基于卡爾曼濾波最大似然參數估計的氣動參數辨識

李正楠，汪 沛，李國輝，李立新

(空軍航空大學 a.軍事仿真技術研究所;b.模擬訓練中心，長春 130022)

飛行器的參數辨識是根據飛行器的輸入及其響應確定出飛機的模型和模型中的各個參數數值。隨著現代控制理論、統計數學和電子計算機的迅速發展，飛行器氣動參數辨識在飛行試驗數據分析中的應用得到了飛躍發展，并在飛行器設計、飛行模擬仿真中起著越來越重要的作用。它可以驗證和校正飛行器氣動力系數的風澗試驗和理論分析結果，為地面和空中仿真系統提供正確的飛行力學模型，為飛行器控制系統的設計和改進提供基本數據，還可以鑒定飛行品質，研究高性能飛行器的飛行品質，進行飛行器失事事故分析。本文將卡爾曼濾波融合于最大似然參數估計中，利用最大似然函數漸進一致性、估計的無偏性、良好的收斂特性的特點，對各實際工作點的氣動參數進行辨識。

1 基于卡爾曼濾波最大似然參數估計原理

動力學系統的非線性運動方程組可寫成下列通用形式:

式(1)中，X(t)∈Rn×1，U(t)∈Rr×1，θ∈Rn×1是待估計參數矢量，C∈Rn×q是過程噪聲分布矩陣，w(t)∈Rq×1是隨機過程噪聲矢量，均值為零的白噪聲。

數理統計理論證明極大似然估計有如下重要性質:

描述觀測矢量與狀態矢量關系式的觀測方程組取為離散形式:

本文采用j 表示新增的信息，v(tj)∈Ri×1是觀側噪聲，是均值為零的高斯隨機白噪聲，且w(t)和v(tj)獨立無關。

對于以上非線性動力學系統，新息v(j)及其方差B(j)是可以根據卡爾曼濾波給出;應用廣義卡爾曼濾波。得狀態預測方程組:

協方差預測方程組:

測矩陣和系統矩陣采用線化處理得到:

對于j=1 可以根據初始條件直接結合式(3)和式(4)求出預測值(t1|t0)=(1 |0)和預測協方差P(t1| t0)=P(1|0)(這里tj表示從連續方程得到的變量在當時取值，直接用j 表示離散值或固定值)，在下一步向j =2 遞推過程中實際上在區間t∈［t2，t3］上求解，需要給出初值(1|1)和P(1|1)，需要求狀態校正方程組:

協方差方程組:

可以看出表達式非常復雜，無法直接給出式(3)的解析解，因此只能迭代求解。泛函極值的迭代求解法已有多種，如梯度法、共扼梯度法、最速下降法、麥夸特法、高斯法等等，實踐證明牛頓一拉夫遜法對于動力學系統辨識是最有效的。

2 基于卡爾曼濾波最大似然參數估計算法步驟

極大似然參數辨識用于動力學系統的辨識的計算步驟如圖1 所示。

圖1 卡爾曼濾波最大似然參數估計步驟

具體過程如下:

1)輸入初始數據。參數的初估值θ0，狀態初值X0:待估計參數θ 的上限和下限值;動力學系統試驗的觀測量和控制輸入的實測值Zi，Ui(N 個實測數據點)。

3)準則函數J1的計算。利用模型輸出Yi和實測數據Zi，求得J1。

4)協方差矩陣計算。利用模型輸出Yi和實測數據Zi，求得。

5)待辨識參數增量Δθ 的計算。用中心差分法計算出靈敏度矩陣，利用Zi，Yi，求得Δθ。

6)計算新的θ。θi=θi-1+Δθi檢驗所得θi中是否有某個元素所給的上、下限。

圖1 中狀態初值X0可取為t0時刻的實測值，或取由實測值Z(t0)從觀測方程算出的狀態初值X0。參數初值θ0可取過去試驗結果或理論計算結果，θ 上限和θ 下限按待辨識參數的物理意義結合實際情況給定。收斂指標ε 根據辨識精度要求事先給定，一般可取ε≤0.01。

這種改進主要表現在三個方面，即算法的優化、是否考慮過程噪聲以及靈敏度的計算等。極大似然法具有集中處理數據的特點，即對一段時間歷程上的數據集中分析，直接得到所需的氣動參數，此方法也具有較高的精度，其估計具有一致性和無偏性。但是，它也有缺點，主要是計算所需時間較長，易于進行集中處理而不適合在線實時處理。

3 結果與分析

依據上述方法、步驟，通過基于卡爾曼濾波最大似然參數估計方法進行氣動數據的辨識，辨識結果與真實固定翼風洞氣動參數比較，結果如下:

圖2 給出了氣動系數Cx、Cy、Cz辨識曲線與參考曲線的比較?？梢?，通過基于卡爾曼濾波最大似然參數估計的氣動參數辨識方法是有效的，辨識結果具有較高可信度，有利于氣動參數辨識。

圖2 Cx、Cy、Cz 辨識結果與參考值比較曲線

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