抓實22個基本問題 奠基數學綜合能力
2013-04-29 00:00:00王寶倉，張連榮，王潤博，陳淑雙，白楊，王磊，繳良子
教育實踐與研究·中學課程版 2013年4期
關鍵詞：初中數學；基本問題；綜合題型；應用舉例
中圖分類號：G632.479 文獻標識碼：B 文章編號：1009-010X（2013）01-0052-35
為使學生更好地對2013年數學進行科學系統地復習，準確把握考試趨勢，針對全省中考的性質和定位.作為“概要性”的初中數學復習資料，我們選取了初中數學中最基本、最核心的知識內容和方法來編寫本材料.
本材料由“22個基本問題”和“綜合題型應用舉例”兩部分組成.
1.與實數相關的簡單運算
基本要求：了解實數的有關概念，掌握運算法則，能熟練進行運算.
（1）實數的分類
實數有理數整數正整數 零負整數 分數正分數負分數無理數正無理數負無理數無限不循環小數
（2）實數中的有關概念
①數軸：規定了原點、正方向、單位長度的一條直線；實數與數軸上的點是一一對應的.
②倒數：a、b互為倒數，既a·b=1；0沒有倒數.
③相反數：a、b互為相反數，既a+b=0；0的相反數是0；在數軸上表示互為相反數的兩個點在原點的兩側并且與原點距離相等.
④絕對值：正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0；在數軸上，一個實數的絕對值就是數軸上表示這個數的點到原點的距離.
⑤平方根、算術平方根：一個正數有兩個平方根；0只有一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根；非負數的平方根也叫算術平方根.
絕對值與算術平方根的聯系：
■=a=a（a≥0）-a（a< 0）
⑥立方根：正數的立方根是正數；0的立方根是0；負數的立方根是負數.
⑦實數的運算：
實數的加、減、乘、除、乘方、開方運算及混合運算順序：先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號先算括號里面的.
應用舉例：
例1計算：-3-■（-2012）0.
【分析】實數的運算，絕對值，算術平方根，零指數冪、針對絕對值，算術平方根，零指數冪3個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果.
解：原式=3-2+1=2.
例2 實數-2、0.3、■、■、-π中，無理數的個數是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
思路點撥：因為-2是整數，0.3、■是分數，所以它們都是有理數而不是無理數；而■是開方開不盡的數，-π含π型的數，這兩個實數是無理數，故選A.
說明：對實數進行分類不能只看表面形式，應先化簡，再根據結果去判斷；在現階段接觸的無理數有：
（1）開方開不盡的數，如■、■等；
（2）π的倍數，如2π、■π等；
（3）人為規定的特定結構的數，如2.050050005……（兩個5之間依次多1個0）.
例3 計算：（π-3）0+■-2sin45°-■-1.
【解析】二次根式化簡，三角函數，a0=1（a≠0）
【答案】（π-3）0+■-2sin45°-■-1
=1+3■-2×■-8
=2■-7.
【點評】本題考查了化簡二次根式，最基本的三角函數計算以及乘方的運算.
例4 如圖1-1，數軸上表示數-2的相反數的點是（ ）
A.點P B.點Q C.點M D.點N
【分析】從數軸可以看出N表示的數是-2，M 表示的數是
-0.5，Q表示的數是0.5，P表示的數是2，
∵-2的相反數是2，∴數軸上表示數-2的相反數是點P.故選A。
說明：數形結合是一種重要的數學思想，借助數軸，可以直觀地看出數的正負及絕對值的大小.
例5 觀察下列等式：
第1個等式：a1=■=■×1-■；
第2個等式：a2=■=■×■-■；
第3個等式：a3=■=■×■-■；
第4個等式：a4=■=■×■-■；
…
請解答下列問題：
（1）按以上規律列出第5個等式：a5= = ；
（2）用含有n的代數式表示第n個等式：an= = （n為正整數）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值.
【分析】（1）（2）觀察知，找等號后面的式子規律是關鍵：分子不變，為1；分母是兩個連續奇數的乘積，它們與式子序號之間的關系為：序號的2倍減1和序號的2倍加1.
（3）運用變化規律計算.
解：（1）■，■×■-■.
（2）■，■×■-■.
（3）a1+a2+a3+a4+…+a100
=■×1-■+■×■-■+■×■-■+…+■×■-■
=■×1-■+■-■+■-■+…+■-■
=■×1-■=■×■=■.
例6 在實數的原有運算法則基礎上我們又定義運算“？茌”如下：
當a≥b時，a？茌b=b2；當a 則當x=2時，（1？茌x）·x-（3？茌x）的值為 （“·”和“-”仍為實數運算中的乘號和減號） 分析 ：根椐對新運算的規定，x=2時有（1？茌x）·x-（3？茌x）=（1？茌2）·2-（3？茌2）=1×2-22=-2. 解：-2 . 說明：中考試題中不少數、式運算問題以“非標準”形式給出，核心策略是先將其轉化為“標準”算式，然后計算.而這個“轉化”就提高了對靈活性和準確性的要求. 練習1 一、填空題 1. 由地理知識可知，各地氣溫的差異受海拔高度的影響明顯，海拔每升高100米，氣溫就下降0.6℃，現已知重慶的海拔高度為260米，峨眉山的海拔高度為3099米，則當重慶氣溫為28℃時，峨眉山山頂的氣溫為 . 2. 若m、n互為相反數，則|m-1+n|= . 3. 127 000 000這個數用科學記數法表示為 . 4. -■的相反數是 ；-2的倒數是 . 5. 觀察下面一列數的規律并填空：0，3，8，15，24，……，則它的第2007個數是 . 二、選擇題 1. 據新華社2010年2月9日報道：受特大干旱天氣影響，我國西南地區林地受災面積達到43050000畝.用科學記數法可表示為（ ） A. 4.305×108畝 B. 4.305×106畝 C. 43.05×107畝 D. 4.305×107畝 2.一個正方體的水晶磚，體積為100cm3，它的棱長大約在（ ） A. 4cm～5cm之間 B. 5cm～6cm之間 C. 6cm～7cm之間 D. 7cm～8cm之間 3. 在（-■）2，sin45°，0，■，0.010010001…■，■這7個數中，有理數有（ ） A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 4.今年財政部將證券交易印花稅稅率由3‰調整為1‰（1‰表示千分之一）.某人在調整后購買100000元股票，則比調整前少交證券交易印花稅多少元？（ ） A.200元 B.2000元 C.100元 D.1000元 三、計算題 1. 計算：2-1-（2008-π）0+ ■cos30°. 2. 計算：-■-2-1-■-（■-1）0+2sin60°+■. 3. 閱讀材料，解答下列問題. 例：當a>0時，如a=6則a=6=6，故此時a的絕對值是它本身， 當a=0時，a=0，故此時a的絕對值是零， 當a<0時，如a=-6則a=-6=6=-（-6），故此時a的絕對值是它的相反數. ∴綜合起來一個數的絕對值要分三種情況，即 a=a 當a>00 當a=0-a 當a<0 這種分析方法滲透了數學的分類討論思想. 問：（1）請仿照例中的分類討論的方法，分析二次根式■的各種展開的情況. （2）猜想■與a的大小關系. 2.整式運算與因式分解 基本要求： 了解用字母表示數的意義，會分析簡單問題的數量關系，并會用代數式表示，能解釋一些簡單代數式的實際背景或幾何意義，會求代數式的值，了解整數指數冪的意義和基本性質，會用科學記數法表示數，會進行簡單的整式加、減運算，能進行簡單的整式乘法運算（其中的多項式相乘僅指一次式相乘），能推導乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；（a+b）2=a2+2ab+b2，能熟練用提公因式法、公式法（直接用公式不超過二次）進行因式分解（指數是正整數）. 應用舉例： 例1 下列計算正確的是（ ） A. x3·x2=2x6 B. x4·x2 =x8 C. （-x2）3=-x6 D.（x3）2=x5 【分析】根據同底數冪乘法、冪的乘方和積的乘方運算法則逐一計算作出判斷： A.∵ x3·x2= x3+2=x5， ∴本選項錯誤； B.∵x4·x2 =x4+2=x6，∴本選項錯誤； C.∵（-x2）3=（-1）3 ·x2×3=-x6，∴本選項正確； D.∵.（x3）2=x3×2=x6，∴本選項錯誤. 故選C. 例2 已知當x=1時，2ax2+bx的值為3，則當x=2時，ax2+bx的值為 . 【解析】將x=1代入2ax2+bx，得2a+b=3；當x=2時，ax2+bx=4a+2b=2（2a+b）=2×3=6。 答案：填6. 【點評】點評：本題用到了整體思想，題中將2a+b看成一個整體，代入4a+2b中，從而得到其值等于6. 例3 已知a=1.6×109，b=4×103，則a2÷2b=？ A. 2×107 B. 4×1014 C. 3.2×105 D. 3.2×1014 思路點撥：本題考查代入求值，實際上是考查同底數冪的除法.a2÷2b=（1.6×109）2÷（8×103）=（2.56×1018）÷（8×103）=（2.56÷8）（1018÷103）=0.32×1015=3.2×1014. 答案：D. 例4 分解因式：a4-16a2= . 【解析】a4-16a2= a2（a2-16）= a2（a+4）（a-4）. 【答案】a2（a+4）（a-4）. 【點評】分解因式要掌握正確的方法，一般按照“一提（公因式）、二套（公式）、三分組（分組分解法）”的步驟或方法進行，并且注意分解徹底. 練習2 一、填空題 1. 已知x-y=2，則x2-2xy+y2= . 2. 某公司成立3年以來，積極向國家上繳利稅，由第一年的200萬元，增長到800萬元，則平均每年增長的百分數是 . 3. 如圖2-1（a）在長為am，寬為bm的一塊草坪上修了一條1m寬的筆直小路，則余下草坪的面積可表示為 m2；現為了增加美感，把這條小路改為寬恒為1m的彎曲小路（如圖2-1（b），則此時余下草坪的面積為 m2. 二、選擇題 1. 計算（-2a2）3的結果為（ ） A. -2a5 B. -8a6 C. -8a5 D. -6a6 2. 下列運算正確的是（ ） A. 3a+2a=a5 B. a2·a3=a6 C. （a+b）（a-b）=a2-b2 D.（a+b）2=a2+b2 3. 將一多項式[（17x2-3x+4）-（ax2+bx+c）]，除以（5x+6）后，得商式為（2x+1），余式為0.則a-b-c=（ ） A. 3 B. 23 C. 25 D. 29 三、解答題 1. 先化簡，再求值：2（a+■）（a-■）-a（a-6）+6，其中a= ■-1. 2. 觀察下列各式，你會發現什么規律？3×5=15，而15=42-1；5×7=35，而35=62-1；…；11×1=143，而143=122-1；… … 將你猜想到的結論用只含一個字母的式子表示出來. 3.分解因式： x2-2xy+y2-9. 4.分解因式： （x-1）（x-2）-20 . 5.已知（x+y）（x+2+y）-15=0，求x + y 的值. 6.已知x2-4x+3=0，求（x-1）2-2（1+x）的值. 3.分式 基本要求： 了解分式的概念，會利用分式的基本性質進行約分和通分，能進行簡單的分式加、減、乘、除運算. 應用舉例： 例1 若分式■的值為0，則x的值為 . 【分析】由分式的值為零和有意義的條件得x-1=0，且x+1≠0。由x-1=0，得x=±1；由x+1≠0，得x≠-1。綜上，得x=1，即x的值為1. 例2 先化簡，再求值：■-■÷■，其中x是不等式組x+4>02x+5<1的整數解. 解：原式=■-■·■ =■·■ =■·■=■. 又x+4>0 ①2x+5<1 ②， 由①解得：x>-4，由②解得：x<-2. ∴不等式組的解集為-4 當x=-3時，原式=■=2. 【分析】將原式括號中的第一項分母利用平方差公式分解因式，然后找出兩分母的最簡公分母，通分并利用同分母分式的減法法則計算，分子進行合并整理，同時將除式的分母利用完全平方公式分解因式，然后利用除以一個數等于乘以這個數的倒數將除法運算化為乘法運算，約分后即可得到結果. 分別求出x滿足的不等式組中兩個一元一次不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，在解集中找出整數解，即為x的值. 將x的值代入化簡后的式子中計算，即可得到原式的值. 例3 使代數式■有意義的x的取值范圍是 A.x≥0 B.x≠■ C.x≥0且x≠■ D.一切實數 【解析】要使原代數式有意義，需要■中的x≥0；分母中的2x-1≠0. 【答案】解不等式組x≥02x-1≠0得x≥0且x≠■且，故選C. 【點評】代數式有意義，就是要使代數式中的分式的分母不為零；代數式中的二次根式的被開方數是非負數. 練習3 一、填空題 1. 當x= 時，分式■無意義. 2. ■= . 3.已知x+y=7且xy=12，則當x 二、選擇題 1. 分式■的值為零時，x的值應為（ ） A.x=±5 B.x=-5 C.x=5 D.x=0 2. 化簡■-■-■的結果是（ ） A.0 B.-■ C.-■ D.■ 3. 若分式■的值為0，那么x的值為（ ） A.x=-1或x=2 B.x=0 C.x=2 D.x=-1 4. 若x2-9=0，則■的值為（ ） A.1 B.-5 C.1或-5 D.0 三、解答題 1.先化簡，再求值：■+■，其中a=3. 2.先化簡，再求值：■-■x2-y2+■，其中x=■，y=3. 3. 如圖，點A，B在數軸上，它們所對應的數分別是-3和■，且點A，B到原點的距離相等， 求x的值. 4.一元一次方程（組）的解法及實際問題的應用 基本要求： （1）了解方程與等式的密切聯系，方程求解與代數式化簡的區別，能熟練進行一元一次方程的求解； （2）熟練應用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組，認識到“消元”體現了“化未知為已知”的化歸思想； （3）會確定實際問題中的等量關系，進而建立一元一次方程或一次方程組模型解決實際問題. 應用舉例： 例1 對于X，Y定義一種新運算“*”：X*Y=aX+bY，其中a，b為常數，等式右邊是通常的加法和乘法的運算.已知：3*5=15，4*7=28，那么2*3= . 【分析】首先利用新運算“*”的定義X*Y=aX+bY，還有已知的3*5=15，4*7=28可以列出關于a、b的方程組：3a+5b=154a+7b=28從中解得a=-35，b=24，進而求得2*3=2. 例2 小穎家離學校1200米，其中有一段為上坡路，另一段為下坡路.她去學校共用了16分鐘.假設小穎上坡路的平均速度是3千米/時，下坡路的平均速度是5千米/時.若設小穎上坡用了x分鐘，下坡用了y分鐘，根據題意可列方程組為 （ ） A.3x+5y=1200x+y=16 B. ■x+■y=1.2x+y=16 C. 3x+5y=1.2x+y=16 D.■x+■y=1200x+y=16 【分析】要列方程，首先要根據題意找出存在的等量關系。本題等量關系為：上坡用的時間×上坡的速度+下坡用的時間×下坡速度=1200，上坡用的時間+下坡用的時間=16.把相關數值代入（注意單位的通一），得■x+■y=1.2x+y=16.故選B. 例3已知x=2y=1是二元一次方程組mx+ny=8nx-my=1的解，則2m-n的算術平方根為（ ） A.±2B.C.2D. 4 【分析】∵x=2y=1是二元一次方程組mx+ny=8nx-my=1的解， ∴2m+n=82n-m=1，解得m=3n=2.∴■=■=■=2，即2m-n的算術平方根為2.故選C. 例4 已知關于x，y的方程組x+3y=4-ax-y=3a，其中-3≤a≤1，給出下列結論： ①x=5y=-1是方程組的解； ②當a=-2時，x、y的值互為相反數； ③當a=1時，方程組的解也是方程x+y=4-a的解； ④若x≤1，則1≤y≤4. 其中正確的是（ ） A.①② B.②③ C.②③④ D.①③④ 【分析】解方程組得出x、y的表達式，根據a的取值范圍確定x、y的取值范圍，逐一判斷： 解方程組x+3y=4-ax-y=3a，得x=1+2ay=1-a. ∵-3≤a≤1，∴-5≤x≤3，0≤y≤4. ①x=5y=-1不符合-5≤x≤3，0≤y≤4，結論錯誤； ②當a=-2時，x=1+2a=-3，y=1-a=3，x、y的值互為相反數，結論正確； ③當a=1時，x+y=2+a=3，4-a=3，方程x+y=4-a兩邊相等，結論正確； ④當x≤1時，1+2a≤1，解得a≤0，y=1-a≥1，已知0≤y≤4，故當x≤1時，1≤y≤4，結論正確. 故選C. 練習4 一、填空題 1.已知x=2y=1是方程2x+ay=5的解，則a= . 2.已知二元一次方程組為2x+y=7x+2y=8，則x+y= .x-y= . 3.當k= 時，方程x+ky+1=0有一組解是x=3y=2. 4.方程x（x-2）=0的根是 . 二、選擇題 1. 方程2x+1=0的解是（ ） A.■ B.-■ C. 2 D.-2 2. 若x=1是方程2x-a=0的根，則a=（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 3. 解二元一次聯立方程式8x+6y=36x-4y=5，得y=（ ） A.-■ B.-■ C.-■ D.-■ 4. 已知方程|x|-1=0的解滿足2x-3=■+x，則m的值是 （ ） A.-6 B.-12 C.-6 或-12 D.任何數 5. 小明在超市幫媽媽買回一袋紙杯，他把紙杯整齊地疊放在一起（如圖4-1），請你根據圖中的信息，若小明把100個紙杯整齊疊放在一起時，它的高度約是（ ） A.106cm B.110cm C.114cm D.116cm 6. 根據以下對話，可以求得小紅所買的筆和筆記本的價格分別是（ ） A.0.8元/支，2.6元/本 B.0.8元/支，3.6元/本 C.1.2元/支，2.6元/本 D.1.2元/支，3.6元/本 三、解答題 1.等式（a-2）x2+ax+1=0是關于x的一元一次方程（即x未知），求這個方程的解. 2.在“六十國慶”期間，小明、小亮等同學隨家長一同到北京某公園游玩，下面是購買門票時，小明與他爸爸的對話（如圖），試根據圖中的信息，解答下列問題： （1）小明他們一共去了幾個成人，幾個學生？ （2）請你幫助小明算一算，用哪種方式購票更省錢？說明理由. 3.為了迎接全運會在濟南的召開，山東綜藝頻道舉辦了“全運向前沖”節目.為了方便觀眾觀看節目，闖關場地的外圍圍墻是用若干塊長為5米，寬為2.5米的長方形帆布縫制成的，兩塊帆布的縫合的公共部分是0.1米，圍成的圍墻高2.5米. （1）若先用6塊帆布縫制成寬為2.5米的條形，求其長度？ （2）若使圍成的圓形場地的半徑為10米，至少需要買幾塊這樣的帆布縫制圍墻？ 4. 諾諾喜歡魔術，自稱為劉謙的徒弟.妞妞將一年365天按順序做成標有1，2，3，…，365的卡片，又從中將標有1，8，15，22，29，…的卡片抽出（后一張卡片上的數比前一張卡片上的數大7）.妞妞從中拿了相鄰的3張卡片，且這些卡片上的數之和為108. 妞妞考諾諾如下： （1）我拿到了哪幾張卡片？ （2）你能拿出相鄰的三張卡片，使得這些卡片上的數之和是212嗎？同樣，3張卡片上的數之和能是1095嗎？ 5.一元一次不等式（組） 基本要求：了解不等式、一元一次不等式、一元一次不等式組這些概念的內涵，并通過類比等式的基本性質總結不等式的基本性質.要求學生通過分析題意，提煉數學信息，進而確定相關數量之間的關系，最終建立一元一次不等式（組）的數學模型，要求學生深刻認識不等式同函數、方程一樣，也是刻畫現實世界量與量之間關系的有效數學模型. 應用舉例： 例1 在平面直角坐標系中，若點P（m-3，m+1）在第二象限，則m的取值范圍為（ ） A.-1 【分析】根據第二象限點的坐標的符號特征，可以知道點P的橫坐標為負、縱坐標為正，得出m-3<0并且m+1>0，從而列出一元一次不等式組，不等式組的解集就是m的取值范圍.故選A. 例2 若不等式組x-b<0x+a>0，的解集為2 A. -2，3 B.2， -3 C.3，-2 D.-3，2 【分析】∵解不等式x-b<0得：x ∵不等式組x-b<0x+a>0解集為2 例3 將不等式組x+8<4x-1x≤16-3x的解集在數軸上表示出來，正確的是（ ） 【分析】解一元一次不等式組，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）.因此x+8<4x-1①x≤16-3x②，由①得x>3；由②得x≤4. ∴其解集為：3 不等式組的解集在數軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數軸上表示出來（>，≥向右畫；<，≤向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集.有幾個就要幾個.在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“<”，“>”要用空心圓點表示.因此，3 例4 某次知識競賽共有20道題，每一題答對得5分，答錯或不答都扣3分. （1）小明考了68分，那么小明答對了多少道題？ （2）小亮獲得二等獎（70分～90分），請你算算小亮答對了幾道題？ 【解析】對于（1），設小明答對了x道題，則可列出一元一次方程進行求解；對于（2），由于小亮得分在70分～90分之間，如果設其答對了y道題，那么他最少得70分，最多得90分，因此可列出不等式組進行求解. 解：（1）設小明答對了x道題，依題意得 5x-3（20-x）=68， 解得x=16. 答：小明答對了16道題. （2）解：設小亮答對了y道題，依題意得 5y-3（20-y）≥705y-3（20-y）≤90，解得16■≤y≤18■， ∵y是正整數. ∴y=17或18. 答：小亮答對了17道題或18道題. 【點評】本題通過兩個問題，考查學生列方程（組）、不等式組解決實際問題的能力，體現數學問題源自現實生活，而又為更好地解決現實問題的辯證規律. 練習5 一、填空題 1. 若點P（x，y）是直線y=-3x+4上的點，當x滿足 時，點P是第二象限內的點，當y滿足 時，點P是第一象限內的點，當x滿足 時，點P是第四象限內的點，當x滿足 時，點P在坐軸上. 2. 不等式組x≥-3x≤-1的整數解是 . 二、選擇題 1. 實數a、b、c在數軸上的對應點 的位置如圖5-1所示，下列式 子中正確的是（ ） A. ab>bc B. ac>bc C. ac>ab D. ab>ac 2. 如果■>1那么x的取值范圍是（ ） A. x>1 B. x>3 C. 1 3. 如果不等式3-2x≥0x≥m有解，則m的取值范圍是（ ） A.m< ■ B. m≤ ■ C.m>■ D.m≥■ 4.若代數式■的值在-1和2之間，則m可以取的整數值有（ ） A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 三、“六一”兒童節前夕，某消防隊官兵了解到汶川地震災區一帳篷小學的小朋友喜歡奧運福娃，就特意購買了一些送給這個小學的小朋友作為節日禮物.如果每班分10套，那么余5套；如果前面的班級每個班分13套，那么最后一個班級雖然分有福娃，但不足4套.問：該小學有多少個班級？奧運福娃共有多少套？ 6.一元二次方程及其應用 基本要求： （1） 能夠根據具體問題中的數量關系，列出方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效數學模型. （2）經歷用觀察、畫圖或計算器等手段估計方程解的過程. （3）會用配方法、公式法、分解因式法解簡單的數字系數的一元二次方程. （4）能夠根據具體問題情境列一元二次方程，并能根據問題的實際意義檢驗結果是否合理. 應用舉例： 例1 若關于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有實數根x1，x2，且x1≠x2，有下列結論： ①x1=2，x2=3；②m>-■；③二次函數y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點的坐標為（2，0）和（3，0）. 其中，正確結論的個數是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 解：①∵一元二次方程實數根分別為x1、x2， ∴x1=2，x2=3，只有在m=0時才能成立，故結論①錯誤. ②一元二次方程（x-2）（x-3）=m化為一般形式得：x2-5x+6-m=0， ∵方程有兩個不相等的實數根x1、x2，∴△=b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1>0， 解得m>-■，故結論②正確. ③∵一元二次方程x2-5x+6-m=0實數根分別為x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6-m. ∴二次函數y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3）. 令y=0，即（x-2）（x-3）=0，解得：x=2或x=3. ∴拋物線與x軸的交點為（2，0）或（3，0），故結論③正確. 綜上所述，正確的結論有2個：②③.故選C. 例2 一件商品的原價是100元，經過兩次提價后的價格為121元，如果每次提價的百分率都是x，根據題意，下面列出的方程正確的是（ ） A.100（1+x）=121 B. 100（1-x）=121 C. 100（1+x）2=121 D. 100（1-x）2=121 【分析】由于每次提價的百分率都是x，第一次提價后的價格為100（1+x）， 第二次提價后的價格為100（1+x） （1+x） =100（1+x）2.據此列出方程：100（1+x）2=121. 故選C。 例3 已知x1、x2 是關于x的方程（x-2）（x-m）=（p-2）（p-m）的兩個實數根. （1）求x1、x2的值； （2）若x1、x2 是某直角三角形的兩直角邊的長，問當實數m，p滿足什么條件時，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值. 解：（1） 原方程變為：x2-（m+2）x +2m=p2-（m+2）p+2m， ∴ x2-p2-（m +2）x +（m + 2）p=0， （x-p）（x+p）-（m+ 2）（x-p）=0， 即 （x-p）（x + p-m-2）= 0， ∴ x1 =p， x2= m+ 2-p （2）∵ 直角三角形的面積為=■x1x2=■p（m+2-p） =-■p2+■（m+2）p =-■p2-（m+2）p+■2-■ =-■p-■2+■， ∴ 當p=■且m>-2時，以 x1、 x2為兩直角邊長的直角三角形的面積最大，最大面積為■或■p2. 練習6 一、填空 1. 方程（3x+2）（2x-1）=（4x-1）化成一元二次方程的一般形式為 . 2. 方程ax2+bx =0（a≠0）的根是 . 3. 方程（x-1）（x+2）=2（x+2）的根是 . 二、選擇題 1. 生物興趣小組的同學，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送1件，全組共互贈了182件，如果全組有x名同學，則根據題意列出的方程是（ ） A. x （x+1）=182 B. x（x-1）=182 C. 2x（x+1）=182 D. x（x-1）=182×2 2. 已知方程x2+bx+a=0有一個根是-a（a≠0），則下列代數式的值恒為常數的是（ ） A.ab B.■ C. a+b D.a-b 3. 已知代數式3y2-2y+6的值為8，那么代數式■y2-y+1的值為（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 觀察下列算式：1×3+1=4=22 ， 2×4+1=9=32， 3×5+1=16=42，將你找出的規律用等式表示是（ ） A.n（n+2）+1=（n+1）2 B. n（n+2）+1=n2 C. n（n+2） =n2+2n D.n（n-2）=n2-2n 5. 已知4個礦泉水空瓶可以換礦泉水一瓶，現有15個礦泉水空瓶，若不交錢，最多可以喝礦泉水（ ）瓶 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 三、要建一個面積為300m2的長方形雞場，為了節約材料，雞場的一邊靠墻，墻長為am，另外三邊用竹籬笆圍成，竹籬笆的長為50m. （1）雞場的長與寬各為多少？ （2）墻的長度a對題目的解起怎樣的作用？ 7.分式方程 基本要求： （1）解分式方程要把其轉化為整式方程.分式方程產生增根的原因在于去分母時，方程兩邊同乘了含有未知數的整式. （2）構造分式方程模型，最重要的仍為審題，找等量關系，要注意“多”“快”“提前”等關鍵詞的含義，最后要注意檢驗，不但要檢驗未知數的值是否為方程的根，還要檢驗是否符合題意. 應用舉例： 例1 當x為何值時，分式■的值比分式■的值大3？ 【解析】根據題意列方程求解，解分式方程時先去掉分母，觀察可得最簡公分母是x-2，方程兩邊乘以最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解，然后解一元一次方程，最后檢驗即可求解. 解：根據題意，得■-■=3， 去分母，得-（3-x）-1=3（x-2）， 解得x=1. 經檢驗， x=1是方程■-■=3的根. ∴當x=1時，分式■的值比分式■的值大3. 例2 一項工程，甲、乙兩公司合做，12天可以完成，共需付工費102000元；如果甲、乙兩公司單獨完成此項公程，乙公司所用時間是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1500元. （1）甲、乙公司單獨完成此項工程，各需多少天？ （2）若讓一個公司單獨完成這項工程，哪個公司施工費較少？ 【解析】（1）設甲公司單獨完成此項工程需x天，則乙工程公司單獨完成需1.5x天，根據合作12天完成列出方程求解即可.（2）分別求得兩個公司施工所需費用后比較即可得到結論. 【答案】（1）設甲公司單獨完成此工程x天，則乙公司單獨完成此項工程1.5x天，根據題意，得■+■=■，解之得，x=20，經檢驗知x=20是方程的解且符合題意，1.5x=30，故甲乙兩公司單獨完成此工程各需要20天、30天. （2）設甲公司每天的施工費y元，則乙公司每天的施工費（y-1500）元，根據題意，得12（y+y-1500）=102000，解之得，y=5000.甲公司單獨完成此工程所需施工費：20×5000=100000（元） ，乙公司單獨完成此工程所需施工費：30×（5000-1500）=105000 （元），故甲公司的施工費較少. 【點評】本題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出等量關系并利用等量關系求解. 練習7 一、填空題 1. 某市為治理污水，需要鋪設一段全長為300 m的污水排放管道.鋪設120 m后，為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，后來每天的工效比原計劃增加20%，結果共用30天完成這一任務.則原計劃每天鋪設管道的長度 .如果設原計劃每天鋪設管道，那么根據題意，可得方程 . 2. A、B兩地的距離是80公里，一輛公共汽車從A地駛出3小時后，一輛小汽車也從A地出發，它的速度是公共汽車的3倍，已知小汽車比公共汽車遲20分鐘到達B地，則兩車的速度 . 3. 甲乙兩人兩次同時在同一糧店購買糧食（設兩次購買糧食的單價不同），甲每次購買糧食 100千克，乙每次購糧用去100元，設甲、乙兩人第一次購買糧食的單價為每千克元，第二次購買糧食的單價為每千克y元. （1）用含x、y的代數式表示：甲兩次購買糧食共需付款 元；乙兩次共購買 千克糧食.若甲兩次購糧的平均單價為每千克Q1元，乙兩次購糧的平均單價為每千克Q2元，則=Q1 ，Q2= . （2）若規定誰兩次購糧的平均單價低，誰的購糧方式就更合算，請你判斷甲乙兩人的購糧方式哪一個會更合算些，并說明理由 . 二 、選擇題 1. 已知■=2，用含x的代數式表示y，得（ ） A.y=2x+8 B.y=2x+10 C.y=2x-8 D.y=2x-10 2. 下列關于x的方程，其中不是分式方程的是（ ） A.■+a=■ B.■-■ =■ +■ C.■=■ D.■+■=1 三、1.計算（1）■+■ （2）（■-■）·■÷（■+■） 2. 解方程（1）■+■=3 （2） ■-1=■ 3. 先化簡，再求■÷■-x的值，其中x=2004，但是，甲抄錯x=2004，抄成x=2040，但他的計算結果仍然是正確的，你說是怎么回事？ 4. 甲、乙兩班學生植樹，原計劃6天完成任務，他們共同勞動了4天后，乙班另有任務調走，甲班又用6天才種完，求若甲、乙兩班單獨完成任務后各需多少天？ 8. 函數初步 基本要求： （1）認識并能畫出直角坐標系；在給定的直角坐標系中，會根據坐標描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標. （2）通過實例了解常量、變量的意義和函數的概念，能舉出現實中具有函數關系的例子，并能確定簡單的整式、分式和實際問題中的函數自變量的取值范圍，會求函數的值，了解函數的三種表示方法，能用適當的函數表示法刻畫某些實際問題中變量之間的函數關系. （3）能結合圖象對某些實際問題中的函數關系進行分析、對變量的變化規律進行預測，解決一些簡單的問題. 應用舉例 例1 已知點P（a+1，2a-3）關于x軸的對稱點在第一象限，則a的取值范圍是（ ） A.a<-1 B.-1 解：根據“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數”，再根據各象限內的點的坐標的特點列出不等式組求解即可： ∵點P（a+1，2a-3）關于x軸的對稱點在第一象限，∴點P在第四象限. ∴ a+1>02a-3<0 解不等式①得，a>-1，解不等式②得，a<■， 所以，不等式組的解集是-1 例2 函數y=■中，自變量x的取值范圍是 . 解題思路：要使代數式■有意義，必須有2x+1≥0x-1≠0，解得x≥-■且x≠1. 答案：x≥-■且x≠1. 例3 根據下圖8-1所示程序計算函數值，若輸入的x的值為■，則輸出的函數值為（ ） A.■ B.■ C.■ D.■ 【解析】因為2≤■≤4，把x=■代入得y=■，y=■. 【答案】B 【點評】正確判斷所給字母的值所在范圍，代入相應的函數關系式是解題的關鍵. 例4 甲、乙兩人在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步500m，先到終點的人原地休息.已知甲先出發2s.在跑步過程中，甲、乙兩人的距離y（m）與乙出發的時間t（s）之間的關系.如圖所示，給出以下結論：①a=8；②b=92；③c=123.其中正確的是（ ） A.①②③ B.僅有①② C.僅有①③ D.僅有②③ 【分析】∵乙出發時甲行了 2秒，相距8m，∴甲的速度為 8/2=4m/ s. ∵100秒時乙開始休息.∴乙的速度是500/100=5m/ s. ∵a秒后甲乙相遇，∴a=8/（5-4）=8秒.因此①正確. ∵100秒時乙到達終點，甲走了4×（100+2）=408 m，∴b=500-408=92 m.因此②正確. ∵甲走到終點一共需耗時500/4=125s，∴c=125-2=123 s.因此③正確. 終上所述，①②③結論皆正確.故選A. 例5 小翔在如圖8-2（a）所示的場地上勻速跑步，他從點A出發，沿箭頭所示方向經過點B跑到點C，共用時30秒.他的教練選擇了一個固定的位置觀察小翔的跑步過程.設小翔跑步的時間為t（單位：秒），他與教練的距離為y（單位：米），表示y與t的函數關系的圖象大致如圖8-2（b）所示，則這個固定位置可能是圖1中的（ ） A.點M B.點N C.點P D.點Q 解：分別在點M、N、P、Q的位置，結合函數圖象進行判斷，利用排除法即可得出答案： A.在點M位置，則從A至B這段時間內，弧上每一點與點M的距離相等，即y不隨時間的變化改變，與函數圖象不符，故本選項錯誤； B.在點N位置，則根據矩形的性質和勾股定理，NA=NB=NC，即yA=yB=yC，與函數圖象不符，故本選項錯誤； C.在點P位置，則PC最短，與函數圖象不符，故本選項錯誤； D.在點P位置，如圖8-2（c）所示，①以Q為圓心，QA為半徑畫圓交■于點E，其中y最大的點是AE的中垂線與弧■的交點H；②在弧■上，從點E到點C上，y逐漸減小；③QB=QC，即yB=yC，且BC的中垂線QN與BC的交點F是y的最小值點.經判斷點Q符合函數圖象，故本選項正確. 故選D. 練習8 一、填空題 1. 函數y=■中，自變量x的取值范圍是 . 2. 如圖8-3是永州市幾個主要景點示意圖，根據圖中信息可確定九疑山的中心位置C點的坐標為 . 3. 已知點M（3，-2），將它先向左平移4個單位，再向上平移3個單位后得到N點，則點N的坐標是 . 4. 如圖8-4，圍棋盤放置在某個平面直角坐標系內，白棋②的坐標為（-7，-4），白棋④的坐標為（-6，-8），那么黑棋的坐標應該是 . 二、選擇題 1. 在平面直角坐標系中，若點P（m+3，m-1）在第四象限，則m的取值范圍為（ ） A.-3 2. 正方形ABCD在坐標系中的位置如圖 8-5所示，將正方形ABCD繞D點順 時針旋轉90°后，B點的坐標為（ ） A.（-2，2） B.（4，1） C.（3，1） D.（4，0） 3. 如果點P在第二象限內，點P到x軸的距離是4，到y軸的距離是3，那么點P的坐標為（ ） A.（-4，3） B.（-4，-3） C.（-3，4） D.（-3，-4） 4. 小華的爺爺每天堅持體育鍛煉，某天他慢步到離家較遠的綠島公園，打了一會兒太極拳后跑步回家。下面能反映當天小華的爺爺離家的距離y與時間x的函數關系的大致圖象是（ ） 5. 時鐘在正常運行時，時針和分針的夾角會隨著時間的變化而變化.設時針與分針的夾角為y（度），運行時間為t（分），當時間從3：00開始到3：30止，圖8-6中能大致表示y與t之間的函數關系的圖象是（ ） 三、解答題 1. 某校辦工廠現在年產值是15萬元，計劃今后每年增加2萬元. （1）寫出年產值y（萬元）與年數x之間的函數關系式； （2）畫出函數圖象； （3）求5年后的年產值. 2.心理學家發現，學生對概念的接受能力與提出概念所用的時間之間滿足如下關系： 接受能力數值越大，表示接受能力越強. （1）上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？ （2）提出概念所用時間在什么范圍內，學生的接受能力逐步增強？在什么范圍內，學生的接受能力逐步降低？ （3）提出概念的第10分鐘時，學生的接受能力數值是多少？ （4）提出概念的第幾分鐘時，學生的接受能力最強？ 9. 一次函數 基本要求 一次函數的性質 在一次函數y=kx+b中，k表示直線的斜率，b是直線在y軸上的截距. （1）當k>0時，y隨x的增大而增大，這時函數圖象從左至右上升. （2）當k<0時，y隨x的增大而減小，這時函數圖象從左至右下降. （3）k、b的大小決定著直線位置，反過來，直線的位置可決定k、b的大小.這種“數”與“形”的相互轉化是數學中一種重要的思想方法. ①k>0， b>0？圳直線經過一、二、三象限； ②k>0， b<0？圳直線經過一、三、四象限； ③k<0， b>0？圳直線經過一、二、四象限； ④k<0， b<0？圳直線經過二、三、四象限. 應用舉例 例1 如圖9-1，一次函數y=（m-1）x-3的圖象分別與x軸、y軸的負半軸相交于A、B，則m的 取值范圍是（ ） A.m>1 B.m<1 C.m<0 D.m>0 【分析】根據一次函數圖象與 系數的關系，∵函數圖象經過二、 三、四象限，∴m-1<0，解得m<1.故選B. 例2 如圖9-2，正方形ABCD的邊長為a，動點P從點A出發，沿折線A→B→D→ C→A的路徑運動，回到點A時運動停止.設點P運動的路程長為x，AP長為y，則y關于x的函數圖象大致是（ ） 【解析】點P從點A出發，在A→B的過程中，是勻加速運動，y與x的函數圖象是一條線段；在B→D的過程中，y隨x的變化出現了先減后增的變化，圖象呈拋物線形；在D→ C的過程中，y隨x的增加而增加，圖象呈上升趨勢；在C→A的過程中，又是勻減速運動，y與x的函數圖象是一條線段. 故選D. 【答案】D. 例3 某水產經銷商在荊州市長湖養殖場批發購進草魚和烏魚（俗稱黑魚）共75千克，且烏魚的進貨量大于40千克.已知草魚的批發單價為8元/千克，烏魚的批發單價與進貨量的函數關系如圖9-3所示. （1）請直接寫出批發購進烏魚所需總金額y（元）與進貨量x（千克）之間的函數關系式； （2）若經銷商將購進的這批魚 當日零售，草魚和烏魚分別可賣出 89%、95%，要使總零售量不低于進 貨量的93%，問該經銷商應怎樣安 排進貨，才能使進貨費用最低？最 低費用是多少？ 解：（1）批發購進烏魚所需總金額y（元）與進貨量x（千克）之間的函數關系式為y=26x（20≤x≤40）24x（x>40）. （2）設該經銷商購進烏魚x千克，則購進草魚（75-x）千克，所需進貨費用為w元. 由題意得：x>089%（75-x）+95%x≥93%×75，解得x≥50. 由題意得w=8（75-x）+24x=16x+600. ∵16>0，∴w的值隨x的增大而增大.∴當x=50時，75-x=25，w最小=1400（元）. 答：該經銷商應購進草魚25千克，烏魚50千克，才能使進貨費用最低，最低費用為1400元. 【分析】（1）根據所需總金額y（元）是進貨量x與進價的乘積，即可寫出函數解析式. （2）根據總零售量不低于進貨量的93%這個不等關系即可得到關于進價x的不等式，解不等式即可求得x的范圍.費用可以表示成x的函數，根據函數的增減性，即可確定費用的最小值. 練習9 一、選擇題 1. 下列各選項中的關系是正比例函數關系的是（ ） A.三角形面積一定時，它的底與底邊上的高 B.質量不變時，物體的體積與密度 C.體積不變時，物體的質量與密度 D.圓的面積與它的半徑 2. 已知一次函數y=（a-1）x+b的圖象如圖 9-4所示，那么a的取值范圍是（ ） A.a>1 B.a<1 C.a>0 D.a<0 3. 如果一次函數y=kx+b的圖象經過第一象限，且與y軸負半軸相交，那么（ ） A.k>0，b>0B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 4. 如圖9-5，一次函數圖象經過點A， 且與正比例函數y=-x的圖象交于 點B，則該一次函數的表達式為（ ） A.y=-x+2 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=-x-2 5. 將直線y=2x向右平移2個單位所得 的直線的解析式是（ ） A.y=2x+2 B.y=2x-2 C.y=2（x-2） D.y=2（x+2） 6. 如圖9-6，是一次函數y=kx+b與反 比例函數y=■的圖象，則關于 x的方程kx+b=■的解為（ ） A.xl=1，x2=2 B.xl=-2，x2=-1 C.xl=1，x2=-2 D.xl=2，x2=-1 二、填空題 1.若一次函數y=x+（2m-2）的圖象經過原點，則m的值為 . 2.在計算器上，按照下面的程序進行操作： 下表中的x與y分別是輸入的6個數及相應的計算結果 上面操作程序中所按的第三個鍵和第四個鍵應是 . 3.如圖9-7，有一種動畫程序，屏幕上正方形ABCD是黑色區域（含正方形邊界），其中A（1，1），B（2，1）， C（2，2），D（1，2），用信號槍沿直線 y=-2x+b發射信號，當信號遇到黑色 區域時，區域便由黑變白，則能夠使黑 色區域變白的b的取值范圍為 . 三、解答題 1.如圖9-8，已知直線y=-x+2與 x軸、y軸分別交于點A和點B， 另一直線y=kx+b（k≠0）經過點 C（1，0）且把△AOB分成兩部分. （1）若△AOB被分成的兩部分面積相等，求k和b的值； （2）△AOB能否被分成面積比為1∶5的兩部分？若能，求出k、b，若不能，說明理由. 2.周末，小明騎自行車從家里出發到 野外郊游.從家出發0.5小時后到 達甲地，游玩一段時間后按原速 前往乙地.小明離家1小時20分 鐘后，媽媽駕車沿相同路線前往 乙地，如圖9-9是他們離家的路 程y（km）與小明離家時間x（h）的函數圖象.已知媽媽駕車的速度是小明騎車速度的3倍. （1）求小明騎車的速度和在甲地游玩的時間； （2）小明從家出發多少小時后被媽媽追上？此時離家多遠？ （3）若媽媽比小明早10分鐘到達乙地，求從家到乙地的路程. 10. 反比例函數的性質與應用 基本要求：正確理解反比例函數的圖象，在畫函數圖象時要結合函數解析式的特點來理解.要加強數形結合的思想.要善于數形結合，由解析式聯想到圖象的位置及性質，由圖象及性質聯想比例系數k的符號. 應用舉例： 例1 如圖10-1（a）所示，已知A（■，y1），B（2，y2）為反比例函數y=■圖象上的兩點，動點P（x，0）在x正半軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到 最大時，點P的坐標是（ ） A.（■，0） B.（1，0） C. （■，0） D. （■，0） 【分析】∵把A（■，y1），B（2，y2）分別代入反比例函數y=■ 得：y1=2，y2=■，∴A（■，2），B（2，■）. ∵在△ABP中，由三角形的三邊關系定理得：|AP-BP| 設直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標代入得： 2=■k+b■=2k+b，解得：k=-1b=■. ∴直線AB的解析式是y=-x+■. 當y=0時，x=■ ，即P（■，0）.故選D. 例2 已知：等腰三角形OAB在 直角坐標系中的位置如圖10-2，點 A的坐標為（-3■，3），點B的坐 標為（-6，0）. （1）若三角形OAB關于y軸的軸對稱圖形是三角形 OA′B′，請直接寫出A、B的對稱點A′、B′的坐標； （2）若將三角形OAB沿x軸向右平移a個單位，此時點A恰好落在反比例函數y=■的圖象上，求a的值； （3）若三角形OAB繞點O按逆時針方向旋轉α度（0<α<90）. ①當α=30°時點B恰好落在反比例函數y=■的圖象上，求k的值. ②問點A、B能否同時落在①中的反比例函數的圖象上，若能，求出α的值；若不能，請說明理由. 【分析】（1）根據軸對稱特性求點的坐標.（2）左右平移的特性縱坐標不變，∴y=3.點A在y=■的圖象上，把y=3代入y=■，求a；（3）①∠AOB=30°，畫三角形OAB繞點O逆時針旋轉30°的對應圖形，根據旋轉特性得到點B的對應點，實質與原圖中的點A關于x軸對稱，得解.②利用反比例xy=k來驗證. 解：（1）A′（3■，3）、B′ （6，0）. （2） ∵ y=3 ∴3=■，∴x=2■， ∴a=5■. （3）①∵α=30°∴相應B點的坐標是（-3■，-3）∴k=9■. ②能， 當α=60°時，相應A、B點的坐標分別是（-3■，-3），（-3，-3■）經檢驗：它們都在y=■的圖象上，∴α=60° . 點評：本題將反比例函數的圖象、性質、待定系數法、以及平移、旋轉、對稱等相關知識融為一體進行考查.因此在平時訓練中我們要將函數的圖象、性質熟練掌握，另外還要把握基礎，重視求點的坐標的各種練習再進行知識的整合. 練習10 一、選擇題 1.反比例函數y=-■的圖象位于（ ） A.第一、二象限B.第三、四象限 C.第一、三象限D.第二、四象限 2. 函數y=■的圖象經過點A（1，-2），則k的值為（ ） A.■ B.-■ C.2 D.-2 3. 下面的函數是反比例函數的是（ ） A.y=3x+1 B.y=x2+2x C.y=■ D.y=■ 4. 如果函數y=2x的圖象與雙曲線y=■（k≠0）相交，則當x<0時，該交點位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5. 已知反比例函數y=■的圖象位于第一、第三象限，則k的取值范圍是（ ）. A.k>2 B. k≥2 C.k≤2 D. k<2 6.若反比例函數y=■的圖象經過點（m，3m），其中m≠0，則此反比例函數的圖象在（ ） A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 二、填空題 1. 已知反比例函數y=■的圖象過點（-1，-2），若點（2，n）在這個圖象上，則n的值是_______. 2. 為了美化校園，學校共劃去84 m2的土地修建四個完全相同的矩形花池，如果每個花池的一組鄰邊分別為xm和ym，那么y關于x的函數解析式為_________. 3. 寫出一個反比例函數的解析式，使它的圖象不經過第一、三象限_____. 4. 已知m<-1，則下列函數： ①y=■（x>0）； ②y=-mx+1； ③y=（m+1）x； ④y=-■（x<0）中，y隨x的減小而增大的是 （填入函數代號）. 5. 在反比例函數y=■（x>0）的圖 象上（如圖10-3），有點P1，P2， P3，P4，它們的橫坐標依次為1， 2，3，4.分別過這些點作x軸與 y軸的垂線，圖中所構成的陰影 部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，則S1+S2+S3= . 三、解答題 1.已知關于x的一次函數y=mx+3和反比例函數y=■的圖象都經過點（1，-2）. 求：①一次函數和反比例函數的解析式； ②兩個函數圖象的另一個交點的坐標. 2.某蓄水池的排水管每小時排水8m3， 6h可將滿池水全部排空. ①蓄水池的容量是多少？ ②如果增加排水管，使每小時的排水量達到Q（m3），那么將滿池水排空所需的時間t（h）將如何變化？③寫出t與Q之間的關系式；④如果準備在5h內將滿池水排空，那么每小時的排水量至少是多少？⑤已知排水管的最大排水量為每小時12m3，那么最少多長時間可將滿池水全部排空？ 3.如圖，等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上，雙曲線y=■（k>0）經過邊OB的中點C和AE的中點D，已知等邊△OAB的邊長為4. （1）求該雙曲線所表示的函數解析式； （2）求等邊△AEF的邊長. 11. 二次函數 基本要求：能用表格、表達式、圖象表示變量之間的二次函數關系，能根據具體問題，采取適當的方法表示變量之間的二次函數關系.能從圖象上認識二次函數的性質，能根據公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸（公式不要求記憶和推導），并能解決簡單的實際問題，能利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解. 關于二次函數y=ax2+bx+c應注意以下幾點： （1）圖象的開口方向：a>0時，開口向上；a<0時，開口向下. （2）圖象的頂點和對稱軸：頂點為（-■，■），對稱軸為x=-■. （3）當a>0時二次函數有最小值，當x=-■時，y最小值=■. 當a<0時二次函數有最大值，當x=-■時，y最大值=■. 應用舉例： 例1 設二次函數y=ax2+bx+c，當x≤1時，總有y≥0，當1≤x≤3時，總有y≤0，那么c的取值范圍是 A.c=3 B.c≥3 C.1≤c≤3 D.c≤3 【解析】∵二次函數y=ax2+bx+c，當x≤1時，總有y≥0，當1≤x≤3時，總有y≤0，那么c的取值范圍是1+b+c=09+3b+c=0，解得b=-4，c=3。 【答案】A 【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，根據題意得出二次函數的交點情況，得出關于b、c的方程組是解決此題的關鍵. 例2 拋物線y=-x2+（m-1）x+m與y軸交于（0，3）點，（1）求出m的值并畫出這條拋物線；（2）求它與x軸的交點和拋物線頂點的坐標；（3）x取什么值時，拋物線在x軸上方？（4）x取什么值時，y的值隨x的增大而減小？ 【分析】由已知點（0，3）代入y=-x2+（m-1）x+m即可求得m的值，即可知道二次函數解析式，并可畫出圖象，然后根據圖象和二次函數性質可得（2）（3）（4）. 解：（1）由題意將（0，3）代入解析式可得m=3， ∴ 拋物線為y=-x2+2x+3. 圖象（圖11-1）： （2）令y=0，則-x2+2x+3=0， 得x1=-1，x2=3； ∴ 拋物線與x軸的交點為（-1，0），（3，0）. ∵ y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴ 拋物線頂點坐標為（1，4）； （3）由圖象可知：當-1 （4）由圖象可知：當x>1時，y的值隨x值的增大而減小. 例3 如圖11-2，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方形形狀的包裝盒（A、B、C、D四個頂點正好重合于上底面上一點）.已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=BF=x（cm）. （1）若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的體積V； （2）某廣告商要求包裝盒的表面（不 含下底面）面積S最大，試問x應取何值？ 【分析】（1）根據折疊前后圖形特點， 若折成的包裝盒恰好是個正方體，則這 包裝盒的長、寬、高相等，利用等腰直角 三角形的性質，可以用含x的代數式表示 出AE、EF、BF的長度，再利用正方形ABCD的邊長為24cm，構造有關x的方程，進一步求出其值.正方體的體積公式：V=a3其中a表示正方形的邊長.（2）用利用等腰直角三角形的性質，可以用x表示出AE、EF、BF的長度，進一步求出包裝盒的表面（不含下底面）積S=4ah+a2=4■x·■（12-x）+（■x）2=-6x2+96x=-6（x-8）2+384，利用二次函數的知識求其最值. 解：（1）根據題意，知這個正方體的底面邊長a=■x，EF=■a=2x， ∴x+2x+x=24 ∴x=6. ∴a=6■，V=a3=（6■）3=432■（cm3）. （2） 設包裝盒的底面邊長為acm，高為hcm， 則a=■x，h=■=■（12-x）. ∴S=4ah+a2=4■x·■（12-x）+（■x）2=-6x2+96x=-6（x-8）2+384. ∵0 【點評】本題利用折疊考查了學生的空間想象能力，用x正確表示出相關線段的長度，進一步求出相關的體積和面積表達式，利用二次函數求代數式的最值，把平面幾何與代數的知識柔和在一起，難度屬于中等偏上. 練習11 一、選擇題 1. 二次函數y=x2-4x+3的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，則△ABC的面積為（ ） A.6 B.4 C.3 D.1 2. 對于任意實數x，二次函數y=（m-1）x2的值總是非正數，則m得取值范圍是（ ）. A.m≤1 B.m≥1 C.m<1 D.m>1 3. 若二次函數y=x2+bx+5配方后為y=（x-2）2+k則b、k的值分別為（ ） A.0.5 B.0.1 C.-4.5 D.-4.1 二、填空題 1. 已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標為-1，則a+c-b= . 2. 把拋物線y=-x2-2x+3配方成y=a（x-h）2+k的形式是 .頂點坐標是 .對稱軸是 . 3. 如果函數y=2x2-mx+1的最小值是-7，那么m= . 三、解答題 1. 甲車在彎路作剎車試驗，收集到的數據如下表所示： 請用上表中的各對數據（x，y） 作為點的坐標，在右圖所示的坐 標系中畫出甲車剎車距離y（米）. （2）在一個限速為40千米/時的彎 路上，甲、乙兩車相向而行，同時 剎車，但還是相撞了.事后測得甲、 乙兩車的剎車距離分別為12米和10.5米，又知乙車的剎車距離y（米）與速度x（千米/時）滿足函數y=■x，請你就兩車的速度方面分析相撞的原因. 2. 如圖11-3，一次函數y=-■x+2分別交y軸、x 軸于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點. （1）求這個拋物線的解析式； （2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N.求當t 取何值時，MN有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標。 12.圖形的初步認識 基本要求：（1）認識圓柱、圓錐、正方體、長方體、棱柱等立體圖形，并能用自己的語言來描述這些立體圖形的有關特征. （2）知道圓柱、圓錐、棱柱的表面展開圖，特別要注意的是沿棱柱表面不同的棱剪開可能得到不同的組合方式的平面展開圖. （3）用一個平面去截一個幾何體，讓學生發揮想象和生活實踐經驗來判斷截面可能的形狀. 應用舉例： 例1下圖12-1給定的是紙盒的外表面，下面能由它折疊而成的是（ ） 【解析】正方體展開圖的相隔正方形是正方體互相對應的面，所以選B. 【答案】B. 【點評】這類題考查學生的立體感，可以通過動手操作的方法折疊演示找出答案. 例2 如圖12-2，張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為15米3的無蓋長方體箱子，且此長方體箱子的底面長比寬多2米，現已知購買這種鐵皮每平方米需20元錢，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢？ 【分析】由長方體展開圖知，四個角上剪去的邊長為1的正方形的邊長實際上就是剩余材料圍成的長方體容器的高，進而以容器的容積為等量構造方程. 解：設這種箱子底部寬為x米，則長為（x+2）米， 依題意，得x（x+2）×1=15. 解得x1=-5（舍），x2=3. ∴這種箱子底部長為5米、寬為3米. 由長方體展開圖知，要購買矩形鐵皮面積為（5+2）×（3+2）=35（米2）. ∴ 做一個這樣的箱子要花35×20=700元錢. 說明：本題以長方體展開圖為載體，融合一元二次方程的有關知識，復習過程中要讓學生知道除了運用常規的探究問題方法之外，進行實際的操作探究問題也是一種行之有效的探究方法. 練習12 一、填空題 1. 流星墜落會在空中留下一條 ；轉動的自行車輪子上的幅條會形成一個 ；一個長方形繞著自身的一條邊旋轉會形成 . 2. 一個五棱柱的側面數是 個，頂點數是 個，一個正棱錐有六個頂點，所有側棱長的和為30cm，則每條側棱的長是 cm. 3. 用平面去截一個球體，截面形狀是 . 4.如圖12-3是正方體的展開圖，請問1號面 的對面是 號面. 二、選擇題 1.將圖12-4（a）的正方形色紙沿其中一條對角線對折后，再沿原正方形的另 一條對角線對折，如圖（b）所示。 最后將圖（b）的色紙剪下一紙片，如圖（c）所示。若下列有一圖形為圖（c）的展開圖，則此圖為何？ 2.如圖12-5，已MN知是圓柱底面的直徑，NP是圓柱的高，在圓柱的側面上，過點M、P嵌有一圈路徑最短的金屬絲，現將圓柱側面沿NP剪開，所得的側面展開圖是（ ） 13.角 基本要求： （1）認識度、分、秒，會進行簡單的換算. （2）在現實情境中，進一步豐富對角與銳角、鈍角、直角、平角、周角及其大小關系的認識. （3）會比較角的大小，能估計一個角的大小. 應用舉例： 例1 下列圖形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ） 思路點撥：A中∠1與∠2是同旁內角，兩直線平行，同旁內角互補，C中∠1與∠2是由直線AC和直線BD被直線AD所截產生，D不符合平行線的性質. 選B，∠1與∠2的對頂角是同位角. 例2 小明同學把一個含有45°角 的直角三角板放在如圖13-1所示的 兩條平行線m、n上，測得∠α=120°， 則∠β的度數是（ ） A.45° B.55° C.65° D.75° 解：∵m∥n，∴∠ABD=∠α=120°。 ∴∠ABC=60°. 又∵∠ACB=∠β，∠A=45°， ∴根據三角形內角和定理， 得=180°-60°-45°=75°.故選D. 說明：解決問題的關鍵是認真觀察圖形，確定圖形中角的位置關系，從而確定數量關系. 例3 如圖13-2（a），如果在陽光下你的身影的方向是北偏東60°方向，那么太陽相對于你的方向是（ ） A.南偏西60° B.南偏西30° C.北偏東60° D.北偏東30° 解：根據方向角的定義，結合 對頂角相等的性質進行解答即可： ∵人相對于太陽與太陽相對 于人的方位正好相反，而在陽光下 你的身影的方向北偏東60°方向， ∴如圖13-2（b），作身影的反 向延長線，根據對頂角相等的性質， 知太陽相對于你的方向是南偏西60°. 故選A. 練習13 一、填空 1. 角可以看作是一條 繞著 從一個位置旋轉到另一個位置所構成的圖形.當射線OA繞O點旋轉，終止位置OC和起始位置OA成一條直線時，所成的∠AOC是 . 2. 如圖13-3，∠α可以表示成 或 ，∠DAC可以表示成 ，∠β可以表示成 . 3. 如圖13-4所示，小于平角的角共有 個，它們是 . 4. 45°= 直角= 平角= 周角；■直角= . 5. 9時30分時，鐘表上的時針和分針所成的角的度數是 . 6. 24.56°= 度 分 秒；70°12′45″= 度. 7.如圖13-5所示，∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠AOD=145°，則∠BOC= . 8.如圖13-6所示，OB是∠AOC的平分線，OC是∠AOD的平分線，若∠COD=76°，那么∠AOD= ，∠BOC= . 二、選擇題 1. 一個角的余角比它的補角的■少20°，則這個角為（ ） A.30° B.40° C.60° D.75° 2. 如圖13-7，把矩形ABCD沿EF對折后使兩部分重合，若∠1=50°，則∠AEF=（ ） A.110° B.115° C.120° D.130° 3. 如圖13-8，OP平分∠AOB，PA⊥OA， PB⊥OB，垂足分別為A，B.下列結 論中不一定成立的是（ ） A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP 14.相交線與平行線 基本要求： （1）在具體情境中了解補角、余角、對頂角，知道等角的余角相等、等角的補角相等、對頂角相等 .會用三角尺畫過已知直線外一點畫這條直線的平行線； （2）會用尺規作圖法作一條線段等于已知線段、作一個角等于已知角 . （3）掌握直線平行的條件以及平行線的特征 . 應用舉例： 例1 如圖14-1，AB∥ED，∠ECF=70°，則∠BAF的度數為（ ） A.130° B.110° C.70° D.20° 解∵AB∥ED，∴∠BAC=∠ECF （兩直線平行，內錯角相等）. 又∠ECF=70°，∴∠BAC=70° （等量代換）. ∴∠BAF=180°-∠BAC=180°-70°=110°（平角的定義）.故選B. 例2 如圖14-2，AB∥CD， AC⊥BC， ∠BAC =65°，則∠BCD= 度. 分析：根據直角三角形兩銳角互余 可先求∠ABC=25°，再根據兩直線平行 內錯角相等求∠BCD的度數. 解：25°. 說明：平行線的性質是我們確定兩角數量關系最重要的依據. 例3 如圖13-3（a），C島在A島的北偏東45°方向，在B島的北偏西25°方向，則從C島看A、B兩島的視角∠ACB= 度. 解：如圖14-3（b），作北向線的平行線CD，則 根據兩直線平行，內錯角相等的性質，得 ∠ACD=45°，∠BCD=25°，∴∠ACB=45°+25°=70°. 練習14 一、填空題 1. 如圖14-4，AB∥CD，∠C=65°，CE⊥BE， 垂足為E，則∠B的度數為 . 2. 已知角α和角β互補，β比α大20°， 則α= 3. 如圖14-5，兩平面鏡α、β的夾角為θ， 入射光線AO平行于β入射到α上，經 兩次反射后的出射光線O′B平行于α， 則角θ= 度. 4. 平面內有若干條直線，當下列情形時， 可將平面最多分成幾部分. 有一條直線時，最多分成 部分； 有兩條直線時，最多分成 部分； 有三條直線時，最多分成 部分； …… 有n條直線時，最多分成 部分. 二、選擇題 1. 在如圖14-6的蹺蹺板示意圖中，橫板AB的中點O可上下轉動，立柱OC與地面垂直，當A端著地時，測得∠OAC=α，則在玩蹺蹺板時， 上下可轉動的最大角度是（ ） A.α B.2α C.90°-α D.90°+α 2. 下列命題中，真命題是（ ） A.互補兩角若相等，則此兩角都是直角 B.直線是平角 C.不相交的兩條直線叫做平行線 D.和為180度的兩個角叫做鄰補角 3. 過同一平面上的三點，可以作直線（ ） A.1條 B.2條 C.3條 D.1條或3條 4.學習了平行線后，小敏想出了過己知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，她是通過折一張半透明的紙得到的（如圖14-7 ）： 從圖中可知，小敏畫平行線的依據有（ ）①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內錯角相等；③同位角相等，兩直線平行；④內錯角相等，兩直線平行. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 三、解答題 已知：如圖14-8CD平分∠ACB，BF 是△ABC的高，若∠A=70°，∠ABC=60°， 求∠BMC的度數 15.與三角形相關的問題 基本要求： 探索三角形全等條件的過程，掌握兩個三角形全等的條件，能應用三角形的全等解決一些實際問題.在分別給出兩角夾邊、兩邊夾角和三邊的條件下，能夠利用尺規作出三角形. 掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法，側重學生自己動手，選擇“面積法”這種不常用卻直觀的證明方法，并能運用勾股定理解決一些實際問題. 應用舉例： 例1如圖15-1所示，一個60°角 的三角形紙片，剪去這個60°角后，得 到一個四邊形，則∠1+∠2的度數為（ ） A. 120° B.180° C.240° D.300° 【解析】考查多邊形的內角和，根據公式180°（n-2）來算即可.也可以用三角形的內角和與平角的定義來求. 【解答】先由三角形的內角和，求出三角形另兩個角的度數和為 120° ，再根據四邊形內角和，求出∠1+∠2=240°，故選擇C. 【點評】掌握各種角度的計算方法，靈活運用相關知識，即可順利解答。 例2 已知：如圖15-2，∠MON=30°，點A1、A2、A3……在射線ON上，點B1、B2、B3……在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、A3B3A4……均為等邊三角形，若OA1=1，則△A6B6A7的邊長為（ ） A. 6 B.12 C.32 D.64 【解析】考查等邊（等腰）三角形的性質，探索前后等邊三角形邊長之間的規律. 【解答】易求第一個等邊三角形的邊長為1，第二個等邊三角形的邊長為2，第三個等邊三角形的邊長為4……第n個等邊三角形的邊長為2n-1，可求第6個等邊三角形的邊長為26-1，故答案為C. 【點評】只要熟悉等邊（等腰）三角形的性質，本題易于求解.易錯點是容易算錯n的值. 例3 如圖15-3，是一塊三角形木 板的殘余部分，量得∠A=100°，∠B=40°， 這塊三角形木板另外一個角是 度. 【解析】問題旨在考查三角形內角 和定理，事實上，只要知道∠A+∠B+ ∠C=180°，則不難求出∠C=40°. 解：應填40. 說明：對于此類求角問題，應首先想尋找所求角與已知角之間的關系，然后再根據定理或已知結論進行求解. 例4 閱讀理解（如圖15-4） 如圖a △ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重疊部分；…；將余下部分沿BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱∠BAC是△ABC的好角. 小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情況。情形一：如圖b，沿等腰三角形△ABC頂角∠BAC的平分線AD折疊，點B與點C重合；情形二：如圖c，沿△ABC的∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下的部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合. 探究發現 （1）△ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填“是”或“不是”）. （2）小麗經過三次折疊發現了∠BAC是△ABC的好角，請探究∠B與∠C（不妨設∠B>∠C）之間的等量關系. 根據以上內容猜想：若經過n 次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B>∠C）之間的等量關系為 . 應用提升 （3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°，60°，105°，發現60°和105°的兩個角都是此三角形的好角. 請你完成，如果一個三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個角的度數，使該三角形的三個角均是此三角形的好角. 解：（1）是. （2）∠B=3∠C. 如圖15-4d所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復部分，將余下部分沿∠B2A3C的平分線A2B3折疊，點B2與點C重合，則∠BAC是△ABC的好角. 證明如下： 根據折疊的性質知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2， 根據三角形的外角定理知， ∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C. ∵根據四邊形的外角定理知， ∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°， 根據三角形ABC的內角和定理知， ∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C. 故若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B>∠C）之間的等量關系為∠B=n∠C. （3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角， ∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B， ∠BCA是△ABC的好角. ∴如果一個三角形的最小角是4°，三角形另外兩個角的度數是88°、88°. 練習15 一、選擇題 1. 在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點，若BC=5，則DE的長是（ ） A.2.5 B.5 C.10 D.15 2. 已知等腰三角形的兩條邊長分別是7和3，則下列四個數中，第三條邊的長是（ ） A.8 B.7 C. 4 D.3 3. 如圖15-5，△OAB繞點O逆時針旋轉80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，則∠AOD等于（ ） A.55° B.45° C.40° D.35° 4. 如圖15-6，△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列結論一定成立的是（ ） A.AB=BF B.AE=ED C.AD=DC D.∠ABE=∠DFE 二、填空題 1. 如圖15-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，D為垂足.在不添加輔助線 的情況下，請寫出圖中一對相等 的銳角： .（只需寫 出一對即可） 2. 若等腰三角形的一個外角為70°，則它的底角為 . 3. 如圖15-8，AC、BD相交于點O， ∠A=∠D，請你再補充一個條件， 使得△AOB≌△DOC，你補充的 條件是 . 4. 等腰△ABC兩邊的長分別是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個解，則這個等腰三角形的周長是 . 5. 圖15-9是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.若AC=6，BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖15-10所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長是 . 6. 如圖15-11，△ABC中，點A的坐標為（0，1），點C的坐標為（4，3），如果要使△ABD與△ABC 全等，那么點D的坐標是 . 三、解答題 1.如圖15-12，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分線，DE∥BC. （1）求∠EDB的度數； （2）求DE的長. 2.如圖15-13，在△ABC 和△DCB中，AC與BD相交于點O，AB=DC，AC=BD. （1）求證：△ABC≌△DCB； （2）△OBC的形狀是 （直接寫出結論，不需證明）. 16.與四邊形有關的問題 基本要求： 掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形的概念，了解它們之間的關系 . 探索并掌握平行四邊形的有關性質和四邊形是平行四邊形的條件 . 探索并掌握矩形、菱形、正方形的有關性質和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件 . 探索并了解等腰梯形的有關性質及其識別方法，學會運用分解梯形為四邊形與三角形的方法，解決一些簡單的問題. 應用舉例： 例1 如圖16-1，已知正方形ABCD 的邊長為4，點E、F分別在邊AB、BC上， 且AE=BF=1，CE、DF交于點O. 下列結論： ①∠DOC=90°， ②OC=OE， ③tan∠OCD=■，④S△ODC=S四邊形BEOF中，正確的有（ ） A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解∵正方形ABCD的邊長為4， ∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°. ∵AE=BF=1，∴BE=CF=4-1=3. 在△EBC和△FCD中，∵BC=CD，∠B=∠DCF，BE=CF， ∴△EBC≌△FCD（SAS）. ∴∠CFD=∠BEC.∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°. ∴∠DOC=90°.故①正確. 如圖，若OC=OE，∵DF⊥EC， ∴CD=DE. ∵CD=AD ∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+ ∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC. ∴tan∠OCD=tan∠DFC=■=■.故③正確. ∵△EBC≌△FCD，| ∴S△EBC=S△FCD. ∴S△EBC-S△FOC=S△FCD-S△FOC，即S△ODC=S四邊形BEOF。故④正確. 故選C. 例2 如圖16-2，點E是矩形ABCD的對角線BD上的一點，且BE=BC，AB=3，BC=4，點P為直線EC上的一點，且PQ⊥BC于點Q，PR⊥BD于點R. （1）如圖a，當點P為線段EC中點時，易證：PR+PQ=■ （不需證明）. （2）如圖b，當點P為線段EC上的任意一點（不與點E、點C重合）時，其它條件不變，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由. （3）如圖c，當點P為線段EC延長線上的任意一點時，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想. 【分析】（2）連接BP，過C點作CK⊥BD于點K.根據矩形的性質及勾股定理求出BD的長，根據三角形面積相等可求出CK的長，最后通過等量代換即可證明. （3）圖c中的結論是PR-PQ=125. 連接BP，S△BPE-S△BCP=S△BEC，S△BEC 是固定值，BE=BC 為兩個底，PR，PQ 分別為高，從而PR-PQ=■. 解：（2）圖b中結論PR+PQ=■仍成立.證明如下： 連接BP，過C點作CK⊥BD于點K. ∵四邊形ABCD為矩形， ∴∠BCD=90° . 又∵CD=AB=3，BC=4， ∴BD=■ =■=5. ∵S△BCD=■BC·CD=■BD·CK， ∴3×4=5CK，∴CK=■. ∵S△BCE=■BE·CK，S△BEP=■PR·BE，S△BCP=■PQ·BC， 且S△BCE=S△BEP+S△BCP， ∴■BE·CK=■PR·BE+■PQ·BC. 又∵BE=BC， ∴■CK=■PR+■PQ. ∴CK=PR+PQ. 又∵CK=■， ∴PR+PQ=■. （3）圖3中的結論是PR-PQ=■. 例3 如圖16-3將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E，交BC于點F，連接AF、CE， （1）求證：四邊形AFCE為菱形； （2）設AE=a，ED=b，DC=c，請寫出一個a、b、c三者之間的數量關系式. 解析：由軸對稱的性質知，折疊前后對應線段相等，對應角相等，對應點的連線被對稱軸重直平分，易知四邊形AFCE有兩組鄰邊分別相等.由矩形的性質和軸對稱的性質可證這兩組鄰邊中的一組邊交叉相等，從而這個四邊形的四邊都相等.由軸對稱的性知和勾股定理，可求a、b、c三者之間的數量關系式. 解答（1）證明：由軸對稱的性質知： AF=CF，AE=CE，∠AFE=∠CFE ∵四邊形ABCD是矩形， 故AD∥BC， ∴∠AEF=∠CFE， ∴∠AFE=∠AEF ∴AF=AE， 因而AE=EC=CF=AF ， 即四邊形AFCE是菱形. （2）由軸對稱性質知： AE=CE=a、ED=b、DC=c由于∠D=90° ∴ ED2+DC2=CE2 ∴ 2b+c2=a2 【點評】軸對稱屬于全等變換.本題主要考查軸對稱的性質，矩形的性質，菱形的判定，勾股定理的應用等知識.重點是軸對稱的性質. 練習16 一、選擇題 1. 如圖16-4，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD =120°，則對角線AC等于（ ） A.20 B.15 C.10 D.5 2. 如圖16-5，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，過對角線交點O作OE⊥AC交AD于E則AE的長是（ ） A.1.6 B.2.5 C.3 D.3.4 3. 下面幾組條件中，能判斷一個四邊形是平行四邊形的是 （ ） A.一組對邊相等 B.兩條對角線互相平分 C.一組對邊平行 D.兩條對角線互相垂直 4. 下列命題中錯誤的是（ ） A.平行四邊形的對邊相等 B.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 C.矩形的對角線相等 D.對角線相等的四邊形是矩形 二、填空題 1. 在如圖16-6所示的四邊形中，若去掉一個50°的角得到一個五邊形，則∠1+∠2= 度. 2. 如圖16-7，在△ABC中，EF為△ABC的中位線，D為BC邊上一點（不與B、C重合），AD與EF交于點O，連接DE、DF，要使四邊形AEDF為平行四邊形，需要添加條件________________.（只添加一個條件） 3. 已知四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一個條件即可判定該四邊形是正方形，那么這個條件可以是____________. 4. 四邊形ABCD的對角線AC，BD的長分別為m，n，可以證明當AC⊥BD時（如圖16-8），四邊形ABCD的面積 S=■mn，那么當AC，BD所夾的銳角為θ時（如圖16-9），四邊形ABCD的面積S= .（用含m、n、θ的式子表示） 三、解答題 1. 已知：如圖16-10，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE = AF. （1）求證：BE = DF； （2）連接AC交EF于 點O，延長OC至點M，使 OM = OA，連接EM、FM. 判斷四邊形AEMF是什么 特殊四邊形？并證明你的結論. 系？請直接寫出你的猜想. 17.圖形的相似 基本要求：了解線段的比、成比例線段；知道相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例，周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，探索并掌握兩個三角形相似的條件. 了解圖形的位似，能夠利用作位似圖形的方法將一個圖形放大或縮小；利用圖形的相似解決一些實際問題 .會計算含30°、45°、60°角的三角函數值的問題 .能夠運用三角函數解直角三角形，并解決與直角三角形有關的實際問題，培養學生分析問題和解決問題的能力 . 應用舉例： 例1 為了測量被池塘隔開的A，B兩點之間的距離，根據實際情況，作出如圖17-1圖形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同學分別測量出以下四組數據：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB； ③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根據所測 數據，求出A，B間距離的有（ ） A.1組 B.2組 C.3組 D.4組 解：此題比較綜合，要多方面考慮： ①∵知道∠ACB和BC的長，∴可利用∠ACB的正切直接求AB的長； ②可利用∠ACB和∠ADB的正切設方程組tan∠ACB=■tan∠ADB=■求出AB； ③∵△ABD∽△EFD，∴可利用相似三角形對應邊成比例■=■，求出AB； ④無法求出A，B間距離. 因此共有3組可以求出A，B間距離.故選C. 例2 如圖17-2，在矩形ABCD中， AB=6，BC=8，沿直線MN對折，使A、C 重合，直線MN交AC于O. （1）求證：△COM∽△CBA； （2）求線段OM的長度. 【解析】要證明△COM∽△CBA，就是要找出∠COM=∠B即可，求線段的長就是利用第（1）問中的相似建立比例式，構造出OM的方程求解. 解：（1）證明：∵ A與C關于直線MN對稱 ∴AC⊥MN∴∠COM=90°.在矩形ABCD中，∠B=90°， ∴∠COM=∠B， 又∵∠ACB=∠ACB ∴△COM∽△CBA （2）∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴AC=10， ∴OC=5， ∵△COM∽△CBA ∴■=■，∴OM=■ 【點評】求證兩個三角形相似的方法主要是兩角對應相等，兩三角形相似、兩邊對應成比例及夾角相等，兩三角形相似及三邊對應成比例，兩三角形相似，求線段的長的方法，主要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理. 例3 如圖17-3，正三角形ABC的邊長為3+■. （1）如圖①，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上.在正三角形ABC及其內部，以A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不要求寫作法）； （2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長； （3）如圖②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在邊AB上，點P、N分別在CB、CA邊上，求這兩個正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由. 【解析】（1）連接AP并延長交AC于點P'，這是畫圖關鍵. （2）利用等邊三角形、正方形、30°銳角的直角三角形性質列方程求解. （3）用兩個正方形的邊長的代數式表示出它們的面積和，再求最大值和最小值. 【答案】解：（1）如圖①，正方形E′F′P′N′即為所求. （2）設正方形E′F′P′N′的邊長為x. ∵△ABC為正三角形， ∴AE′=BF′=■x. ∴.x+2■=3+■ ∴x=■，即x=3■-3. （3）如圖②，連接NE、EP、PN， 則∠NEP=90°. 設正方形DEMN、正方形EFPH 的邊長分別為m、n（m≥n）， 它們的面積和為S，則NE=■m， PE=■n. ∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2） ∴S=m2+n2=■PN2. 延長PH交于ND點G，則PG⊥ND.在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m-n）2. ∵■m+m+n+■n=■+3，即m+n=3. ∴S=■3+（m-n）2=■+■（m-n）2 ∴ⅰ）當（m-n）2=0時，即m=n.時，S最小. ∴S最小=■×32=■. ⅱ）當（m-n）2最大時，S最大. 即當m最大且n最小時，S最大. ∵m+n=3，由（2）知，m最大=3■-3. ∴n最小=3-m最大=3-（3■-3）=6-3■. ∴S最大=■9+（m最大-n最小）2 =■9+（3■-3-6+3■）2=99-54■. 【點評】本題以位似變換為基礎，綜合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形邊角關系等重要知識點.本題三小問之間互相關聯，并逐級推進，其中第三小問在表示出面積的函數關系式的時候要朝著有利于解決問題的方向轉化，僅此一點難度較大！ 練習17 一、選擇題 1. 在比例尺1：10000的地圖上，相距2cm的兩地的實際距離是（ ） A.200cm B.200dm C.200m D.200km 2. 已知線段a=10，線段b是線段a上黃金分割的較長部分，則線段b的長是（ ） A.5（■+1） B.5（■-1） C.10（■-1） D.5（■+3） 3. 若■=■則下列各式中不正確的是（ ） A.■=■ B.■=4 C.■=■ D.■=■ 4. 下列圖形一定相似的是（ ） A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形 C.所有的矩形 D.所有的正方形 5. 若三角形三邊之比3∶5∶7，與它們相似的三角形的最長邊是21cm，則其余兩邊之和是（ ） A.15cm B.18cm C.21cm D.24cm 6. △ABC∽△A1B1C1，相似比為2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比為5：4，則△ABC與△A2B2C2的相似比為（ ） A.■ B.■ C.■或■ D.■ 二、解答題 如圖17-3，在△ABC中，已知AB =AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將 △DEF與△ABC重合在一起，△ABC 不動，△DEF運動，并滿足：點E在 邊BC上沿B到C的方向運動， 且DE始終經過點A，EF與AC 交于M點. 求證：△ABE∽△ECM； 探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由； 當線段AM最短時，求重疊部分的面積. 18.與圓相關的問題 基本要求： 了解圓的對稱性，垂徑定理以及圓周角與圓心角的關系，直徑所對的圓周角的特征，了解點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系，了解切線與過切點的半徑之間的關系，掌握切線識別的方法.會計算弧長及扇形的面積以及圓錐的側面積和全面積. 應用舉例： 例1如圖18-1（a），在半徑為5的圓O 中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P， 且AB=CD=8，則OP的長為（ ） A.3 B.4 C. 3■ D.4■ 解：如圖18-1（b）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OP，OB，OD， ∵AB=CD=8， ∴由垂徑定理和全等三角形的性質得，AM=BM=CN=DN=4，OM=ON. 又∵OB=5， ∴由勾股定理得：OM=■=3 ∵弦AB、CD互相垂直， ∴∠DPB=90°. ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP=∠ONP=90°. ∴四邊形MONP是正方形. ∴PM=PN=OM=ON=3. ∴由勾股定理得：OP=■=3■。故選C。 例2 把球放在長方體紙盒內，球 的一部分露出盒外，其截面如圖18-2（a） 所示，已知EF=CD=16厘米，則球的半徑 為 厘米. 解：如圖b，過球心O作IG⊥BC，分 別交BC、AD、劣弧于點G、H、I，連接OF. 設OH=x，HI=y，則依題意，根據垂徑定 理、勾股定理和矩形的性質， 得x2+82=（x+y）22x+y=16，解得x=6y=4。 ∴球的半徑為x+y=10（厘米）。 例3 如圖18-3，直線AB、CD相交于點O，∠AOD=30°，半徑為1cm的⊙P的圓心在射線OA上，且與點O的距離為6cm.如果⊙P以1cm/s的速度沿直線AB由A向B的方向移動，那么（ ）秒鐘后⊙P與直線CD相切. A.4 B.8 C.4或6 D.4或8 思路點撥：本題是一道 設計比較新穎的題目，要判 斷幾秒鐘后⊙P與直線CD 相切，則需要計算出當⊙P 與直線CD相切時，⊙P移動的距離，如圖18-3，在移動的過程中，⊙P與直線CD相切有兩種情況，當圓心運動到P1、P2的位置時與直線CD相切，只要求到PP1，PP2長度即可. 解：當圓心移動到P1、P2的位置時，設⊙P1與直線CD切于E點，則P1E=1，因為∠POD=30°，OP1=2，所以PP1=6-2=4，同樣可求PP2=8cm，所以經過4秒或8秒鐘后⊙P與直線CD相切.故選D. 例4 如圖18-4，在直角坐標系中，四邊形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分別與OA、OC、BC相切于點E、D、B，與AB交于點F.已知A（2，0），B（1，2），則tan∠FDE=____. 【解析】已知相切，想到切線的性質。連結BP、 EP，則有BP⊥BC，EP⊥OA，因為BC∥OA，BP⊥BC，所以BP⊥OA，因為BP⊥OA，EP⊥OA，所以B、E、P三點共線. （過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直） 所以∠FDE=∠FBE，所以tan∠FDE=tan∠FBE=■. 【答案】■. 【點評】本題考察了切線的性質，正切三角函數.構造直角三角形是解決問題的關鍵. 例5 如圖18-5，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA=5，OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C. （1）試判斷線段AB與AC的數量關系，并說明理由； （2）若PC=2■，求⊙O的半徑和線段PB的長； （3）若在⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍. 【解析】（1）由于AB是⊙O的切線，故連半徑，利用切線性質，圓半徑相等，對頂角相等，余角性質，推出AB，AC兩底角相等； （2）設圓半徑為r，利用勾股定理列方程求半徑，再利用三角形相似求PB. （3）先作出線段AC的垂直平分線MN，作OD垂直于MN，再利用勾股定理計算即可. 【答案】（1）AB=AC；連接OB，則OB⊥AB，所以∠CBA+∠OBP=90°，又OP=OB，所以∠OBP=∠OPB，又∠OPB= ∠CPA，又OA⊥l于點A，所以∠PCA+∠CPA=90°，故∠PCA=∠CBA，所以AB=AC. （2）設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r；∴AB2=OA2-OB2=52-r2，AC2=PC2-AP2=（2■）2-（5-r）2，從而建立等量關系， r=3，∵AB=AC，∴AB2= AC2，利用相似，求出PB=4. （3）作出線段AC的垂直平分線MN，作OD垂直于MN，則可推出OD=■AC=■AB=■■≤r；r≥■由題意，圓O要與直線MN有交點，所以；又因為圓O與直線l相離；所以r<5；綜上，■≤r<5. 【點評】本題主要考查了切線的性質、等角對等邊、三角形相似的判定及其性質的運用以及勾股定理的應用等知識，知識點豐富；考查了學生綜合運用知識以及轉化思想來解決問題的能力，考查了圓的相關知識，圓的切線是圓中的重點，也是考試常考的部分；求線段的長常用勾股定理或相似等知識解答. 練習18 1. 下列圖案中，不是中心對稱圖形的是（ ） 2. 點P在⊙O內，OP=2cm，若⊙O的半徑是3cm，則過點P的最短弦的長度為（ ） A.1cm B.2cm C.■cm D.2■cm 3. 已知A為⊙O上的點，⊙O的半徑為1，該平面上另有一點P，PA=■，那么點P與⊙O的位置關系是（ ） A.點P在⊙O內 B.點P在⊙O上 C.點P在⊙O外 D.無法確定 4. 如圖18-6，A，B，C，D為⊙O的四等分點，動點P從圓心O出發，沿O-C-D-O路線作勻速運動，設運動時間為t（s）.∠APB=y（°），則下列圖象中表示y與t之間函數關系最恰當的是（ ） 5. 在平面直角坐標系中，以點（2，3）為圓心，2為半徑的圓必定（ ） A.與x軸相離、與y軸相切 B.與x軸、y軸都相離 C.與x軸相切、與y軸相離 D.與x軸、y軸都相切 6. 如圖18-7，若⊙的直徑AB與弦AC的夾角為30°，切線CD與AB的延長線交于點D，且⊙O的半徑為2，則CD的長為（ ） A.2■ B.4■ C.2 D. 4 7. 如圖18-8，已知⊙O是以數軸的原點O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°，點P在數軸上運動，若過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點，設OP=x，則x的取值范圍是（ ） A.O≤x≤■ B.-■≤x≤■ C.-1≤x≤1 D.x>■ 二、解答題 如圖，⊙O是△ABC外接圓， AB=AC=10，BC=12，P是弧上一動 點，過點P作BC的平行線交AB 延長線與點D. （1）當點P在什么位置時，DP是⊙O的切線？說明理由. （2）當DP是⊙O的切線時，求DP的長. 19.投影與視圖 基本要求： （1）了解平行投影、中心投影的含義，能通過觀察、想象、畫圖等活動確定物體的平行投影、中心投影，體會平行投影、中心投影在生活中的應用. （2）了解視點、視線及盲區的含義，體會它們在實際生活中的應用. （3）會畫正方體及其簡單組合體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐的三視圖. 應用舉例： 例1用八個同樣大小的小立方體粘成一個大立方體如圖1，得到的幾何體的三視圖如圖2所示，若小明從八個小立方體中取走若干個，剩余小立方體保持原位置不動，并使得到的新幾何體的三視圖仍是圖2，則他取走的小立方體最多可以是 個. 解：由于從八個小立方體中取走若干個，剩余小立方體保持原位置不動，并使得到的新幾何體的三視圖都相同，由主視圖可知有2層2列，由左視圖可知有2層2行，由俯視圖可知最少有4個小立方體，所以下層4個小立方體不變，同時上層每一橫行和每一豎列上都有一個小立方體。因此，取走的小立方體最多可以是2個，即上層一條對角線上的2個. 例2 如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的側面積是（ ） A.18cm2 B. 20cm2 C. （18+2■）cm2 D. （18+4■）cm2 【解析】由三視圖可得，幾何體是三棱柱，幾何體的側面積是三個矩形的面積和，矩形的長位3cm，寬為2cm ，∴側面積為3×3×2=18. 【答案】選A. 【點評】此題主要考查了利用三視圖求三棱柱的表面積，得出三棱柱各部分的邊長是解決問題的關鍵. 練習19 一、填空題 1. 圓柱的左視圖是 ，俯視圖是 . 2. 小麗想估算一下廣場上紀念碑的高度，已知她的身高是1.5米，在陽光下，此時她的身影長是3米，同時她測得紀念碑的投影長是15米，請你幫助小麗估算紀念碑的高度為 . 3. 在平行投影中，光線 照射在水平面上所形成的投影叫正投影. 4. 小軍晚上到某廣場去玩，他發現有兩人的影子一個向東，一個向西，于是他肯定的說：“廣場上的大燈泡一定位于兩人 ”. 5. 在平行投影中，兩人的高度和他們的影子 . 6. 物體在光線的照射下，會在地面或墻面上留下它的影子，這種現象就是 . 二、選擇題 1.沿圓柱體上面直徑截去一部分的物體如圖19-1所示，它的俯視圖是（ ） 2. 下列命題正確的是 （ ） A 三視圖是中心投影 B 小華觀察牡丹花，牡丹花就是視點 C 球的三視圖均是半徑相等的圓 D 陽光從矩形窗子里照射到地面上得到的光區仍是矩形 3. 如圖19-2，把正方體的一個頂點朝上立放，在它下面放一張白紙，使紙面與太陽光線垂直，那么，該正方體在紙上的投影是（ ） 三、解答題 1. 如圖19-3所示： 大王站在墻前，小明站在 墻后，大王不能讓小明看 見，請你畫出小明的活動 區域. 2. 如圖19-4，數學興 趣小組的同學們想利用 樹影測量樹高.課外活動 時在陽光下他們測得一 根長為1米的竹竿的影 子是0.9米，但當他們馬上測量樹高時，發現樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的臺階上，且影子的末端剛好落在最后一級臺階的上端C處，小組同學認為繼續測量也可以求出樹高.他們測得落在地面的影長為1.1米，臺階總的高度為1.0米，水平總寬度1.6米.請你和他們一起算一下，樹高為多少？（假設兩次測量時太陽光線是平行的） 20.圖形的變換 基本要求： （1）平移變化中的不變因素（性質）： 平移前后圖形的形狀、大小沒有變對應線段平行且相等，對應角相等對應點所連接的線段平行且相等 （2）旋轉變換中的不變因素（性質）： 旋轉前后圖形的形狀、大小沒有變旋轉過程中，每個點都沿著相同的方向轉過了相同的角度 應用舉例： 例1 如圖20-1，一條拋物線與 x軸相交于A、B兩點，其頂點P在折 線C-D-E上移動，若點C、D、E的坐 標分別為（-1，4）、（3，4）、（3，1），點B 的橫坐標的最小值為1，則點A的橫 坐標的最大值為（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解∵拋物線的點P在折線C-D-E上移動，且點B的橫坐標的最小值為1， ∴觀察可知，當點B的橫坐標的最小時，點P與點C重合. ∵C（-1，4），∴設當點B的橫坐標的最小時拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4. ∵B（1，0），∴0=a（1+1）2+4，解得a=-1. ∴當點B的橫坐標的最小時拋物線的解析式為y=-（x+1）2+4. ∵觀察可知，當點A的橫坐標的最大時，點P與點E重合，E（3，1）， ∴當點A的橫坐標的最大時拋物線的解析式為y=-（x-3）2+1. 令y=0，即-（x-3）2+1=0，解得x=2或x=4. ∵點A在點B的左側，∴此時點A橫坐標為2.故選B. ∴點A的橫坐標的最大值為2. 例2如圖20-2，△ABC是邊 長為3的等邊三角形，將△ABC 沿直線BC向右平移，使B點與 C點重合，得到△DCE，連接BD， 交AC于F. （1）猜想AC與BD的位置關系，并證明你的結論； （2）求線段BD的長. 【分析】（1）由平移的性質可知△DCE≌△ABC.故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出結論. （2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的長. 解：（1）AC⊥BD.證明如下： ∵△DCE由△ABC平移而成，∴△DCE≌△ABC. 又∵△ABC是等邊三角形，∴BC=CD=CE=DE，∠E=∠ACB=60°. ∴∠DBC=∠BDC=30°.∴∠BDE=90°.∵BD⊥DE， ∵∠E=∠ACB=60°，∴AC∥DE.∴BD⊥AC. （2）在Rt△BED中，∵BE=6，DE=3，∴BD=■=■=3■. 例3 如圖20-3（a），在平面直角坐標系中，△ABC和△A1B1C1關于點E成中心對稱. （1）畫出對稱中心E，并寫 出點E、A、C的坐標； （2）P（a，b）是△ABC的邊 AC上一點，△ABC經平移后點 P的對應點為P2（a+6， b+2），請 畫出上述平移后的△A2B2C2，并 寫出點A2、C2的坐標； （3）判斷△A2B2C2和△A1B1C1 的位置關系（直接寫出結果）. 分析：根據中心對稱圖形的 對應點連線經過對稱中心，可以 確定點E位置；通過P點的平移 規律可知，△ABC向上平移了6 個單位，向右平移了2個單位. 解：（1）如圖b，E（-3，-1）， A（-3，2），C（-2，0）； （2）如圖b，A2（3，4），C2（4，2）； （3）△A2B2C2與△A1B1C1關于原點O成中心對稱. 說明： 本題將圖形與坐標、平移有機的結合起來，考查學生能按照要求作出簡單平面圖形旋轉、平移后的圖形，在一定程度上也考查學生切實理解運動變換及數形結合思想方法的程度. 例4 如圖20-4在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，2），直線OP經過原點，且位于一、三象限，∠AOP=45°（如圖1）.設點A關于直線OP的對稱點為B. （1）寫出點B的坐標 ； （2）過原點O的直線l從直線OP的位置開始，繞原點O順時針旋轉. ①當直線l順時針旋轉10°到直線l1的位置時（如圖1），點A關于直線l1的對稱點為C，則∠BOC的度數是 ， 線段OC的長為 ； ②當直線l順時針旋轉55°到直線l2的位置時（如圖2），點A關于直線l2的對稱點為D，則∠BOD的度數是 ； ③直線l順時針旋轉n°（0 【分析】（1）如圖1，∵∠AOP=45°，點A在y軸上，∴點A關于直線OP的對稱點B在x軸上. ∴ 根據軸對稱和線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等的性質可知B（2，0）. （2）①如圖1，根據軸對稱和線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等的性質可知OC=OA=2， ∴點A、B、C在以點O為圓心，OA=2為半徑的圓上. ∵∠BAC=10°（可由兩直角三角形得到）， ∴根據同弧所對圓周角是圓心角一半的性質，得∠BOC=2∠BAC=20°. ②∵∠DAO=∠BAP=55°-45°=10°，∴∠BOD=90°+2∠DAO =90°+20°=110°. ③由上知，直線l順時針旋轉n°（0 ∴路徑長為：■=■. 解：（1）（2，0）. （2）①20°，2；②110°；③■. 練習20 一、填空題 1. 如果兩個圖形關于某條直線成軸對稱，那么這兩個圖形是 ；對稱軸是對應點連線的 ；對應線段或其延長線的交點在 . 2. 兩個圖形成中心對稱需具備兩個要素：①這兩個圖形的 完全相同；②把一個圖形繞著某一 點 ，它能夠與另一個圖形 . 3. 如圖20-5所示的四個兩兩相連的等圓，是我國“一汽”生產的奧迪轎車的標志，右邊的 三個圓環可以看成是左邊的 圓環經過 得到的. 4. 如圖20-6，△ABC 向右平移 4.5cm之后得到了△DEF，其中 AE=3cm，BC=12cm，DF=10.5cm， 那么AC= cm，DE= cm， BE= cm，FC= cm， FC與DA的關系是 . 二、選擇題 把一個圖形先沿著一條直線進行軸對稱變換，再沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做滑動對稱變換.在自然界和日常生活中，大量地存在這種圖形變換（如圖20-7-1）.結合軸對稱變換和平移變換的有關性質，你認為在滑動對稱變換過程中，兩個對應三角形（如圖20-3-2）的對應點所具有的性質是（ ） A.對應點連線與對稱軸垂直 B.對應點連線被對稱軸平分 C.對應點連線被對稱軸垂直平分 D.對應點連線互相平行 三、解答題 1.圖20-8中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC的頂點和O點都在正方形的頂點上. （1）以點O為位似中心，在方格圖中將△ABC放大為原來的2倍，得到△A′B′C′； （2）△A′B′C′繞點B′順時針旋轉90°，畫出旋轉后得到的△A″B′C″，并求邊A′B′在旋轉過程中掃過的圖形面積. 2.如圖20-9，Rt△AB′C′是 由Rt△ABC繞點A順時針旋 轉得到的，連結CC′交斜邊于點 E，CC′的延長線交BB′于點F. （1）證明：△ACE∽△FBE； （2）設∠ABC=α，∠CAC′ =β，試探索α、β滿足什么關系時，△ACE與△FBE是全等三角形，并說明理由. 21.統計 基本要求： 認識扇形統計圖的含義與特點；會制作扇形統計圖，從中盡可能多的獲取信息.理解扇形統計圖、條形統計圖、折線統計圖的不同特點，并能根據具體問題選擇適當的統計圖； 理解平均數、中位數、眾數的概念，并能根據所收集或提供的信息熟練求出一組數據的平均數、眾數、中位數；理解方差、標準差的意義，會研究數據的波動大小.會用樣本估計總體. 應用舉例： 例1 在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的15名運動員的成績如下表所示： 這些運動員跳高成績的中位數和眾數分別是（ ） A.1.65，1.70 B.1.70，1.70 C.1.70，1.65 D.3，4 解析：由題意知共15個數據，數據按從小到大排列順序位于第8位的是1.70，所以中位數是1.70.因為1.65出現的次數最多為4次，所以眾數是1.65. 答案：C 點評：本題考查了中位數、眾數的概念。在確定中位數時要注意首先將數據按大小順序排序。 例2 在學校組織的“喜迎奧運，知榮明恥，文明出行”的知識競賽中，每班參加比賽的人數相同，成績分為四個等級，其中相應等級的得分依次記為100分，90分，80分，70分，學校將某年級的一班和二班的成績整理并繪制成如下的統計圖： 請你根據以上提供的信息解答下列問題： （1）此次競賽中二班成績在級以上（包括級）的人數為 ； （2）請你將表格補充完整： （3）請從下列不同角度對這次競賽成績的結果進行分析： ①從平均數和中位數的角度來比較一班和二班的成績； ②從平均數和眾數的角度來比較一班和二班的成績； ③從級以上（包括級）的人數的角度來比較一班和二班的成績. 分析：（1）可利用扇形統計圖求出C級以上的人數所占的百分比進而求出人數；（2）對于表格中需要的數據可從條形統計圖和扇形統計圖中獲取，進而再求出中位數和眾數；（3）因兩班平均數相同只能從中位數和眾數角度進行考慮. 解：（1）21； （2）一班眾數為90，二班中位數為80. （3）①從平均數的角度看兩班成績一樣，從中位數的角度看一班比二班的成績好，所以一班成績好； ②從平均數的角度看兩班成績一樣，從眾數的角度看二班比一班的成績好，所以二班成績好； ③從級以上（包括級）的人數的角度看，一班人數是18人，二班人數是12人，所以一班成績好. 練習21 一、填空題 1.揚州的旅游宣傳口號是“詩畫瘦西湖，人文古揚州。給你寧靜，還你活力”.為了了解廣大市民對這一旅游宣傳口號的知曉率，應采用的合適的調查方式為_______.（選填“普查”或“抽樣調查”） 2.某電視臺為滿足觀眾在北京奧運會期間收看不同比賽項目的要求，做了一個隨機調查，結果如下表： 如果你是電視臺負責人，在現場直播時，將優先考慮轉播 比賽. 3.已知在一個樣本中，50個數據分別落在5個小組內，第一、二、三、五組數據分別為2，8，15，5，則第四小組的頻數是 ，頻率為 . 三、解答題 某校組織學生書法比賽，對參賽作品按A、B、C、D四個等級進行了評定.現隨機抽取部分學生書法作品的評定結果進行分析，并繪制扇形統計圖和條形統計圖如下： 根據上述信息完成下列問題： （1）求這次抽取的樣本容量； （2）請在圖②中把條形統計圖補充完整； （3）已知該校這次活動共收到參賽作品750分，請你估計參賽作品達到B級以上（即A級和B級）有多少份？ 22.概率 基本要求： 會運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事件發生的概率.通過實驗，獲得事件發生的頻率；知道大量重復實驗時頻率可作為事件發生概率的估計值. 應用舉例： 例1 “拋一枚均勻硬幣，落地后正面朝上”這一事件是 （ ） A.必然事件 B.隨機事件 C.確定事件 D.不可能事件 解析：拋一枚均勻硬幣，落地后有可能正面朝上、也有可能反面朝上. 答案：B 點評：必然事件與不可能事件屬于確定事件，事先可以確定是否發生；而隨機事件事先無法預料能否發生. 例2 某校學生小明每天騎自行車上學時都要經過一個十字路口，該十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到紅燈的概率為■，遇到黃燈的概率為■，那么他遇到綠燈的概率為 A. ■ B. ■ C. ■ D.■ 【解析】遇到綠燈的概率為1-■-■=■. 【答案】選D. 【點評】此題考查概率的概念.所有情況的概率之和為1，用1減去其它情況的概率就是遇到綠燈的概率. 例3 有3個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，放在一個口袋中，隨機地摸出一個小球不放回，再隨機地摸出一個小球. （Ⅰ）采用樹形圖法（或列表法）列出兩次摸球出現的所有可能結果； （Ⅱ）求摸出的兩個球號碼之和等于5的概率. 解：（Ⅰ）法一：根據題意，可以畫出如下的樹形圖： 從樹形圖可以看出，摸出兩球出現的所有可能結果共有6種； 法二：根據題意，可以列出下表： 從上表中可以看出，摸出兩球出現的所有可能結果共有6種. （Ⅱ）設兩個球號碼之和等于5為事件. 摸出的兩個球號碼之和等于5的結果有2種，它們是：（2，3）、（3，2）. P（A）=■= ■. 例4 小穎和小紅兩位同學在學習“概率”時，做投擲骰子（質地均勻的正方體）實驗，他們共做了60次實驗，實驗的結果如下： （1）計算“3點朝上”的頻率和“5點朝上”的頻率. （2）小穎說：“根據實驗，一次實驗中出現5點朝上的概率最大”；小紅說：“如果投擲600次，那么出現6點朝上的次數正好是100次.”小穎和小紅的說法正確嗎？為什么？ （3）小穎和小紅各投擲一枚骰子，用列表或畫樹狀圖的方法求出兩枚骰子朝上的點數之和為3的倍數的概率. 分析：注意頻率=出現次數/總次數，對于頻率和概率的關系就是：只有實驗的次數足夠大時，頻率才穩定在概率.第（3）問可列表可以考查，橫向用小紅的投擲點數，縱向用小穎的投擲點數. 解：（1）“3點朝上”出現的頻率是■= ■，“5點朝上”出現的頻率是■= ■. （2）小穎的說法是錯誤的.這是因為，“5點朝上”的頻率最大并不能說明“5點朝上”這一事件發生的概率最大.只有當實驗的次數足夠大時，該事件發生的頻率穩定在事件發生的概率附近.小紅的判斷是錯誤的，因為事件發生具有隨機性，故“6點朝上”的次數不一定是100次. （3）列表如下： P（點數之和為3的倍數）=■= ■. 說明：在現實生活中，能夠直接計算概率的事件極為有限，多數情況下要進行實驗或觀察，其中應注意兩點：（1）實驗時實際上是在利用頻率來估計概率，實驗次數越多，頻率越接近概率；（2）必須是在相等條件下，用簡單易行的實驗來代替不易實際操作或不可能實際操作的實驗. 練習22 一、填空題 現在三個口袋里面放著一些已經攪勻了的小球，具體數目如下表所示： （1）閉上眼睛隨機地從第二個口袋中取出一個球，那么拿出 球是不可能的，拿出 球是可能的，拿出 球是必然的. （2）閉上眼睛隨機地從每個口袋中取出一個球，那么拿出 球是不可能的，拿出 球是可能的，拿出 球是必然的. （3）口袋1中，P（摸到紅球）= P（摸到黑球）= 口袋2中，P（摸到白球）= 口袋3中，P（摸到黑球）= . 二、選擇題 1. 布袋里裝有紅、白、黑三個不同顏色的小球，現從布袋里隨機取出一個球是紅色的概率是（ ） A.■ B.■ C.■ D.■ 2. 拋擲一枚質地均勻的正方體骰子，點數為“2”的一面朝上的概率為（ ） A.■ B.■ C.■ D.■ 三、解答題 在一個口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標號為1、2、3、4，隨機地摸取一個小球，然后放回，再隨機地摸出一個小球，求下列事件的概率： （1）兩次取得小球的標號相同； （2）兩次取得小球的標號的和等于4. 二、綜合題型應用舉例 一般說來，綜合題目涉及的內容較多，從條件到結論跨度較大，用到的方法靈活多變，綜合題型形式多樣，不拘一格，解決綜合性問題，需要具備較強的分析能力、大膽探索的意識，靈活運用數學知識的能力. 這里，僅舉幾例，供復習參考. 綜合專題一 閱讀、操作、試驗與合情推理 例1 深化理解： 對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為 即：當n為非負整數時，如果n-■≤x 如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5> =<4.12>=4，… 試解決下列問題： （1）填空：①<π>= （π為圓周率）； ②如果<2x-1>=3，則實數x的取值范圍為 ； （2）①當x≥0，m為非負整數時，求證 ②舉例說明 （3）求滿足 （4）設n為常數，且為正整數，函數y=x2-x+■的自變量x在n≤x≤n+1范圍內取值時，函數值y為整數的個數記為a；滿足<■>=n的所有整數k的個數記為b. 求證：a=b=2n. 【分析】（1）第一空：π≈3，所以填3；第二空：根據題中的定義得3-■≤2x-1<3+■，解這個不等式組，可求得x的取值范圍；（2）根據定義進行證明和舉反例；（3）用圖象法解，可設y= 解：（1）【答案】①3；②■≤x<■. （2）①證明： [法一]設 又（n+m）-■≤x+m<（n+m）+■，且m+n為非負整數， ∴ [法二]設x=k+b，k為x的整數部分，b為其小數部分 1）當0≤b<0.5時， m+x=（m+k）+b，m+k為m+x的整數部分，b為其小數部分 ∴ 2）當b≥0.5時， 則m+x=（m+k）+b，m+k為m+x的整數部分，b為其小數部分 ∴ 綜上所述： ②舉反例：<0.6>+<0.7>=1+1=2，而<0.6+0.7>=<1.3>=1， ∴<0.6>+<0.7>≠<0.6+0.7>， ∴ （3）[法一]作圖象，如圖（注：只要求畫出草圖，如果沒有把有關點畫成空心點，不扣分） y= ∴x=0，■，■ [法二]∵x≥0，■x為整數，設■x=k，k為整數， 則x=■， ∴<■k>=k， ∴k-■≤■k ∵0≤k≤2， ∴k=0，1，2 ∴x=0，■，■ （4）∵函數y=x2-x+■=（x-■）2，n為整數， 當n≤x ∴（n-■）2≤y<（n+1-■）2即（n-■）2≤y<（n+■）2， ① ∴n2-n+■≤y ∴y= n2-n+1，n2-n+2，n2-n+3，…，n2-n+2n，共2n個y. ∴a =2n， ② （8分） 則n-■≤■≤n+■，∴（n-■）2≤k<（n+■）2.③ 比較①，②，③得：a=b=2n. 這是一道創新題，要求學生讀懂定義，能用定義解決簡單的實際問題，然后能更進一步地結合已經學過的知識進行拓展，是一道不易的壓軸題，學生要在短時間內解決此問題，要求平時的學習要有一定的創新思維，特別是自學習能力的培養顯得尤為重要.就這題而言，對不等式組，及不等式組的整數解的應用要掌握得非常熟練，還有二次函數式的變形能力也要求較高. 例2 知識遷移 當a>0且x>0時，因為■-■2≥0，所以x- 2■+■≥0，從而x+■≥2■（當x=■時取等號）.記函數y= x+■（ a>0，x>0），由上述結論可知：當x=■時，該函數有最小值為2■. 直接應用 已知函數y1=x（x>0）與函數y2=■（x>0），則當x= 時，y1+y2取得最小值為 . 變形應用 已知函數y1=x+1（x>-1）與函數y2=（x+1）2+4（x>-1），求■的最小值，并指出取得該最小值時相應的x的值. 實際應用 已知某汽車的運輸成本包含以下三個部分：一是固定費用，共360元；二是燃油費，每千米1.6元；三是折舊費，它與路程的平方成正比，比例系數為0.001，設汽車一次運輸路程為x千米，求當x為多少時，該汽車平均每千米的運輸成本最低？最低是多少元？ 【解析】本題考查了函數等知識.掌握和理解閱讀材料是解題的關鍵.（1）通過閱讀發現x+■≥2■（當x=■時取等號）.然后運用結論解決問題； （2）構造x+■≥2■，運用結論解決. （3）解決實際問題 【答案】直接應用1，2 變形應用 ■=■=（x+1）+■≥4，所以■的 最小值是4，當（x+1）+■=4時，得，x2-2x+1=0，即x=1. 實際應用 設該汽車平均每千米的運輸成本為y， 則y=■=0.001x+1.6+■=0.001（x+■）+1.6， ∴當x=■=600（千米）時，該汽車平均每千米的運輸成本最低，最低運輸成本為0.001×2■+1.6=2.8（元）. 【點評】數學的建模思想是一種重要的思想，能體現學生綜合應用能力，具有一定的挑戰性，特別是運用函數來確定最大（小）值時，要運用配方法得到函數的最小值. 綜合專題二 數與代數相關知識的綜合題 例3 已知拋物線的函數關系式： y=x2+2（a-1）x+a2-2a （其中x是自變量，a為任意實數）， ⑴分別設a=-1，a=1， a=3時，對應的拋物線的頂點為M1，M2，M3，請你探究這三點是否在同一條直線上？ ⑵對于任意的a值，拋物線y=x2+2（a-1）x+a2-2a的頂點都在同一條直線上嗎？請你說明理由. 【觀察與思考】本問題是研究具有特殊結構的一類拋物線，檢驗它們的頂點是否都在y=-1這條直線上，解決方法是只需寫出頂點的坐標，看它們的縱坐標是否總等于-1即可. 解：（1）當分別取a=-1，a=1，a=3時，對應的拋物線的頂點為M1（2，-1），M2（0，-1），M3（-2，-1），這三個點的縱坐標均為 -1，所以這三點在同一條直線上y=-1上. （2）拋物線y=x2+2（a-1）x+a2-2a的頂點為（1-a，-1），a取任意值時，拋物線的頂點的縱坐標均為-1，所以對于任意的a值，拋物線y=x2+2（a-1）x+a2-2a的頂點都在同一條直線y=-1上. 【說明】由本題可以看出，特殊化方向的研究可以使我們對原事物有更多方面和更深層次的認識. 例4 已知拋物線C1的函數解析式為y=ax2+bx-3a（b<0），若拋物線C1經過點（0，-3），方程y=ax2+bx-3a=0的兩根為x1，x2，且|x1-x2|=4. ⑴求拋物線C1的頂點坐標. ⑵已知實數x>0，請證明x+■≥2，并說明x為何值時才會有x+■=2. ⑶若將拋物線C1先向上平移4個單位，再向左平移1個單位后得到拋物線C2，設A（m，y1），B（n，y2）是C2上的兩個不同點，且滿足：∠AOB=90°，m>0，n<0.請你用含m的表達式表示出△AOB的面積S，并求出S最小值及S取最小值時直線OA的函數解析式. （參考公式：在平面直角坐標系中，若P（x1，y1），Q（x2，y2），則P、Q兩點間的距離為■） 【解析】問題（1）中先將點（0，-3）的坐標代入拋物線C1的方程中，得到a的值；再利用根系關系得到b的值；最后將拋物線C1的方程利用配方法求出其頂點坐標. 問題（2）中主要是利用代數式變形、非負數性質證明不等式. 問題（3）中，首先利用平移的已知條件，寫出拋物線C2的方程；在Rt△AOB中，依勾股定理，列出含m、 n的等式并作整理化簡；然后表示出△AOB的面積S，并對面積S最值情況作探究，接著不難求得直線OA的函數解析式. 【答案】（1）∵拋物線過（0，-3）點，∴-3a=-3 ∴a=1 ∴y=x2+bx-3 ∵x2+bx-3=0的兩根為x1，x2且x1-x2=4 ∴x1-x2=■=4且b<0 ∴b=-2 ∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4 ∴拋物線C1的頂點坐標為（1，-4）. （2）∵x>0，∴x+■-2=■-■2≥0 ∴x+■≥2，顯然當x=1時，才有x+■=2. （3）由平移知識易得C2的解析式為：y=x2 ∴A（m，m2），B（n，n2） ∵ΔAOB為RtΔ ∴OA2+OB2=AB2 ∴m2+m4+n2+n4=（m-n）2+（m2-n2）2 化簡得：mn=-1 ∵S△AOB=■OA·OB=■■·■ ∵mn=-1 ∴S△AOB=■■=■■ =■■=■（m+■）≥■·2=1 ∴S△AOB的最小值為1，此時m=1，A（1，1） ∴直線OA的一次函數解析式為y=x. 【點評】問題（1）為常見類型，難度不大.問題（2）中主要是利用代數式變形、非負數性質證明不等式，前面未作任何鋪墊，難度較大.問題（3）綜合了平移、勾股定理、代數式變形等，關鍵要讀懂題意，特別是要巧妙的“現學現用”問題（2）的結論，以及拓展應用兩點間的距離公式，這些更是增加了難度. 例5 如圖，在直角坐標平面內，函數y=■（x>0，m是常數）的圖象經過A（1，4），B（a，b）， 其中a>1.過點A作x軸垂線，垂 足為C，過點B作y軸垂線，垂 足為D，連結AD，DC，CB. ⑴ 若△ABD的面積為4，求 點B的坐標； ⑵ 求證：DC∥AB； ⑶ 當AD=BC時，求直線AB的函數解析式. 【觀察與思考】由點A（1，4）在雙曲線上，故可求得雙曲線的解析式. 對于⑴，B點的坐標（a，■），用△ABD的面積去構造關于a的方程求解. 對于⑵，設AC、BD相交于點E，可通過■=■去證來推得DC∥AB； 對于⑶，實際上由AD=BC去構造關于B點坐標的方程，求得了B點得坐標.AB的解析式易得. 解：⑴ ∵函數y=■（x>0，m是常數）圖象經過A（1，4）， ∴m=4. 設BD，AC交于點E，據題意，可得B點的坐標為（a，■），D點的坐標為（0，■），E點的坐標為（1，■）， ∵a>1， ∴DB=a，AE=4-■. 由△ABD的面積為4，即■a（4-■）=4，得a=3， ∴點B的坐標為（3，■）. ⑵ 證明：據題意，點C的坐標為（1，0），DE=1， ∵a>1，易得EC=■，BE=a-1，DE=1 ∴■=■=a-1，■=■=a-1. ∴■=■. ∴DC∥AB. ⑶ 解：DC∥AB，∴當AD=BC時，有兩種情況： ① 當AD∥BC時，四邊形ADCB是平行四邊形， 由⑵得■=■=a-1，a-1=1，得a=2. ∴點B的坐標是（2，2）. 設直線AB的函數解析式為y=kx+b，把點A，B的坐標代入， 得4=k+b2=2k+b 解得k=-2b=6 ∴直線AB的函數解析式是y=-2x+6. ②當AD與BC所在直線不平行時，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC，a=4， ∴點B的坐標是（4，1）. 設直線AB的函數解析式為y=kx+b，把點A，B的坐標代入， 得4=k+b1=4k+b 解得k=-1b=5解得 ∴直線AB的函數解析式是y=-x+5. 綜上所述，所求直線AB的函數解析式是y=-2x+6或y=-x+5. 說明：在本題的解法中，充分體現了恰當運用雙曲線的性質，點B在該雙曲線上的表示方法，以及相關幾何圖形的性質和有關數量. 綜合專題三 與圖形相關的綜合 例6 如圖①，有一張矩形紙片，將它沿對角線AC剪開，得到△ACD和△A′BC′. （1）如圖②，將△ACD沿A′C′邊向上平移，使點A與點C′重合，連接A′D和BC，四邊形A′BCD是 形； （2）如圖③，將△ACD的頂點A與A′點重合，然后繞點A沿逆時針方向旋轉，使點D、A、B在同一直線上，則旋轉角為 度；連接CC′，四邊形CDBC′是 形； （3）如圖④，將AC邊與A′C′邊重合，并使頂點B和D在AC邊的同一側，設AB、CD相交于E，連接BD，四邊形ADBC是什么特殊四邊形？請說明你的理由. 解析：（1）利用平行四邊形的判定，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出即可；（2）利用旋轉變換的性質以及直角梯形判定得出即可；（3）利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD=CE，即可得出答案. 解：（1）平行四邊形； 證明：∵AD=AB，AA′=AC，∴A′C與BD互相平分， ∴四邊形A′BCD是平行四邊形； （2）∵DA由垂直于AB，逆時針旋轉到點D、A、B在同一直線上， ∴旋轉角為90度； 證明：∵∠D=∠B=90°，A，D，B在一條直線上， ∴CD∥BC′，∴四邊形CDBC′是直角梯形； 故答案為：90，直角梯形； （3）四邊形ADBC是等腰梯形； 證明：過點B作BM⊥AC，過點D作DN⊥AC，垂足分別為M，N， ∵有一張矩形紙片，將它沿對角線AC剪開，得到△ACD和△A′BC′.∴△ACD≌△A′BC′，∴BM=ND，∴BD∥AC， ∵AD=BC，∴四邊形ADBC是等腰梯形. 點評：此題主要考查了圖形的剪拼與平行四邊形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知識，熟練掌握判定定理是解題關鍵. 例7 如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分別是邊AB與AC中點，點P從點D出發沿DE方向運動，過點P作PQ⊥BC于Q，過點Q作QR∥BA交AC于R，當點Q與點C重合時，點P停止運動.設BQ=x，QR=y. （1）求點D到BC的距離 DH的長； （2）求y關于x的函數關 系式（不要求寫出自變量的取 值范圍）； （3）是否存在點P，使△PQR為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由. 解：（1）∵∠A=Rt∠，AB=6，AC=8， ∴BC=10. ∵點D為AB中點， ∴BD=■AB=3. ∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B. ∴△BHD∽△BAC， ∴■=■， ∴DH=■·AC=■×8=■. （2）∵QR∥AB， ∴∠QRC=∠A=90°. ∵∠C=∠C， ∴△RQC∽△ABC， ∴■=■，∴■=■， 即y關于x的函數關系式為：y=-■x+6. （3）存在，分三種情況： ①當PQ=PR時，過點P作 PM⊥QR于M，則QM=RM. ∵∠1+∠2=90°， ∠C+∠2=90°， ∴∠1=∠C. ∴cos∠1=cos∠C=■=■， ∴■=■， ∴■=■， ∴x=■. ②當PQ=RQ時， -■x+6=■，∴x=6. ③當PR=QR時，則R為PQ中垂線上的點，于是點R為EC的中點， ∴CR=■CE=■AC=2. ∵tanC=■=■，∴■=■， ∴x=■. 綜上所述，當x為■或6或■時，△PRQ為等腰三角形. 說明： 圖形中引入動點以后，隨著點的移動，便會引起其他相關量的變化，這樣就會出現變量之間的函數關系；而動點在運動過程中，也會引起相關圖形的變化，這樣就可能產生特定形狀、特定位置或特定關系的圖形，這些問題就需要借助方程來解決.但不管是動點問題引出的函數，還是由動點引出的方程，都需借助幾何計算來建立.因此，幾何計算才是圖形動點問題得以解決的真正核心基礎。還應注意分類討論思想的運用.復習中應注重一題多變的變式訓練. 綜合專題四 開放與探索問題 例8 如圖，在直角坐標系xOy 中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角 頂點A，C始終在x軸的正半軸上， B，D在第一象限內，點B在直線 OD上方，OC=CD，OD=2，M為OD 的中點，AB與OD相交于E，當 點B位置變化時，Rt△OAB的面積恒為■. 試解決下列問題： （1）填空：點D坐標為 ； （2）設點B橫坐標為t，請把BD長表示成關于t的函數關系式，并化簡； （3）等式BO=BD能否成立？為什么？ （4）設CM與AB相交于F，當△BDE為直角三角形時，判斷四邊形BDCF的形狀，并證明你的結論. 【分析】（1）由OC=CD知△OCD是等腰直角三角形，OD=2，根據勾股定理求得OC=CD=■，所以點D的坐標為（■，■）； （2）由Rt△OAB的面積為■，得B（t，■ ），再在直角梯形ACDB中，可以根據勾股定理BD2=AC2+（AB-CD）2得到關系式 BD2=（t-■）2+（■-■）2=t2+■-2■（t+■）+4 化簡即可； （3）可先假設成立，常見有以下兩種方法：方法一，可由（2）中求出了BD的長（用含t的式子表示的），我們再用t表示出OB，得到關于t的方程，若該方程有解，則存在，反之則不成立；方法二，若OB=BD，則B在CD的垂直平分線MC上，又三角形OAB的面積不變，所以B在雙曲線y=■上，所以只要求出CM的函數關系式，與y=■聯立，便可得到一個方程，若方程有解，則OB=BD，反之不等. （4）在△BDE中，顯然∠BED=45°，所以只能是另外兩個角為90°，分∠BDE或∠DBE為90°兩種情況進行討論即可. 【答案】（1）（■，■）； （2）由Rt△OAB的面積為■，得B（t，■）. ∵BD2=AC2+（AB-CD）2 BD2=（t-■）2+（■-■）2=t2+■-2■（t+■）+4 ① =（t+■）2-2■（t+■）+2=（t+■-■）2 ∴BD=t+■-■=t+■-■ ② （3）[法一]若OB=BD，則OB2=BD2. 在Rt△OAB中，OB2=OA2+AB2=t2+■ 由①得t2+■=t2+■-2■（t+■）+4 得t+■=■ ∴t2-■t+1=0 ∵△=（■）2-4=-2<0 ∴此方程無解. ∴OB≠BD [法二]若OB=BD，則B點在OD的中垂線CM上. ∵C（■，0），在等腰Rt△OCM中，可求得M（■，■）. ∴直線CM的函數關系式為y=-x+■， ③ 由Rt△OAB的面積為■，得B點坐標滿足函數關系式y=■ ④. 聯立③，④得：x2-■x+1=0. ∵△=（■）2-4=-2<0， ∴此方程無解. ∴OB≠BD. [法三]若OB=BD，則B點在OD 的中垂線CM上，如圖1 過點B作BG⊥y軸于G，CM交y軸于H. ∵S△OBG= S△OAB=■，而S△OMH= S△MOC=■S△DOC=■×■×■×■=■，顯然與S△HMO> S△OGB矛盾， ∴OB≠BD. （4）如果△BDE為Rt△， ∵∠BED=45° ①當∠EBD=90°時，此時F，E， M三點重合，如圖2 ∵BF⊥x軸，DC⊥x軸， ∴BF∥DC. ∴此時四邊形BDCF為直角梯形. ②當∠EDB=90°時，如圖3 ∵CF⊥OD， ∴BD∥CF， 又AB⊥x軸，DC⊥x軸， ∴BF∥DC. ∴此時四邊形BDCF為平行四邊形. 下證平行四邊形BDCF為菱形： [法一]在Rt△BDO中，OB2=OD2+BD2， t2+■=4+t2+■-2■（t+■）+4， ∴t+■=2■. 由②得：BD=t+■-■=2■-■=■， 此時BD=CD=■. ∴此時四邊形BDCF為菱形 [法二]在等腰Rt△OAE與等腰Rt△EBD中，OA=AE=t，OE=■t，則ED=BD=2-■t， ∴AB=AE+BE=t+■（2-■t）， ∴2■-t=■，以下解法同[法一] 此時BD=CD=■. ∴此時四邊形BDCF為菱形. 【涉及知識點】平面直角坐標系、等腰（直角）三角形、直角梯形、三角形的面積、反比例函數、一元二次方程解的情況、四邊形形狀的判定. 【點評】這道題巧妙地把初中階段的幾何圖形，函數融合在一起，從簡單到復雜，層層遞進，數學思想的滲透合理，如函數思想、方程思想，數形結合思想等無處不在，分類討論思想也合理地出現在最后一題.特別是很多問題都有多種解法，切入點不同，解法就不同.這是一道難得的好題！ 例9 已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3. 問題1：如圖1，P為AB邊上一點，以PD、PC為邊做平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？ 如圖2，P為AB邊上任意一點，以PD、PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？若存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由. 問題3：P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE=PD，以PE、PC為邊作平行四邊形PCQE，請探究對角線PQ的長是否也存在最小值？若存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由. 問題4：如圖3，P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AE=nPA，（n為常數）以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請探究對角線PQ的長是否也存在最小值？若存在，請直接寫出最小值；如果不存在，請說明理由. 【解析】（1）只要看∠DPC能否為90°，在Rt△DPC中，由勾股定理列出方程，根據方程是否有解確定對角線PQ與DC能不能相等。（2）、（3）（4）可找PQ最小時點P的位置，利用全等三角形、相似三角形列方程求線段PQ的長. 解： 問題1：因為四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形. 所以∠DPC=90°， 因為AD=1，AB=2，BC=3，所以DC=2. 設PB=x，則AP=2-x， 在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+ （2-x）2+1=8， 化簡得x2-2x+3=0，因為△=（-2）2-4×1×3=-8<0，方程無解，所以對角線PQ與DC不可能相等. 問題2：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，所以點G是DC的中點， 作QH⊥BC，交BC的延長線于H. 因為AD∥BC，所以∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+QCH. 因為PD∥CQ，所以∠PDC=∠DCQ，所以∠ADP=∠QCH，又PD=CQ， 所以Rt△ADP≌Rt△HCQ， 所以AD=HC. 因為AD=1，BC=3， 所以BH=4， 所以當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4. 問題3：如圖3，設PQ與DC相較于點G. 因為PE∥CQ，PD=DE， 所以■=■=■， 所以G是DC上一定點. 作QH⊥BC，交BC的延長線于H，同理可證∠ADP=∠QCH， 所以Rt△ADP∽Rt△HCQ即■=■=■， 所以CH=2.所以BH=BC+CH=3+2=5， 所以當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為5. 問題4：存在最小值，最小值為■（n+4）。 【點評】本題是一個動態幾何題，此題是一道綜合性較強的題目，主要考查學生的圖感，利用點P的運動過程，確定PQ最小時，P所在線段的位置，考察到的知識點比較多，需要同學們利用全等三角形和相似三角形的性質確定PQ的最小值是否存在.本題的亮點是由三角形全等到三角形相似而引出一般情況.
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