基于多重分形與奇異值分解的往復(fù)壓縮機(jī)故障特征提取方法研究

趙海洋，徐敏強(qiáng)，王金東

往復(fù)壓縮機(jī)具有結(jié)構(gòu)復(fù)雜，激勵源眾多，部件運(yùn)動形式多樣等特點，其傳動機(jī)構(gòu)往往因為長期的摩擦、磨損造成軸承間隙故障，導(dǎo)致整機(jī)振動超標(biāo)而停機(jī)，影響生產(chǎn)。往復(fù)壓縮機(jī)故障診斷存在如下難點:①系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性;②激勵和響應(yīng)具有非平穩(wěn)特性;③故障信息傳遞路徑復(fù)雜，相互干擾，彼此耦合。以傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析通常適用于平穩(wěn)信號分析，在往復(fù)壓縮機(jī)非平穩(wěn)振動信號分析中存在著一定的局限性，很難對其進(jìn)行準(zhǔn)確的故障診斷［1－2］。

Mandelbrot提出的多重分形為信號分析提供了一種幾何結(jié)構(gòu)方法，在揭示復(fù)雜系統(tǒng)所表現(xiàn)出來的非平穩(wěn)性和非線性具有獨特之處。在分形理論中，分形維數(shù)可以定量地刻畫混沌吸引子的“奇異”程度，定量描述非線性行為［3－4］。然而，單重分形特征只能對所研究對象作整體性的、平均性的描述與表征，廣義分形維數(shù)則能更精細(xì)的刻畫信號的局部尺度行為，可以全面反映信號的分形特性，更適用于復(fù)雜系統(tǒng)的非線性行為定量描述。往復(fù)壓縮機(jī)振動信號表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性、非平穩(wěn)性，適用于多重分形方法對其進(jìn)行特征描述。多重分形已在往復(fù)機(jī)械故障診斷研究中得到應(yīng)用，文獻(xiàn)［5］提出基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)操作的廣義分形維數(shù)計算方法，并對發(fā)動機(jī)故障信號進(jìn)行診斷分析。文獻(xiàn)［6］應(yīng)用振動信號時頻域多重分形方法對往復(fù)式壓縮機(jī)填料泄漏故障進(jìn)行了實例分析，能夠較好地區(qū)分故障的嚴(yán)重程度。

相比于單一傳感器，多傳感器可以增強(qiáng)數(shù)據(jù)可信度，擴(kuò)展觀測范圍，尤其對于復(fù)雜系統(tǒng)，只對單個傳感器信息進(jìn)行分析，往往難以得出有效特征。因此，有必要對多傳感器的信息進(jìn)行綜合分析，通過信息融合來實現(xiàn)特征提取與故障診斷。往復(fù)壓縮機(jī)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，故障信息相互干擾，彼此耦合，利用多重分形方法對多傳感器數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合分析，形成多傳感器廣義分形維數(shù)矩陣，能更全面反映系統(tǒng)狀態(tài)信息。

為了便于實現(xiàn)機(jī)器學(xué)習(xí)，通常特征向量是以列向量形式存在的。因此，需對多傳感器廣義分形維數(shù)矩陣進(jìn)行降維壓縮。奇異值分解(SVD)是一種矩陣正交化分解方法，矩陣的奇異值是矩陣的固有特征，具有良好的穩(wěn)定性、比例不變性和旋轉(zhuǎn)不變性，在數(shù)據(jù)壓縮、信號處理和模式識別等許多方面都有廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)［7］對小波包變換系數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解，依據(jù)矩陣奇異值，定義了振動信號特征參數(shù)。文獻(xiàn)［8］采用奇異值分解分析滾動軸承振動信號經(jīng)EMD分解形成的矩陣，提取奇異值作為滾動軸承振動信號的故障特征向量。

本文應(yīng)用多重分形理論分析多傳感器振動信號，形成廣義分形維數(shù)初始矩陣，利用奇異值分解進(jìn)行矩陣降維壓縮，提取矩陣特征值作為特征向量。將其應(yīng)用于往復(fù)壓縮機(jī)傳動機(jī)構(gòu)故障診斷，實現(xiàn)多位置軸承間隙故障的特征提取與診斷識別。

1 基于多重分形與奇異值分解的特征提取方法

1.1 多重分形

多重分形是定義在分形結(jié)構(gòu)上由多個標(biāo)度指數(shù)的奇異測度構(gòu)成的無限集合。它用一個譜函數(shù)來描述分形不同層次的特征，即刻畫的是分形測度在支集上的分布情況。

對于多重分形應(yīng)用盒計數(shù)法，把研究對象劃分為N個不同的區(qū)域(i=1，2…N)，設(shè)區(qū)域尺度的大小為δ，考慮各個盒子內(nèi)不均勻分布的物理量用概率分布表示:

其中:αi為第i個盒子中的Holder指數(shù)(標(biāo)度指數(shù))。

定義配分函數(shù)χ(q，δ)，對概率用q次方進(jìn)行加權(quán)求和，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

如果配分函數(shù)和δ有冪函數(shù)關(guān)系，則可從lnχ(q，δ)～lnδ曲線的斜率得到:

式中:τ(q)稱為質(zhì)量指數(shù)。

對每個q值，利用最小二乘法擬合估算雙對數(shù)曲線 lnχ(q，δ)～ lnδ，即可得到 τ(q)和 q 的關(guān)系。質(zhì)量指數(shù)τ(q)和描述多重分形的廣義分形維數(shù)D(q)有如下關(guān)系:

即:

因此，得到描述多重分形的一套參數(shù)為廣義分形維數(shù)譜D(q)－q。它既可用于簡單分形，也可用于多重分形，當(dāng)q=0時，D(q)為盒維數(shù)，當(dāng)q=1時，D(q)為信息維數(shù)，當(dāng)q=2時，D(q)為關(guān)聯(lián)維數(shù)。

1.2 奇異值分解

在矩陣?yán)碚撝校娈愔凳蔷仃嚨墓逃刑卣鳎哂休^好的穩(wěn)定性，能有效地反映矩陣的特征。奇異值分解定理為:對于一個實矩陣 A∈Rm×n，不管其行列是否相關(guān)，必定存在正交矩陣U∈Rm×m和正交矩陣V∈Rn×n，使得下式成立:

式中:S 是對角陣，可表示為 S=diag(λ1，λ2，…，λk)，k=min(m，n)，λ1，λ2，…，λk為矩陣 A 的奇異值并按降序排列。

1.3 特征提取方法

廣義分形維數(shù)能更精細(xì)的刻畫信號的局部尺度行為，在揭示復(fù)雜系統(tǒng)所表現(xiàn)出來的非平穩(wěn)性、非線性等特性方面具有獨特之處。對于復(fù)雜系統(tǒng)，只對單個傳感器信息進(jìn)行分析，往往難以得出有效特征，而多傳感器可以增強(qiáng)數(shù)據(jù)可信度，擴(kuò)展觀測范圍，更能全面反映系統(tǒng)狀態(tài)信息。

往復(fù)壓縮機(jī)具有復(fù)雜的非線性和非平穩(wěn)性，且故障信息傳遞路徑復(fù)雜，基于多傳感器的多重分形方法，形成多傳感器廣義分形維數(shù)矩陣，可有效結(jié)合多重分形法對非線性定量描述的細(xì)致性和多傳感器觀測范圍的擴(kuò)展性，全面細(xì)致的反應(yīng)往復(fù)壓縮機(jī)運(yùn)行狀態(tài)。

奇異值分解(SVD)是一種矩陣正交化分解方法，可對多傳感器廣義分形維數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解，得出矩陣的奇異值作為特征向量。由于奇異值是矩陣的固有特征，具有良好的穩(wěn)定性，所以，奇異值特征向量與故障狀態(tài)具有一一對應(yīng)的映射關(guān)系，是往復(fù)壓縮機(jī)運(yùn)行狀態(tài)的準(zhǔn)確反映。因此，提出基于多重分形與奇異值分解的多傳感器特征提取方法，具體計算過程如下:

(1)數(shù)據(jù)預(yù)處理。對初始數(shù)據(jù)進(jìn)行截取與降噪等處理，降低計算工作量以及噪聲對譜值的影響。

(2)計算各傳感器的廣義分形維數(shù)。用尺度為δ的盒子對分形集進(jìn)行劃分，定義每個盒子的奇異概率測度pi(δ)及配分函數(shù) χ(q，δ)，對于給定的 q值，計算并繪制相應(yīng)的lnχ(q，δ)～lnδ雙對數(shù)曲線，找出曲線的無標(biāo)度區(qū)，用最小二乘法擬合估算出該段曲線的斜率即質(zhì)量指數(shù)τ(q)，通過式(4)變換即得廣義分形維數(shù)譜 D(q)－q。

(3)構(gòu)成初始特征矩陣。根據(jù)各傳感器的廣義分形維數(shù)，以各傳感器廣義分形維數(shù)為行向量，按傳感器編號排列，形成初始特征向量矩陣A，表示為:

矩陣中，M表示廣義分形維數(shù)譜的維數(shù)，N表示傳感器編號。

(4)特征向量提取。利用奇異值分解理論，對廣義分形維數(shù)矩陣A進(jìn)行奇異值分解，取對角陣S上的部分或全部對角元素 λ1，λ2，…，λk作為特征向量，即:

T= ［λ1，λ2，…，λk］。

即可對廣義分形維數(shù)譜矩陣進(jìn)行降維壓縮，實現(xiàn)故障特征向量的提取。

2 往復(fù)壓縮機(jī)故障診斷

2.1 故障試驗研究

以大慶天然氣分公司2D12型雙作用對動式往復(fù)壓縮機(jī)為研究對象。其主要參數(shù)為:軸功率500 kW、排氣量 70 m3/min、活塞行程 240 mm、電機(jī)轉(zhuǎn)速 496 r/min。試驗過程中，分別在壓縮機(jī)傳動機(jī)構(gòu)兩級連桿的小頭軸承、大頭軸承共四個位置模擬了間隙大故障。此外，為獲得機(jī)組正常狀態(tài)數(shù)據(jù)樣本還對正常運(yùn)行的壓縮機(jī)組進(jìn)行現(xiàn)場測試。根據(jù)壓縮機(jī)結(jié)構(gòu)特點，在曲軸箱正面、上端和右端，各級氣缸蓋側(cè)，各級十字頭滑道下端共7個故障敏感部位設(shè)置測點，利用加速度傳感器測試壓縮機(jī)振動信號，測點布局如圖1所示。同時，在曲軸箱輸入軸飛輪處利用光電傳感器采集鍵相信號。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)選用北京東方所的INV306U－6660多通道智能數(shù)據(jù)采集儀，采樣時間4 s，每一工況下等時間間隔采樣100次，鑒于往復(fù)壓縮機(jī)激勵源眾多，運(yùn)行過程中會產(chǎn)生高頻振動成分，采樣頻率設(shè)置為50 kHz。

圖1 往復(fù)壓縮機(jī)測點布局Fig.1 Distribution of reciprocating compressor measurement points

2.2 信號預(yù)處理

根據(jù)采樣時間和電機(jī)轉(zhuǎn)速可知，一次采樣采集了多個工作周期的振動信號，由于各周期信號的相似性，過多的數(shù)據(jù)僅會增加計算量，不會對多重分形譜有顯著影響。因此，利用與多通道振動信號同步采集的鍵相信號，提取兩個周期的振動信號數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，其數(shù)據(jù)長度為12 028點。

眾所周知，噪聲會影響分形維數(shù)的大小，使其無法準(zhǔn)確的反映系統(tǒng)的多重分形特征。為了降低噪聲干擾，應(yīng)用小波閾值降噪法對往復(fù)壓縮機(jī)振動數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，具體采用db4小波母函數(shù)，三層分解，啟發(fā)式軟閾值降噪法。其中，一級十字頭滑道測點一級連桿小頭間隙大故障振動信號的處理結(jié)果如圖2所示。

2.3 故障特征提取

對各工況每個傳感器的振動信號進(jìn)行截取與降噪，根據(jù)多重分形定義，在q取值范圍－10至10間計算廣義分形維數(shù)D(q)，即可形成21行7列的廣義分形維數(shù)矩陣。每種工況的廣義分形維數(shù)矩陣可以通過廣義分形維數(shù)D(q)、q和傳感器編號N組成的3維譜圖來表示，各工況的典型3維譜圖如圖3所示。

由圖3可知，雖然各工況同屬軸承間隙大這一性質(zhì)故障，但隨著故障發(fā)生位置的不同，振動信號的傳遞途徑也不同，所以廣義分形維數(shù)矩陣存在明顯差異;再者，對于任意兩種不同工況，隨著q的不同，同一傳感器廣義分形維數(shù)差異明顯，體現(xiàn)了多重分形刻畫局部尺度的細(xì)致性;此外，對于任意兩種不同工況，多個傳感器廣義分形維數(shù)差異顯著，體現(xiàn)了多傳感器觀測的必要性。

圖2 一級連桿小頭間隙大故障降噪前后時域信號Fig.2 Time-domain signal before and after noise reduction for fault of first connecting rod small end with large clearance

圖3 各工況3維譜圖Fig.3 3D Spectrum of each state

對廣義分形維數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解，提取奇異值，雖然噪聲使矩陣全部奇異值均大于零，但從量級比較，矩陣的前4階奇異值差異較大，所以取矩陣的前4階奇異值作為故障特征向量。不同位置故障及正常工況的典型特征向量如圖1所示，由圖1可知，各工況特征向量曲線無交叉，間隔大，具有明顯可分性。

圖4 各故障狀態(tài)典型特征向量Fig.4 Typical feature vector for each fault condition

2.4 故障診斷與分析

支持向量機(jī)(SVM)是以統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)發(fā)展而來的一種通用機(jī)器學(xué)習(xí)方法，已在模式識別、回歸估計、概率密度函數(shù)估計等方面得到廣泛應(yīng)用。LibSVM是由臺灣林智仁副教授開發(fā)的SVM工具包，它集成了參數(shù)尋優(yōu)、模型訓(xùn)練和結(jié)果測試等功能［9］。

對于SVM，核參數(shù)和誤差懲罰參數(shù)C是影響其性能的主要因素。本文使用廣泛應(yīng)用的徑向基核函數(shù)，具體形式為:K(x，xi)=exp{－γ‖x－xi‖2}，其中，核參數(shù)為γ。選取上述五種工況測試數(shù)據(jù)各100組，經(jīng)截取和小波閾值降噪后利用多重分形和奇異值分解計算得出特征向量樣本。分別以每種工況的70組特征向量作為訓(xùn)練樣本，30組特征向量作為測試樣本。應(yīng)用LibSVM的遺傳算法對參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化并建立支持向量機(jī)，優(yōu)化結(jié)果為差懲罰參數(shù) C取1.83，核參數(shù) γ取3.55。對各工況測試樣本進(jìn)行識別，結(jié)果如表1所示。

為檢驗該方法的有效性，同樣選取上述五種工況樣本100組。首先，計算每組樣本中各傳感器振動信號的單重分形指標(biāo)關(guān)聯(lián)維數(shù)作為特征向量，分別以70組特征向量作為訓(xùn)練樣本，另外30組特征向量作為測試樣本，建立支持向量機(jī)并進(jìn)行診斷測試。再者，所有工況各取一組樣本，計算每種工況各個傳感器的廣義分形維數(shù)，對于某一工況，以各傳感器在正常工況與故障工況下廣義分形維數(shù)的最大歐氏距離作為評價指標(biāo)，選出對故障最敏感的傳感器，以其廣義分形維數(shù)作為該故障的單傳感器特征向量，采用同樣方法建立支持向量機(jī)并進(jìn)行診斷測試。各方法診斷的識別準(zhǔn)確率如表1所示。

由表1可知，各種特征提取方法均可實現(xiàn)不同位置故障的識別，但由于多重分形在局部尺度描述的細(xì)致性以及多傳感器在數(shù)據(jù)獲取的擴(kuò)展性優(yōu)勢，基于多重分形與奇異值分解方法不但在總體識別準(zhǔn)確率高于多傳感器單重分形法和單傳感器多重分形法，而且各工況的識別準(zhǔn)確率均為最高，識別效果最好，驗證了該方法的優(yōu)越性。

表1 各方法故障診斷準(zhǔn)確率比較Tab.1 Comparison of fault diagnosis accuracy for each method

3 結(jié)論

(1)多重分形適用于復(fù)雜系統(tǒng)的非線性行為定量描述，多傳感器數(shù)據(jù)采集能更全面反映系統(tǒng)狀態(tài)信息。以此，提出了一種基于多傳感器廣義分形維數(shù)矩陣與奇異值分解壓縮的故障特征提取方法。

(2)將該方法應(yīng)用于往復(fù)壓縮機(jī)傳動機(jī)構(gòu)多位置軸承間隙故障的特征提取，不同工況的特征向量可分性明顯，實現(xiàn)了故障的準(zhǔn)確診斷。

(3)通過建立支持向量機(jī)進(jìn)行比較分析，該方法相比于多傳感器單重分形關(guān)聯(lián)維數(shù)法和單傳感器多重分形法，更能全面地反映設(shè)備狀態(tài)特征，識別效果更好，為往復(fù)壓縮機(jī)故障特征提取和故障診斷提供了一種新途徑。

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