自適應光學隨機并行梯度下降控制算法的研究

徐友會，佟首峰

(長春理工大學 空間光電技術研究所，長春 130022)

0 引言

目前大多數自適應光學系統都是應用波前傳感器探測出畸變波前的相位信息，然后用波前處理機重構出波前，再用校正器進行校正［1-2］。這類自適應光學系統結構復雜，成本較高，且受閃爍效應的影響，當光波傳播距離較遠或湍流較強時，會導致常用的哈特曼波前傳感器不能準確的獲得波前信息，從而導致依靠探測波前信息的傳統自適應光學系統不能正常工作。因此，結構簡單且不依賴波前測量的校正式自適應光學系統逐漸成為人們新的研究方向［3-4］。

這種系統使用優化算法直接對性能指標進行優化，不需依賴波前探測器探測畸變波前信息，從而降低了系統的復雜性，也降低了控制算法的復雜性。在這種系統中優化算法的選取時關鍵。目前常用的算法有隨機并行梯度下降算法(SPGD)、模擬退火法(SA)、遺傳算法(GA)，其中國內外研究表明，隨機并行梯度下降算法是一種比較具有前途的優化控制算法。

1 自適應光學系統SPGD算法

圖1 SPGD算法流程圖

1.1 SPGD算法的實現過程

SPGD算法作為一種循環控制算法，實時控制變形鏡的驅動電壓，從而優化性能指標J。在自適應光學系統中，殘余相位φ(r)=φ(r)+u(r)，其中φ(r)為畸變波前相位，u(r)為波前校正器引入的相位，r=(x，y)為與光軸垂直的平面內的位置矢量。SPGD算法的具體實現過程如下:隨機生成擾動向量δu(n)={δu1，δu2，...，δuN}(n)，其分布滿足伯努利分布，即幅值的絕對值相等概率相等(初始值一般都取0)。性能指標的變化量為δJ(n)=J(+n)-J(-n)，其中

則梯度估計為δJ(n)δu(n)，利用梯度下降進行迭代:u(n+1)=u(n)+γδJ(n)δu(n)，在實際操作中，若目標函數向極大化方向優化，γ正值;反之取負值。迭代的過程就是在一定的迭代步數內，在控制參量空間尋找最優的電壓向量u(r)，使得殘余相位最小，系統性能達到最優。算法流程圖如圖1所示:

1.2 控制參量

在SPGD算法中控制參量為變形鏡的驅動電壓引入的相位，其表達式為:u(r)=∑Nj=1ujSj(r)，式中:N為變形鏡驅動器個數，在文中取32;uj為第j個驅動器的驅動電壓;Sj(r)為第j個驅動器的影響函數，其表達式如下所示:

圖2 驅動器的分布形式

其中p為驅動器的交連值，а為高斯指數(文中取2)，rd為驅動器之間的歸一化間距，xc(j)，yc(j)為第j個驅動器坐標，驅動器的排布形式如圖2所示。

1.3 性能指標

本文選取斯特列耳比SR為系統的性能指標。斯特列爾比是自適應光學領域評價光束質量的一個重要的性能指標，峰值斯特列爾比定義為實際光斑峰值強度與衍射極限光斑峰值強度的比值，可以由下式計算得到:SR≈1-(2πδ)2

2 數值仿真結果與分析

實驗中采用Zernike多項式模擬大氣湍流畸變波前，且只取多項式的前30項，其模擬結果如圖3所示:

2.1 擾動幅值與增益系數的影響

在利用基于SPGD算法的自適應光學校正波前畸變實驗中可以看出，選取不同的擾動幅值和增益系數時，系統的收斂速度會有所不同，其校正效果也有所差異。因此下面就著重討論一下當其他條件一定，選取不同的擾動幅值和增益系數時，對校正效果有何影響。

圖3 校正前的畸變波前

圖4 不同增益系數時的斯特列爾比的變化曲線

圖4 給出了當擾動幅值取1時，增益系數分別取0.18、0.35、0.95、1.95、2.35時對應的SR的變化曲線示意圖。從圖中可以明顯看出，當增益系數取不同值時，SR值收斂到同一值時所需的迭代次數是不同的。增益系數取值過小時，收斂速度慢，例如當=0.18時，迭代1000次，SR在0.6左右;增益系數太大，前期收斂速度快，

但后期容易陷入局部極值，例如當=2.35時，SR只收斂到0.6左右且曲線波動較大;而當=0.95時就比較理想了，既保證了收斂速度又保證了校正效果。另外，從圖中還可以看出，隨著增益系數的增大，SR曲線圖出現了抖動，而且值越大，抖動越明顯。

圖5給出了當增益系數為0.95時，不同的擾動幅值對應的SR變化曲線。從圖中可以看出，擾動幅值從0.1到0.5再到1.0時，SR的收斂速度逐漸加快;而從1.0到1.5再到2.0時，SR的收斂速度逐漸減慢。

從以上分析可以看出，對于擾動幅值和增益系數而言，只要其中一個固定，另一個就會有一個合適的變化范圍。所以在具體應用中只要固定一個而調節另一個就行了。

圖5 不同擾動幅度時的斯特列爾比的變化曲線

圖6 增益分段與增益固定仿真結果的比較

2.2 分段增益

由以上分析可以看出，對于擾動幅值固定時，SR的收斂速度隨著增益的改變而變化。在校正初期，畸變較大，所以需要較大的增益以實現對畸變的快速校正;在校正中后期，選擇較小的增益可以獲得更好的校正效果。所以本文提出了分段增益的方法，即在校正過程中不斷改變增益大小，來獲得較快的收斂速度以及較好的校正效果。在校正過程中，將增益大小分為N段(即增益從大到小取N個不同的值)，算法每迭代1000/N次，增益就減小0.25(文中初始增益固定為2.15)。圖6表示增益固定時(取0.95)SR的變化情況與增益分段(N=6)時SR的變化曲線的對比。

從圖中可以看出，當SR到達0.8時，分段增益相對于固定增益有一定的優勢，這是因為在校正前期分段增益有較大的增益，保證了收斂速度;而在中后期分段增益具有較小的增益，從而保證了校正效果。

3 結語

本文介紹了隨機并行梯度下降算法的基本原理，并分析了影響算法收斂速度的兩個主要因素——擾動幅值和增益大小:固定增益大小，擾動幅值就會存在最優取值范圍;固定擾動幅值，增益也存在相應的最優取值范圍。最后論文介紹了優化算法的一種方法:分段增益，并仿真驗證了通過這種方法可以有效的改善校正效果。

［1］Robert K.Tyson.Principle of Adaptive Optics［M］.San Diego:Academic Press，1991.

［2］Richard A.Muller，Andrew Buffington.Real time correction of atmospherically degraded telescope images through image Sharpening［J］.J.Opt.Soc.Am.，1974，64(9):1200-1210.

［3］姜文漢，黃樹輔，吳旭斌.爬山法自適應光學波前校正系統［J］.中國激光，1988，15(1):17-21.

［4］張雨東，姜文漢.像銳化自適應光學系統中的多極值問題［J］.中國激光，1990，17(4):193-197.