離心－振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)的準(zhǔn)連續(xù)高階終端滑模控制方法

王躍鋼，左朝陽，2，文超斌，郭志斌

令方程組右端等于零，得到方程唯一解:

離心－振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)因離心機(jī)與振動(dòng)臺(tái)之間運(yùn)動(dòng)存在耦合現(xiàn)象而成為一種不確定非線性系統(tǒng)［1］，對(duì)于這類復(fù)雜的不確定非線性系統(tǒng)采用線性控制理論和設(shè)計(jì)方法難于進(jìn)行。而一般對(duì)于振動(dòng)臺(tái)控制算法的研究大多建立在線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)之上［2－5］，算法的穩(wěn)定性和收斂速度等方面還需要進(jìn)一步研究，同時(shí)還存在控制精度不高，控制魯棒性差，操作也不方便等問題。因此，控制算法設(shè)計(jì)的好壞直接關(guān)系到系統(tǒng)的輸出模擬過載振動(dòng)復(fù)合環(huán)境的精確度。而滑模控制既適用于線性系統(tǒng)，又適用于非線性系統(tǒng)，其算法簡(jiǎn)單，設(shè)計(jì)方便，對(duì)外部干擾及參數(shù)攝動(dòng)具有強(qiáng)魯棒性，且有限時(shí)間收斂［6］。

然而傳統(tǒng)的滑模控制的不連續(xù)性會(huì)導(dǎo)致所謂的“抖振”現(xiàn)象，且傳統(tǒng)滑模控制一般采用線性滑模面設(shè)計(jì)，系統(tǒng)狀態(tài)收斂時(shí)間趨于無窮，容易造成較大的累積跟蹤誤差。為了解決無限時(shí)間收斂問題，通過在滑模設(shè)計(jì)中引入非線性函數(shù)［7］而產(chǎn)生的終端滑模控制，使得在滑動(dòng)模態(tài)跟蹤誤差能夠在有限時(shí)間收斂至零;后來Yu等［8］提出快速終端滑模面進(jìn)一步提高收斂速度;Feng等［9］針對(duì)終端滑模控制中可能出現(xiàn)奇異現(xiàn)象，提出了非奇異終端滑動(dòng)模態(tài)，避免了奇異問題，并在文獻(xiàn)［10－11］中基于終端滑模設(shè)計(jì)方法，提出一種二階、三階及高階終端滑模控制方法，實(shí)現(xiàn)了無抖振滑模控制，提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度。同時(shí)由于準(zhǔn)連續(xù)高階滑模能夠有效消除抖振［12－16］，獲得更高的控制精度;因此本文在文獻(xiàn)［14］基礎(chǔ)上，根據(jù)離心－振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)振動(dòng)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)基于二階終端滑模面的準(zhǔn)連續(xù)高階終端滑模控制器，在保證魯棒性和抗干擾性的同時(shí)獲得連續(xù)的控制信號(hào)。仿真結(jié)果表明，該控制器實(shí)現(xiàn)了離心振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)的振動(dòng)位移控制，能夠較好地實(shí)現(xiàn)振動(dòng)位移跟蹤，并在有限時(shí)間內(nèi)收斂。

1 高階滑模控制介紹

定義1:假設(shè)滑動(dòng)模態(tài)s沿系統(tǒng)軌跡的微分量s·，存在且為系統(tǒng)狀態(tài)的連續(xù)函數(shù)，于是r階滑動(dòng)模態(tài)集合由下面的等式確定。

假設(shè)r階滑動(dòng)模態(tài)集合非空且為Fillipov意義下的局部積分集合，則稱符合式(1)的運(yùn)動(dòng)為基于滑動(dòng)模態(tài)s的r階滑模，而r定義為系統(tǒng)的滑動(dòng)階。

考慮如下非線性仿射系統(tǒng)

式中:s為系統(tǒng)可測(cè)輸出量，u為系統(tǒng)控制量，函數(shù)a，b，s充分光滑。設(shè)系統(tǒng)相對(duì)階為r，式中輸出量沿系統(tǒng)軌跡進(jìn)行r次微分，于是有:

其中:h(t，ξ)=s(r)u=0，g(t，ξ)= ? s(r)/?u。設(shè)下述不等式成立

其中:Km，KM，C＞0。式(3)～(4)意味著微分包含:

成立。

引理 1［14］:定義

如果恰當(dāng)選擇參數(shù) β1，…，βr－1，α ＞0，則控制作用(7)將使得系統(tǒng)(2)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)r階滑模面。

2 離心－振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)準(zhǔn)連續(xù)高階終端滑模控制器的設(shè)計(jì)

2.1 離心－振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

離心－振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)是通過將振動(dòng)臺(tái)安裝在離心機(jī)臂臂端來實(shí)現(xiàn)的，它以離心機(jī)為載體模擬過載環(huán)境，通過在其臂端上的振動(dòng)臺(tái)模擬振動(dòng)環(huán)境。圖1為離心－振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)示意圖。

圖1 離心－振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of centrifuge force-vibration test system

整個(gè)離心－振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為兩個(gè)部分，電路部分和機(jī)械部分，如圖2所示。

圖2 離心力－振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)物理模型Fig.2 Physics model of centrifuge force-vibration test system

為進(jìn)一步簡(jiǎn)化系統(tǒng)模型，做以下三點(diǎn)假設(shè):① 電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)只有一個(gè)自由度;② 氣隙磁通密度為常數(shù);③電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)等效為一個(gè)剛體。則振動(dòng)臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型可表示為［17］:

再根據(jù)多剛體動(dòng)力學(xué)方程，在離心力作用下振動(dòng)臺(tái)面所受廣義力為:

將以上離心－振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型描寫成狀態(tài)方程為:

2.2 離心－振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)振動(dòng)位移跟蹤高階終端滑模控制器設(shè)計(jì)

設(shè)振動(dòng)位移的給定值與實(shí)際值的誤差為:e=xx*，設(shè)計(jì)如下的終端滑動(dòng)模面為:

選擇實(shí)常數(shù)λi(i=1，2，3)使系統(tǒng)具有期望的動(dòng)態(tài)性能，其中，λi＞0，1 ＜ p/q＜2，p，q均為正奇數(shù)。那么有如下定理:

定理1:對(duì)于式(10)和(11)構(gòu)成的離心－振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)，如果選擇如下控制律:

其中:β為設(shè)計(jì)參數(shù)，加入ε為保證控制輸入更加光滑，Ψ的具體表達(dá)見證明過程。在該控制律作用下，能夠使系統(tǒng)到達(dá)滑模面流形，并保證系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)收斂。

X=(x v i)為狀態(tài)變量。

將控制律(12)代入上式(13)，可得:

其中:α≥0，則上式滿足的充分條件為:

由式(18)可得:

由于g的上界是已知，可通過系統(tǒng)的干擾和不確定性估計(jì)得到。從而只要滿足:

就有V＜0，只要選擇合適的β值，使上式成立，因此，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論知，系統(tǒng)將在有限時(shí)間到達(dá)并停留在終端滑模面s=0上。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時(shí)，由(11)式s=0有:

令方程組右端等于零，得到方程唯一解:

3 仿真結(jié)果及分析

為驗(yàn)證本文所提出的振動(dòng)位移跟蹤控制方法的可行性和有效性，選取如下離心振動(dòng)復(fù)合系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真。臺(tái)面、動(dòng)圈等效質(zhì)量m=1.5 kg;剛度k0=9 500 N/m;阻尼c=50 N/(m·s－1);磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5 T;動(dòng)圈長度 l=28 m;電阻 R=0.5 Ω;磁感 L=100 μH;初始位移 x0=0，速度 v0=0，電流 i0=0;r=1.5 m;期望振動(dòng)為正弦位移 x*=0.04sin(2πt/4)及階躍輸入;干擾力為 d=sin(2πt/16)×10－2。系統(tǒng)參數(shù)與控制器參數(shù)值分別取以下值:λ1=λ2=λ3=0.5;β =0.8;p=5，q=3，α =0.5;ε =0.005;ω = π/6 rad/s。仿真結(jié)果如圖3～圖6所示，分別給出了正弦振動(dòng)位移跟蹤曲線、方波響應(yīng)曲線，控制輸入曲線及誤差曲線。

從圖2、圖3跟蹤曲線可以看出，采用文章所用的算法的位移跟蹤速度非常快，尤其對(duì)于方波輸入響應(yīng)，能夠快速恢復(fù)到給定值，表明盡管系統(tǒng)存在較大的不確定性和干擾下，但由于采用了二階終端滑模和準(zhǔn)連續(xù)高階滑模技術(shù)，有效消除了不確定性和外干擾的影響，使得輸出振動(dòng)位移能夠比傳統(tǒng)滑模更快的跟蹤指令信號(hào)。從圖4控制輸入曲線可以看出盡管沒有完全消除控制量的抖振現(xiàn)象，但已經(jīng)大大地降低了抖振。圖5誤差曲線表明傳統(tǒng)滑模由于沒有采取去抖振措施使得控制精度相對(duì)較低。

圖3 正弦振動(dòng)響應(yīng)曲線Fig.3 Response curve of sines vibration

圖4 方波響應(yīng)曲線Fig.4 Response curve of square wave

圖5 正弦控制輸入曲線Fig.5 Input curve of sine control

圖6 振動(dòng)位移跟蹤誤差曲線Fig.6 Error curve of displacement vibration

以上仿真的結(jié)果可以看出，準(zhǔn)連續(xù)高階終端滑模控制器能夠在外界干擾和系統(tǒng)參數(shù)不確定情況下，使系統(tǒng)快速進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，并完成離心振動(dòng)復(fù)合系統(tǒng)振動(dòng)位移跟蹤控制，從驗(yàn)證了高階終端滑模控制器的有效性和合理性。同時(shí)，高階終端滑模控制器也有效的降低了抖振現(xiàn)象，系統(tǒng)本身控制量變得更加光滑，并顯著地提高了跟蹤速度。

4 結(jié)論

本文針對(duì)電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)在離心力作用下存在模型不確定性和外界干擾情況下的振動(dòng)位移跟蹤控制問題，通過高階滑模控制理論，設(shè)計(jì)了基于高階滑模的離心－振動(dòng)復(fù)合系統(tǒng)的振動(dòng)位移跟蹤控制器。為了快速跟蹤輸入指令，根據(jù)建立的離心－振動(dòng)復(fù)合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，引入二階終端滑模面，并通過李雅普諾夫第二法及反饋控制理論，建立了高階終端滑模控制器，證明了其穩(wěn)定性和全局收斂性。仿真結(jié)果表明，高階終端滑模振動(dòng)位移跟蹤控制器能夠有效消除滑模控制的“抖振”現(xiàn)象，與傳統(tǒng)滑模控制相比能夠快速地和精確地跟蹤輸入指令，進(jìn)一步說明了該設(shè)計(jì)理論的正確性及方法的可行性。

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