考慮齒間摩擦力的齒根彎曲應力計算

佘勃強，吳引江，崔亞輝

（1.西北有色金屬研究院寶德公司，陜西 西安710016；2.西安理工大學機儀學院，陜西 西安710048)

現行的齒根彎曲強度計算中只考慮了法向嚙合力，而忽略了齒間摩擦力[1~2]。李秀蓮、徐輔仁等人對齒間摩擦力對齒根彎曲應力的影響做了研究，認為在齒間摩擦系數大的情況下可使齒根彎曲應力增加10%以上[3~5]。

本文進一步按照現行的齒輪強度計算方法全面地分析了齒間摩擦力對增速傳動和減速傳動中大、小齒輪齒根彎曲應力的影響，并對影響程度進行了定量計算。

1 力學模型的建立

齒間摩擦力的方向在主動輪嚙合齒面上是背離節線，分別指向齒根和齒頂的，而在從動輪嚙合齒面上正好相反[2]。主、從動輪齒頂嚙合時計算齒根彎曲應力的簡化力學模型分別如圖1中（a）、（b）所示。輪齒在嚙合面上受沿嚙合線方向的法向載荷Fn及沿齒面接觸點切線方向的切向載荷Ff（齒間摩擦力）的作用。為便于研究，將法向載荷Fn沿嚙合線移動到主動輪輪齒中線的K點，將切向載荷Ff沿齒頂R點的漸開線切線也移動到輪齒中線的E點，令齒間摩擦力Ff與輪齒齒廓對稱中線所夾銳角為αF，于是，Fn被分解成垂直于輪齒中線及沿著輪齒中線的兩個分量FncosαF和FnsinαF。類似地，Ff也被分解為FfsinαF和FfcosαF。在這里主動輪上的FnsinαF與FfcosαF方向相反（從動輪上的FnsinαF與FfcosαF方向相同），前人的研究業已表明它們的合力在齒根剖面上產生的壓應力與該剖面上彎曲應力相比甚小，可忽略不計[2]。因此，本文主要考慮FncosαF和FfsinαF聯合作用下的齒根彎曲應力。

圖1 考慮摩擦力的輪齒力學模型

2 計算公式的推導

在考慮摩擦力的作用下，齒根危險剖面的彎曲應力計算公式為[1~2]：

其中，W為齒根危險截面的抗彎截面模量；

式中，Fn（f）為考慮齒間摩擦力時的法向力,主動輪為“+”，從動輪為“-”。

齒輪彎曲疲勞強度計算已形成統一規則：對于相互嚙合的一對齒輪，無論是計算小齒輪還是大齒輪的齒根彎曲疲勞應力，只以小齒輪的扭矩及分度圓直徑為依據，因此應建立考慮齒間摩擦力時的小齒輪傳遞扭矩T1與Fn（f）之間的關系。

當小齒輪為主動輪時，由圖2所示關系可得：

圖2 小齒輪主動時齒頂嚙合受力示意圖

同理，當小齒輪為從動輪時（此時齒間摩擦力Ff的方向正好與作主動輪時的相反）有：T1=Fn（f）rb1-Ff，由于有αB21=αa[2]，αa1為小齒輪齒頂圓上的壓力角，從而可得考慮齒間摩擦力時小齒輪上的Fn（f）與小齒輪傳遞扭矩T1之間的關系為：

式中，小齒輪主動為“+”，小齒輪從動為“-”。

大齒輪主動時的齒頂嚙合受力如圖3所示。同理可得：

圖3 大齒輪主動時齒頂嚙合受力示意圖

式中，大齒輪主動為“+”，大齒輪從動為“—”。

由漸開線標準齒輪的性質可知：

代入上式并整理可得考慮齒間摩擦力時大齒輪上的Fn（f）與小齒輪傳遞扭矩T1之間的關系

將（2）、（3）式代入（1）式并整理后可得考慮齒面間摩擦力時的齒根彎曲應力為：

式中：ρ（f）為彎曲強度摩擦因子，反映了齒面間摩擦力對齒根彎曲應力的影響程度。齒輪主動時為“+”，齒輪從動時為“-”。

3 彎曲強度摩擦因子的計算

對于標準漸開線齒形，其簡化力學模型如圖4所示，經過推導可得到下列方程組。

圖4 輪齒的簡化力學模型及其幾何參數[3]

其中：αa1為小齒輪齒頂圓處的壓力角；αa2為大齒輪齒頂圓處的壓力角；α為分度圓處的壓力角；sa為齒頂圓處的齒厚；z1為小齒輪的齒數；z2為大齒輪的齒數；f為嚙合齒面間的摩擦系數。齒輪主動時為“+”，齒輪從動時為“-”。

由以上方程組可以看出，影響彎曲強度摩擦因子ρ（f）的因素有：齒輪齒數z、分度圓壓力角α、模數m及嚙合齒面間的摩擦系數f。進一步利用Matlab語言編程可以計算出彎曲強度摩擦因子ρ（f）與上述諸因素的關系。結果表明，z和f的影響較大，見圖5、圖6所示。

圖5 ρ（f）與z的關系

圖6 ρ（f）與f的關系

從圖中可以看到，小齒輪和大齒輪上的彎曲疲勞強度摩擦因子隨z、f變化趨勢基本是一樣的，當其為主動輪時都大于1，當其為從動輪時都小于1。無論為主動輪還是從動輪，齒數z對大小輪上的彎曲強度摩擦因子影響都不大，不超過±2.5%。齒面摩擦系數f對小齒輪上的彎曲強度摩擦因子影響也比較小，在±3%范圍之內。而對大齒輪上的彎曲強度摩擦因子影響就比較大，當f大于0.08時會使主動大齒輪上的彎曲強度摩擦因子增加到1.05以上，當f=0.15時主動大齒輪上的彎曲疲勞強度摩擦因子幾乎增加到1.1時，從而使齒根彎曲應力相應增加10%。當大齒輪從動時，齒面摩擦系數f使彎曲強度摩擦因子減小1%到10%。

定量計算結果明確展示了摩擦系數f對大小齒輪的齒根彎曲疲勞強度的影響程度，表明當大齒輪作為主動輪時有必要計入齒間摩擦力的影響。

4 結束語

通過本文的分析計算，可以得出以下結論：

（1）在減速傳動中，齒間摩擦力使小齒輪齒根彎曲應力增加不超過3%，大齒輪齒根彎曲應力減小1%到10%。因此在設計校核時將齒間摩擦力忽略掉是完全可行的。

（2）在增速傳動場合下，齒間摩擦力使主動大齒輪的齒根應力增加1%到10%，當齒面摩擦系數f大于0.08時就增加5%以上，主動大齒輪齒根彎曲強度的精確計算校核有必要考慮齒間摩擦力的影響。

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