二維三角晶格光子晶體的光子帶隙分析

張 曉 娟

(渭南師范學院a.物理與電氣工程學院;b.X射線基礎研究中心，陜西渭南714000)

光子晶體最基本的特征就是存在光子帶隙(photonic bandgap，簡稱PBG)，落在PBG中的電磁波，無論其傳播方向如何，都是被禁止傳播的.設計性能良好、易控制的PBG非常重要，一般來說，光子晶體的PBG越寬，其性能越好.設計大PBG光子晶體的方法主要是針對某個特定的晶格結構，通過調控其結構參數來實現大PBG優化［1-5］，這就限制了優化和設計大PBG研究工作的進一步開展.而影響PBG寬度的因素很多，如晶格結構、材料介電常數、晶格常數、原子半徑及缺陷類型等.本文主要采用平面波法［6-7］，詳細分析影響三角晶格PBG的因素.

1 周期性三角晶格的PBG

對于三角結構晶格中的圓形原子，其單位元為平行四邊形，介電常數在倒格子空間的分布不能直接通過倒格矢得到，只能應用數值快速傅里葉變換FFT算法得到.而FFT一般僅用于處理正交空間的問題，要解決非正交空間問題，需要經過坐標變換將非正交坐標系變換到正交坐標系.

三角晶格［8-9］的晶格模型如圖1(a)所示.圖1(b)為三角晶格的第一布里淵區，圖1(c)為三角晶格單位元，對應的單位元經過坐標變換，由非正交坐標系變換到正交坐標系中，得到如圖1(d)所示的單位元.Γ、X、M定義了第一布里淵區的基矢量，波矢量k取如圖1(b)所示的黑色區域邊界.

三角晶格基矢量的選擇和正方晶格有所不同，為

圖1 二維三角晶格

為了方便比較［10］，選擇εa=11.56(磷化銦)，εb=1(背景材料為空氣)，R=0.20a，計算得到周期性三角晶格光子晶體的PBG分布，如圖2所示.圖中斜線框所示區域為對應的PBG，以下相同，不再重復說明.可以看出，TM波在歸一化頻率0.28～0.45之間形成PBG，而TE波在歸一化頻率0.8248～0.8736之間形成PBG.雖然各自都存在PBG，但是相互之間沒有重合，不存在完全PBG.即同一種結構的光子晶體，對于同一入射方向不同模式的入射光波的調制不同.這與正方晶格的結果［8］一致.

圖2 二維三角晶格的PBG分布

2 原子半徑R對PBG的影響

選擇εa=11.56，εb=1.0，討論原子半徑R不同對PBG的影響.結果如圖3(a)所示，其中豎線和點線圍起來的區域分別為TM波和TE波所形成的PBG.可以看出，相對于正方晶格而言，三角晶格所形成的PBG更寬，而且，TE波傳輸時存在PBG，不過僅在R/a比值為0.2附近出現.如果選擇εa=1，εb=11.56，則其PBG隨原子半徑的變化曲線如圖3(b)所示，圖中豎線區域為TE波形成的PBG，點區域為TM波對應的PBG.可以看出，TE波和TM波在R/a比值0.41之后存在完全PBG，和(a)情況相反，TE波相比TM波更易形成PBG，且TM波對應的PBG范圍較窄，僅在空氣孔尺寸比較大的情況下.

圖3 二維三角晶格中PBG隨原子半徑R的變化

3 原子介電常數εa對PBG的影響

選擇R=0.20a，εb=1，改變εa，得到的PBG如圖4所示.其中豎線和點線所圍區域分別為TM波和TE波形成的PBG.可以看出，TM波和TE波各自形成獨立的PBG，但不重合，不存在完全PBG.且隨著原子介電常數的增加，TM波的PBG寬度逐漸增加，TE波的PBG寬度逐漸減小.

圖4 原子介電常數εa對PBG的影響

4 點缺陷對PBG的影響

這里主要討論兩種點缺陷三角結構光子晶體，如圖5所示.其中圖5(a)為中心去掉一個原子的實心結構，(b)為填充一個大空氣孔的空心光子晶體結構.選擇參數εa=11.56，εb=1.0，R=0.20a，中心大空氣孔半徑R1=0.70a.應用超元胞和傅里葉變換等基本理論來實現程序的設計，計算實心三角晶格的PBG，為了清楚地說明問題，這里我們將TM波、TE波所形成的PBG分別做出，結果如圖6所示.其中圖6(a)和(b)分別為TM波和TE波所形成的PBG，圖6(c)是將兩者做在一個圖上的效果.可以看出，相比沒有缺陷的周期性結果(如圖2)，TM波在原來的PBG中間形成了一個通帶，TE波PBG對應的歸一化頻率降低，如圖6(c)所示，形成了兩個完全PBG，對應歸一化頻率范圍為0.4158～0.4183及0.4674～0.4869.這與正方晶格的結果有很大不同.

(a)TM波;(b)TE波;(c)TM和TE波

計算得到空心三角晶格的PBG分布如圖7所示.同樣圖7(a)和(b)分別為TM波和TE波所形成的PBG，圖7(c)是將兩者做在一個圖上的效果.可以看出，TM波在PBG中間位置增加了三個通帶，TE波PBG的歸一化頻率也降低，形成三個較窄的PBG，這樣入射到光子晶體的光波總可以形成如圖(c)所示的三個完全PBG.但相比較而言，其完全PBG的寬度比實心三角晶格的要窄.

圖7 空心三角晶格的PBG分布

5 線缺陷對PBG的影響

在周期性三角晶格光子晶體中去掉中心一排原子，形成如圖8(a)所示的線缺陷三角晶格結構.仍選取結構參數εa=11.56，εb=1.0，R=0.2a，得到其能帶分布如圖8(b)所示.可以看出，不同于正方晶格線缺陷，在光子禁帶中間增加了兩個通帶，但其歸一化頻率范圍很寬，幾乎覆蓋整個禁帶.

圖8 二維三角晶格線缺陷結構及其PBG分布

6 結論

采用平面波法對不同二維三角晶格光子晶體的PBG進行了分析.結果表明，相比正方晶格，三角晶格分布的光子晶體更易形成光子帶隙，但一般TM波和TE波所形成的光子帶隙并不重合，為了獲得完全光子帶隙，最好的方式是在周期性光子晶體中引入缺陷.

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［10］張曉娟.二維正方晶格光子晶體的光子帶隙分析［J］.渭南師范學院學報，2012，27(12):37-40.