beamformers,and the SOCP methods make the pattern synthesis problem with flexible constraints solved in a more accurate,convenient and easy way.

Second-Order Cone Programming（SOCP）;constant-beamwidth response;constant template;variable template

寬帶波束形成器有兩種典型的實現方式，分別基于FIR濾波器和基于長方形陣列，將這兩種波束形成器的波束響應表達為統一的形式，并根據參考波束的選擇情況，為該類波束優化問題的求解建立了數學模型，該數學模型屬于二階錐約束問題，可以用二階錐規劃方法進行求解。仿真結果表明，提出的求解寬帶恒定束寬響應波束形成器權系數的數學模型具有通用性，并且把二階錐規劃方法運用到寬帶波束形成器優化設計中，其約束控制靈活，問題求解方便，設計結果精確。

二階錐規劃；恒定束寬響應；固定參考模板；參數化參考模板

A

TN821.8

10.3778/j.issn.1002-8331.1107-0521

LIU Zilong,DING Shujuan,SUN Guangjun,et al.Design of broadband beamformer based on second-order cone programming.Computer Engineering and Applications,2013,49（5）：195-199.

國家自然科學基金重點項目（No.61032011）。

劉子龍（1979—），男，工程師，研究方向為陣列信號處理；丁淑娟（1980—），女，工程師，研究方向為雷達信號波形設計、陣列信號處理；孫廣俊（1968—），男，高級工程師，研究方向為雷達系統設計、信號處理；李鐵成（1963—），男，高級工程師，研究方向為雷達系統設計。E-mail：bixi1980@126.com

2011-07-26

2011-11-07

1002-8331（2013）05-0195-05