論數學歸納法

摘要：數學歸納法是一個從認識、猜想、歸納到得出結論和解決問題的重要方法。討論數學歸納法與歸納法的關系、數學歸納法的理論依據、解題步驟以及常見問題。

關鍵詞：數學歸納法；歸納法；遞推

數學歸納法是證明關于自然數n的命題p（n）的一種數學方法，是最早掌握的遞歸方法。縱向看，是歸納法的一種特殊形式，與遞推方法、逆向推理方法等同屬程序性方法；橫向看，和正整數有關的不等式、等式、整除、幾何、數列、排列組合等問題密切相關。文章從以下方面討論了對數學歸納法的幾點認識。

1.歸納法和數學歸納法的聯系與區別

歸納法是人類認識自然、認識社會及認識自我的思想方法，是尋找真理和發現真理的手段，科學上無數定理、定律都是歸納的結果。歸納法分為完全歸納與不完全歸納兩種。在事物出現的各種可能性有限的情況下，用完全歸納法可以得出確定的結論。如命題“同弧所對的圓周角是圓心角度數的一半”所能涉及的情況就只有圓心在圓周角內、圓周角邊上和圓周角外三種，這就可以用完全歸納法一一驗證。但是對于事物出現的各種可能性不是有限的情況下，就只能用不完全歸納法得出結論，只能屬于猜測，不能說是可靠的。

從方法論來區分，歸納法是一種發現的方法，用以發現規律、猜想結果；而數學歸納法是一種演繹的方法，用以嚴格論證與自然數有關的命題的正確性。因此，雖然歸納法下的結論不一定可靠，但它在分析、探索數學問題中有十分重要的作用。通過對問題的觀察、分析、歸納而猜想出結果，并用數學歸納法證明其正確性是發現并證明數學問題的一種重要的思維方法。

2.數學歸納法的理論依據

與自然數有關的命題p（n）一般是由無窮多個命題p（1），p（2），…p（n）所組成，采用逐個論證的方法是不可能完成的。數學歸納法的實質在于：將一個無法窮盡驗證的命題轉化為證明兩個普通命題“p（1）為真”和“p（k）為真則p（k+1）為真” 從而達到證明目的。是從有限范圍內的正確結論出發，利用自然數的 “后繼”特征和邏輯中的“蘊涵”關系，得到無限范圍內的正確結論。數學歸納法的依據來源于揭示自然數的根本性質的皮亞諾公理。“后繼”關系是自然數的重要特征，即每一個自然數有且只有一個“后繼”，而除了1以外的每一個自然數必然是也只能是一個自然數的“后繼”，這應該是數學歸納法中第二步——歸納遞推的依據，它體現了人類理性思維“從有限認識無限”所閃爍的智慧之光。

3.數學歸納法的解題步驟及常見的問題

步驟：

（1）驗證當n取某一個自然數n■（即對于此命題的“最小自然數”）時命題成立。這步是論證的基礎，是命題得以成立的起點。

（2）假設當n取某一自然數kk≥n■是結論正確的前提下，推導當n取k的后繼自然數k+1時命題也成立，說明命題的正確性是可以傳遞的，從而具有普遍性。因此，歸納遞推的基本構思在于設法使用歸納假設。

（3）下結論：該命題對于一切自然數nn≥n■都成立.

在初學數學歸納法證明中，常會出現兩方面的困難：一是對自然數的上述特征和邏輯上的蘊涵關系不能透徹理解，從而對兩個步驟的意義和作用不十分明白，使用中顧此失彼；二是因為第二步進行式子的變換，要會充分利用假設，這常常會有一定的難度和技巧。

現象1：很多初學者有這樣的疑問：“為什么在應用數學歸納法的時候在第一步中只驗證當n=n■（n■是題中的最小自然數）時成立就可以了，而不多驗證幾個？”

這是對數學歸納法的實質沒有理解。驗證了“n=n■時命題成立”只是為了說明數學歸納法的特殊性，在證明了第二步的延續性后由這個特殊性就可以逐步遞推出“當n=1，n=2，n=3，…，n=k…時命題也成立，從而得出命題對一切大于的自然數都成立。

現象2：在數學歸納法的第二步中“假設n=k時命題成立”推出“n=k+1當時命題也成立”時，很多人對這里的“假設”產生了疑惑，認為“當n=k時命題成立”是假設的，就算是證明了“n=k+1時命題也成立”又有什么意義？

這種現象是對數學歸納法的概括性語言沒有理解，第二步的證明目的只是也僅僅是為了證明命題的延續性，即證明“對于使命題成立的任意k的值，都有它的后繼n=k+1，也一定使這個命題成立。由第一步驗證的“時命題成立”我們就可以得出命題成立的存在性，從而我們的假設也就有了根據和基礎。用數學歸納法證明數學問題是否正確，關鍵要看兩個步驟是否齊全，特別是第二步歸納假設是否被應用，如果沒有用到歸納假設，就是由問題的。

總之，數學歸納法內容抽象、思想新穎、給了我們一種發現問題解決問題的方法。由觀察、猜測、歸納到證明其正確性的過程中包含了兩類思想策略和一種數學思想，即具體化策略和退一步策略以及遞歸思想。具體化策略是指把抽象問題具體化、一般問題個別化、普遍問題特殊化；退一步策略指思維受阻時變換一個角度、退回到開始的位置再思考問題。數學歸納法的第一步和第二步正是應用了這兩種策略。

參考文獻：

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（作者簡介：張少鳳，寶雞職業技術學院，研究方向：數學教育。）