規(guī)定水平下重置期權(quán)的有限差分解

朱盛,班濤,何華飛

(河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南焦作 454003)

規(guī)定水平下重置期權(quán)的有限差分解

朱盛,班濤,何華飛

(河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南焦作 454003)

利用Black-Scholes偏微分方程,結(jié)合重置期權(quán)與關(guān)卡期權(quán)的關(guān)系,建立了規(guī)定水平下的重置期權(quán)定價模型,最后運用C-N格式和θ法構(gòu)造該模型的有限差分格式.

重置期權(quán);期權(quán)定價;C-N差分格式;θ法

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.04.004

1 引言

隨著國際金融市場不斷創(chuàng)新與發(fā)展,為滿足客戶的個性化需求,大量由標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)變化組合派生出來的新型期權(quán)應(yīng)運而生,比如重置期權(quán)、博弈期權(quán)等[1].重置期權(quán)就是其中一種被市場歡迎和認(rèn)可的新型期權(quán).它是這樣一張期權(quán)合約,當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格達(dá)到某一預(yù)先給定的水平時,按合約規(guī)定,將重新設(shè)定敲定價格,以使持有人有更多的獲利機會[2].這樣的重新設(shè)定可以是一次也可以是多次.

重置期權(quán)可以分為兩大類:(1)規(guī)定水平的重置期權(quán);(2)規(guī)定時間的重置期權(quán).作為一種衍生證券,重置期權(quán)的定價取決于標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化.由于標(biāo)的資產(chǎn)價格變化具有隨機性,因而由此衍生產(chǎn)生的重置期權(quán)的價格變化亦必是隨機的[3].

文獻(xiàn)[4]對跳躍擴散模型下重置期權(quán)定價問題作出研究,并推導(dǎo)出相應(yīng)的定價公式.對于多個重置時間的重置期權(quán)定價問題,文獻(xiàn)[5]進(jìn)行了深入的探討,得出相應(yīng)的計算格式和算法,并證明了其方法的收斂性和有效性.文獻(xiàn)[6]利用風(fēng)險中性定價原理,得到股價服從指數(shù)O-U過程的多個重置日期和若干個執(zhí)行價格的重置期權(quán)定價模型.文獻(xiàn)[7]在假設(shè)利率服從擴散的Vasicek模型以及標(biāo)的資產(chǎn)服從分?jǐn)?shù)跳躍擴散過程的條件下,利用無套利理論,構(gòu)建出規(guī)定時間的重置期權(quán)定價公式.文獻(xiàn)[8]對規(guī)定水平下重置期權(quán)價格的精確解作出研究.然而,隨著執(zhí)行價格重置次數(shù)的增加以及相關(guān)參數(shù)的一般化,重置期權(quán)價格的解析解變的非常復(fù)雜,甚至不實用,不能很好地滿足投資者的需求.因此,對重置期權(quán)價格的數(shù)值解進(jìn)行探討有著重要的現(xiàn)實意義和實用價值.

本文主要研究規(guī)定水平下重置期權(quán)的有限差分解.文中首先利用Black-Scholes偏微分方程建立了規(guī)定水平下的重置期權(quán)定價模型,運用C rank-Nicolson格式和θ法構(gòu)造該模型的有限差分格式,并對兩種數(shù)值方法的優(yōu)缺點進(jìn)行比較.最后,結(jié)合實際案例,利用Matlab程序計算相應(yīng)的數(shù)值解,進(jìn)而對兩種方法的有效性進(jìn)行驗證.

2 重置期權(quán)的數(shù)值解法

2.1 C rank-N icolson差分格式

2.2 θ法

2.3 兩種差分格式的比較

以上,通過兩種方法對重置期權(quán)價格所滿足的常系數(shù)拋物型方程構(gòu)造了差分格式.兩種方法各有優(yōu)勢,可根據(jù)不同的需求選擇相應(yīng)的差分格式.Crank-Nicolson格式是無條件穩(wěn)定的,對步長比沒有任何限制,因此利用這種格式進(jìn)行計算時,可根據(jù)實際情況確定不同的步長比.比如,可以取較大的步長比,從而達(dá)到減少計算工作量的目的.然而,θ法則不同.當(dāng)0≤θ＜0.5時,該差分格式是條件穩(wěn)定的,需要選取合適的步長比來保證差分格式的穩(wěn)定性;當(dāng)0.5≤θ≤1時,該差分格式是無條件穩(wěn)定的(證明方法類似于文獻(xiàn)[12]).從穩(wěn)定性的角度來說,顯然Crank-Nicolson格式較θ法有一定的優(yōu)勢,可以通過改變步長比減少計算工作量,并能得到較高精度.從精度的角度來看,θ法可以通過改變步長比,進(jìn)一步減少截斷誤差,提高精度.另外,當(dāng)θ=0.5時,通過θ法構(gòu)造的差分格式即是Crank-Nicolson格式,因此可以認(rèn)為θ法是C rank-Nicolson格式的推廣.

3 案例分析

現(xiàn)有參數(shù)如下的重置看漲期權(quán):

下面分別利用Crank-Nicolson格式和θ法計算出重置期權(quán)價格的數(shù)值解,并與精確解作出相應(yīng)的比較,具體數(shù)據(jù)如下(見表1):

表1 重置期權(quán)價格的數(shù)值解與精確解比較

在表1中,重置執(zhí)行價格K1分別取不同的值,從而對應(yīng)的重置期權(quán)價格相應(yīng)地發(fā)生變化.數(shù)據(jù)表明,用Crank-Nicolson格式和θ法求解重置期權(quán)價格數(shù)值解都與其精確解比較接近的,因此這兩種方法是有效的.

4 結(jié)論

重置期權(quán)是一種路徑依賴期權(quán),在金融市場中扮演重要的角色,也是金融工程領(lǐng)域研究熱點之一.本文在Black-Scholes關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價格和市場完備性的相關(guān)假設(shè)條件下,根據(jù)B-S偏微分方程和關(guān)卡期權(quán)定價模型,構(gòu)建出規(guī)定水平下重置看漲期權(quán)定價模型.然后,對該模型進(jìn)行換元,將該模型轉(zhuǎn)換為常系數(shù)拋物型方程的Cauchy問題,并通過運用Crank-Nicolson法和θ法構(gòu)造出其有限差分格式.最后,運用Matlab程序?qū)υ摲椒ㄟM(jìn)行實現(xiàn).計算結(jié)果表明:本文所提出的兩種方法均是有效的.然而,文中只研究執(zhí)行價格最多重置一次的重置期權(quán)定價問題,對于可多次重新設(shè)定執(zhí)行價格的重置期權(quán)定價問題仍有待后續(xù)研究.

致謝感謝審稿專家和責(zé)任編輯的意見和建議.

[1]王磊,金治明,肖艷.具隨機折現(xiàn)的博弈期權(quán)定價問題[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2010,26(3):458-466.

[2]米玲俠,薛紅.跳-擴散環(huán)境下障礙期權(quán)及重置期權(quán)定價[J].西安工程大學(xué)學(xué)報,2010,24(1):118-121.

[3]Graysf,W haleyre.Reset put op tions:Valuation,risk characteristics and an app lication[J].Australian Journal of Management,1999,24(1):1-20.

[4]李松芹,張寄洲.跳躍擴散模型下重置期權(quán)的定價[J].高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報,2005,27(12):181-187.

[5]Costabile M assim o,M assabo Ivar,Russo Em ilio.On p ricing arithm etic average reset op tions w ith m ultip le reset dates in a lattice framework[J].Journal of Com putational and Applied M athematics,2011, 235(17):5307-5325.

[6]王雯雯,徐云.服從指數(shù)O-U過程的多點重置期權(quán)定價[J].數(shù)學(xué)理論與實踐,2011,31(4):85-90.

[7]秦進(jìn),鄧小華.隨機利率下服從分?jǐn)?shù)跳-擴散模型的重置期權(quán)定價[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2012,42(19):1-9.

[8]Goard Joanna.Exact solutions for a strike reset put option and a shout call option[J].M athematical and Com puter M odeling,2012,55(5):1787-1797.

[9]B lack F,Scholes M.the p ricing of op tions and corporate liabilities[J].J.Political Econom y,1973,81(3):637-654.

[10]John C,Hu ll.Op tions,Futures,and Other Derivatives[M].4th ed.Hertfordshire:Prentice Hall,UK,2000.

[11]姜禮尚.期權(quán)定價的數(shù)學(xué)模型和方法[M].北京:高等教育出版社,2003.

[12]M orton K W,M ayers D F.Num erical Solu tion of Partial Dif erential Equations[M].Camb ridge:Cam bridge University Press,UK,2005.

Fin ite d if erential solu tions of level-required reset op tion

Zhu Sheng,Ban Tao,He Huafei
(School of Mathematics and Information Science,Henan Poly technic University,Jiaozuo 454003,China)

Based on the relation between barrier op tions and reset op tions,the p ricing model of the levelrequired reset op tion can be established by using the B lack-Scholes partial d if erential equation.Finally,the paper builds fnite dif eren tial schem es of them odel by the C-N schem e and-m ethod.

reset options,op tion pricing,C-N dif erential scheme,θ-method 2010 M SC:60G05

O211. 6;F830

A

1008-5513(2013)04-0350-09

2013-05-20.

國家自然科學(xué)基金(11226254);河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點項目(12B 110010);應(yīng)用數(shù)學(xué)省級重點學(xué)科.

朱盛(1980-),講師,研究方向：金融衍生產(chǎn)品定價.