香農公式在擴頻通信中的應用

劉昌錦，韋 哲

(解放軍陸軍軍官學院，合肥 230031)

擴頻通信是圍繞提高信息傳輸的可靠性而提出的一種有別于常規通信系統的新理論，其構想形成于二戰時期，理論形成與40 年代末，50 年代初期，60 年代首先在軍事通信保密和抗干擾領域獲得應用，70 年代以來，尤其是其突出的抗干擾性能，擴頻通信(CDMA)系統在移動通信領域占有重要的地位。

1 香農公式

香農公式是擴頻通信的理論基礎，它直接反映了信道容量和信號功率、噪聲功率的函數關系。信道容量的概念是由平均互信息量定義的［1］。平均互信息量I(X;Y)是指信宿平均每接收到一個符號，所能得到信源發送符號的信息量。若取樣頻率一定，就可轉化為信息傳輸速率。因此，發送符號的速率快并不能說明信息速率大。

香農公式指出，當信號的有效帶寬為B，信號和噪聲功率分別為S 和N 時，極限信息傳輸速率即信道容量C 為

滿足的條件是:連續消息是平均功率受限的高斯隨機過程;噪聲為加性高斯白噪聲。由香農公式可以得到以下結論。

1)無論采用何種編碼方式，信息速率R≤C，但在允許的信息速率之下總可以找到某種編碼系統，以任意小的差錯概率傳送信息。為差錯控制編碼提供了理論依據。

如圖1 理想情況下，假設解調器兩端都達到極限信息傳輸速率，即

在Ri=Ro且Si/Ni＞＞1 和So/No＞＞1 的情況下，參考文獻［2］中給出了

在理想帶通系統中，輸出信噪比隨著帶寬比值按指數規律變化。為了提高通信有效性，可以增加發射功率，也可以展寬帶寬，而實際中展寬帶寬顯然比增加功率更易實現，且能夠有效提高信噪比。

3)傳輸信號的有效帶寬越寬，信噪比越高，信道容量越大。但當B→∞時，有，因此不能用無限帶寬換取信道容量，說明帶寬換信噪比是有條件的。下面將從理論分析和仿真驗證兩方面說明香農公式的應用。

圖1 理想帶通系統原理框圖

2 擴頻理論分析

2.1 擴頻通信系統結構

擴頻通信系統的調制過程分為擴頻調制和射頻調制，按照擴頻方式的不同可分為直接序列(DS)擴頻、跳頻(FH)、線性調頻(Chirp)，以及混合方式。在這里以DS 系統為例，分析調制前后頻譜的變化。

圖2 DS 系統基本框圖

設信號源發出的信息流為二進制雙極性不歸零碼a(t)，碼元寬度為Ta，當發送0 碼和1 碼等概時，參考文獻［4］中給出了a(t)的功率譜密度函數

偽隨機序列c(t)的定義與a(t)相似，但是周期的，c(t)與a(t)相乘完成擴頻調制，射頻調制采用PSK，功率譜如圖3。

圖3 擴頻調制后信號的功率譜

接收的過程是超外差式，可以避免瞄準式干擾，無噪聲干擾時可恢復原功率譜。信道傳輸中加入噪聲，接收端解擴和混頻通常是一并進行的。對于有用信息，只要本地PN 碼c'(t)與c(t)相同，碼位對準，經過相關運算就可以無損失地恢復a(t)。對于帶限高斯白噪聲n(t)，經過混頻、解擴后相當于分散了其功率

進一步解調和濾波，可消除噪聲的大部分分量，而保留信號的大部分頻率，從而提高可靠性。

2.2 偽隨機碼與白噪聲比較

白噪聲是一種理想的寬帶隨機過程，它的瞬時值服從正態分布，功率譜密度在整個頻域內是均勻的，自相關函數是在τ =0 點的沖擊，即不同時刻開始的同一噪聲源發出的白噪聲，自相關為零。

由于理想白噪聲具有良好的自相關特性，無法實現對白噪聲的放大、調制、檢測、同步，如能人工模擬，可以用于保密通信而不被截獲。但白噪聲是連續隨機過程，很難模擬其統計特性，但在工程上可用多進制脈沖碼元在相關特性上逼近白噪聲。偽隨機碼(PN 碼)是一種具有類似白噪聲性質的碼，大部分偽隨機碼是周期碼，可以人為地產生和復制，通常由二進制移位寄存器來產生。

圖4 m 序列自相關函數

用m 序列作為偽碼，其自相關函數如圖4。在一個周期內很好地逼近了白噪聲的相關特性，并且隨著N 的增加，在τ=kN 附近越尖銳，其它地方越接近于0，逼近效果越好。以下將通過模擬仿真進一步驗證理論的正確性。

3 仿真與結論

利用Matlab 仿真整個DS 調制和解調、解擴過程。整個程序分為過程模塊、隨機碼模塊、碼形產生模塊、噪聲產生模塊，所有模塊都為函數形式，過程模塊為主體，調用其它函數，自變量為PN 碼寬度。仿真步長為0.001，信息碼、PN 碼由隨機碼模塊產生，并由碼形產生模塊產生近似連續的碼形。噪聲產生模塊產生與信息碼點數相同的噪聲序列。調制采用BPSK，載波用余弦函數的離散點代替，頻率為PN 碼頻率的2 倍。

依照圖5 的流程，為了簡便，在解調的過程中不采用外差式相關，而采用直接式相關。用m 序列發生器產生一段長度為7 的隨機信號和長度為31 的PN 碼，令信號碼寬為1，PN 碼寬為1/4(如圖6)，可計算輸入信號功率為Si=1.001 4。高斯白噪聲功率Ni=8.859 7，輸入信噪比為Si/Ni=-21.801 2 dB，信號完全湮沒在噪聲里。

圖5 仿真流程

圖6 信息碼和PN 碼波形

在接收端用同頻率載波與之相乘，完成解調，再用相同的PN 碼與之相乘，完成解擴。得到其頻譜如圖7 所示(橫軸為歸一化頻率f ' =f/fs，其中fs=100)。

信號頻譜的主要能量集中于f '≤0.01(歸一化頻率)，而高頻分量的能量也很大，這些分量主要是被分散功率的噪聲。為了濾除這些分量，用切比雪夫最佳一致逼近設計FIR低通濾波器，截止頻率設在fc=0.01 處，對其進行濾波，結果如圖8。

圖8 濾波后的波形和頻譜

此波形雖然可以看出原波形的輪廓，但若以0 為判決電平，一些毛刺仍會在很多時刻影響判決，這些毛刺是高頻的噪聲。從頻譜可以看出在f ' =0.25 ～0.3 處有較明顯的噪聲干擾，由于濾波器的阻帶不可能增益為0，所以未能消除，因此對其進行二次濾波(如圖9)。

圖9 二次濾波后波形

圖10 錯判概率與PN 碼寬度的關系

經過二次濾波，如果設置0 為判決電平，無誤地恢復+1、-1 的概率將增大。但仿真中的PN 碼速率不夠高，不能有效地分散和濾除噪聲的頻譜。為了探究PN 碼速率和通信有效性的關系，選取碼寬從1 到1/1000 的14 組碼寬，重復上述實驗。由于噪聲是隨機的，每一判決時刻錯判概率近似于一段時間出錯的頻率。因此用該時間段判決錯誤的頻率為衡量標準，得到如圖10 所示并擬合曲線。

以上仿真實驗可以得出:

1)該實驗是在頻域較廣的高斯白噪聲下進行的，其它頻域有限的干擾的頻率會被更大地分散，通信質量會好于該實驗。

2)增加PN 碼速率可以降低誤碼率，但只有碼速率有數量級的提高才能明顯地降低誤碼。要保證可靠通信，必須滿足Tc＜＜Ta。

3)濾波器的性能非常重要。本實驗中35 階濾波器的過渡帶過長，一次濾波的效果并不好，但多次濾波又使得信號能量降低，過高的階次又會使接收有明顯的延遲，因此要選用合適的濾波器。接收端信號功率小且含有雜波，可以接入小信號選頻放大電路，進一步放大和選擇信號。

4 結束語

擴頻通信從編碼的角度來看，是通過增加冗余而減少誤碼概率的，犧牲了有效性。本文選取了DS 系統發送和接收過程，分析了兩個過程中信號和噪聲的帶寬、信噪比的變化情況，并定性地給出了曲線圖，說明了通信質量的改善。實際工程中為了增強有效性，常常從兩個方面下手，一是設計性能更好的PN 碼，使選擇的可能性增多，敵方干擾、破譯的可能性降低;二是降低信息速率，可以采用線性預測編碼、矢量量化編碼等技術。擴頻通信的前景非常廣闊。

［1］沈連豐，葉芝慧. 信息論與編碼［M］. 北京: 科學出版社，2007.

［2］韋惠民.擴頻通信技術與應用［M］.西安:西安電子科技大學出版社，2007.

［3］田日才.擴頻通信［M］.北京:清華大學出版社，2007.

［4］樊昌信，張甫翊，徐炳祥，等.通信原理［M］.北京:國防工業出版社，2005.