淺談圓錐曲線概念的教學

周紅芳

摘 要：本文以圓錐曲線的概念教學為例，從提供豐富的感性材料，幫助學生形成概念；引導學生揭示事物的本質，幫助學生掌握概念的內涵；充分調動學生已有知識，幫助學生同化概念；強調概念間的聯系和區別，幫助學生把握概念的外延；充分利用例題和習題，幫助學生鞏固和深化概念五個方面探討了有效概念教學的注意事項，以期提高教學質量。

關鍵詞：圓錐曲線；概念教學；教學感悟

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）05-079-2

數學概念是數學知識的重要組成部分，是學習數學基礎理論、理解數學基本原理、掌握數學規律、培養學生能力的先決條件，也是發展學生智力的重要因素。數學概念的教學向來為中學數學教師所重視，數學概念的教學方法很多，其宗旨都是讓學生理解、掌握和運用概念，下面我就中學數學圓錐曲線的概念教學談些個人的認知。

一、提供豐富的感性材料，幫助學生形成概念

概念的形成是要有豐富的感性材料的，而學生學習數學概念的一個心理障礙就是覺得抽象。鑒于學生缺乏豐富的感性材料，教師的責任就是要為學生提供豐富的感性材料并引導學生去分析思考。感性材料可以是直接進行實驗，也可以是引用課本知識，還可以借助圖表模型、多媒體等現代化教學手段等，不一定要補充大量的內容，只需要對教材做恰當的處理就行。學生的知識結構，歸根到底是由學生通過自己的思維逐步建立起來的，但教師完全可以發揮教學中的主導作用，引導學生進行思維聯系，幫助學生形成有序的知識結構，提高知識結構的層次，培養學生比較、分析、綜合等能力。

例如，學習圓錐曲線的定義時，教師可以借助圓錐面這一模型，讓學生去自主探究，通過不同的截法得到三種不同的圓錐曲線。導入：若用一個平面去截一個圓錐面，當平面經過圓錐面的頂點時，可得到兩條相交直線；當平面與圓錐面的軸垂直時，截線（平面與圓錐面的交線）是一個圓。當改變截面與圓錐面的軸的相對位置時，觀察截線的變化情況，并思考：（1）用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？（2）若設圓錐面的母線與軸所成的角為θ，截面與軸所成的角為α.通過觀察去發現，當θ<α<π2，0≤α<θ，α=θ時，我們可以得到哪三種不同形狀的曲線？（3）這些曲線具有哪些幾何特征？在以上探究過程中，注重了知識的發生與形成過程，既能使學生經歷概念的形成過程，更能使其從整體上認識三種圓錐曲線的內在關系。這一過程是建立在學生的最近發展區上的形式化的過程，有利于培養學生的數學能力和數學素養。

美國著名教育家布盧姆在他的名著《教育目標分類學》中寫道：“把具體的知識與一般的抽象知識聯系起來學，在這種聯系中可以最有效地記憶或保持具體的知識。按照這種方式進行學習、記憶的人，就能比較容易地掌握概念所屬的那些具體知識，另一方面，概括的或抽象的知識是比較難學習的，除非把它們與恰當的具體現象聯系起來，反過來說，如果把概念與它所包括的各種現象割裂開來，那么這種概念就既難學又難記。”布盧姆在這里不僅提出了學習概念的最佳方法，也指出了保持記憶的最佳方法。把抽象的概念以鮮明的實驗事實展現給學生，既符合數學學科的特點，也有利于學生更深刻地理解概念。

二、引導學生揭示事物的本質，幫助學生掌握概念的內涵

所謂概念的內涵，就是概念所反映的客觀事物的本質。學生在數學學習中初步形成概念時，往往是朦朦朧朧的。有些概念教材上雖然給出了定義，但學生對定義的理解往往是片面的，即使把定義背得滾瓜爛熟，也并不能說明學生已經掌握了概念，要使學生真正掌握概念，就必須揭示概念所反映的客觀事物的本質。

例如，如在學習橢圓的定義時，學生可以用一段繩子畫橢圓，教師可以利用多媒體呈現滿足橢圓定義的動點的運動軌跡，并鼓勵學生在已有知識的基礎上去探求橢圓的定義。學生對未知領域的探索有天然的好奇心，思維的積極性被激發，紛紛根據前面的知識做出如下猜測：到兩定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓。然后教師在多媒體演示中從兩個方面加以強調。首先將運動的點移動到橢圓平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內”。這里的常數有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數<|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數大于|F1F2|”。這樣就由學生在觀察和猜想中完整的得到了橢圓的定義：平面內到兩定點F1，F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。整個過程中，學生的思維結果一一被肯定，獲得一種小小的成就感，從而更激起了主動探索的欲望。

眾所周知，教科書上對概念的敘述都是很精辟的，為了克服學生對基本概念死記硬背、不能靈活運用的弱點，教師在講概念時，著重分析概念中的關鍵字、詞，充分揭示概念的本質特征，使學生確切理解所學的概念。經常這樣訓練學生，能提高學生對概念的準確理解，養成善于推敲、分析的習慣。

三、充分調動學生已有知識，幫助學生同化概念

當新概念形成的時候，人的大腦中要進行把新概念同已有知識相比較、相聯系的過程，為新概念在大腦里已有的知識結構中尋找到合適位置時，新概念就被聯結拼合上去，成為大腦知識結構的一部分，被消化吸收，這就是同化。中學生大腦里的知識結構比較簡單，同化新概念的能力不強，這就要求教師努力調動學生已有的知識，調整學生頭腦里的認知結構，幫助學生加強新概念與舊知識之間的聯系，同化新概念。教學中經常采用比喻、類比等方法，就是調動學生已有知識的有效方法。

例如，在學習雙曲線定義時，讓學生聯系和類比橢圓的定義，會起到比較好的引導和啟發的作用。平面內與兩定點F1，F2的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。那么平面內與兩定點F1，F2的距離的差的絕對值是常數（小于|F1F2|）的點的軌跡是什么？讓學生把事先準備好的一條拉鏈，打開一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點F1，F2上，把筆尖放在點M處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經過的點就畫出一條曲線，這條曲線就是雙曲線的一支。定義：平面內與兩定點F1，F2的距離的差的絕對值是常數（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點F1，F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距。師生共同探討以下問題：1.若常數要等于|F1F2|，則圖形是什么？2.若常數要大于|F1F2|，能畫出圖形嗎？3.定點F1，F2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？4.|MF1|與|MF2|哪個大？（當M在雙曲線右支上時，|MF1|>|MF2|；當點M在雙曲線左支上時，|MF1|<|MF2|）5.點M與定點F1，F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？通過探究，培養學生研究問題和解決問題的能力。

通過橢圓與雙曲線的聯系和類比，能調動學生已有的知識，使學生用熟悉的知識去聯系、類比不熟悉的知識，從已有知識中獲得對新知識的啟示，達到同化新知識的目的，同時也培養了學生的思維能力。事實上，新舊知識的聯結點總是有的，關鍵在于教師能否找到它，并利用它。充分調動學生的已有知識是教師的職責，也是一門藝術。

四、強調概念間的聯系和區別，幫助學生把握概念的外延

所謂概念的外延，就是指概念的適用對象、條件、范圍等。數學基本概念往往是成對的或成群的。它們之間有著千絲萬縷的聯系，弄清概念之間的聯系和區別，既有助于掌握概念的內涵，更有助于把握概念的外延，澄清對概念的模糊認識，還有助于使概念聯成體系，擴展學生頭腦中的知識結構。

例如，學習圓錐曲線的第二定義時，先讓學生把一根直尺固定在圖板上直線l位置，把一塊三角板的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣，再把一條細繩的一端固定在三角板的另一條直角邊的頂點A，取繩長等于點A到直角邊頂點C的長（即點A到直線l的距離），并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點F，用鉛筆尖扣著繩子，使點A到筆尖的一段繩子緊靠著三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動，筆尖就在圖板上描出了一條曲線。

給出定義：平面內到一個定點F的距離和到一條定直線l（F不在l上）的距離的比等于1的動點P的軌跡是拋物線。當這個比值是一個不等于1的常數時，動點P的軌跡又是什么曲線呢？通過師生共同探討，得到圓錐曲線可以統一定義為：平面內到一個定點F和到一條定直線l（F不在l上）的距離的比等于常數e的點的軌跡。當01時，它表示雙曲線；當e=1時，它表示拋物線。其中e是圓錐曲線的離心率，定點F是圓錐曲線的焦點，定直線l是圓錐曲線的準線。

第二定義中要注意定點和定直線是相應的焦點和準線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率e。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應準線距離間的關系。至此，通過層次教學，揭示了圓錐曲線統一定義的本質，達到全面而深刻地理解概念的目的。概念是中學數學教學的難點之一，如果忽視概念的產生過程，過早地進行功利性運用，那么概念就會成為機械的表述，而學生薄弱的抽象思維能力又加劇了這一現象。所以教師在講解概念時，應該循序漸進、由淺入深、由表及里，使學生對概念的理解既全面又深刻。

現代教育理論認為，大腦中的知識結構在很大程度上決定人的認識結構，決定著人的認識能力。知識的結構層次愈高，人的認識能力愈強。學生的知識結構，歸根到底是由學生通過自己的思維逐步建立起來的，但教師完全可以發揮教學中的主導作用，引導學生進行思維聯系，幫助學生形成有序的知識結構，提高知識結構的層次，培養學生比較、分析、綜合等能力。

五、充分利用例題和習題，幫助學生鞏固和深化概念

對中學生來說，許多概念的建立是不可能一下子完成的，學生對它的理解和掌握也需要有一個過程。因此，已經形成的概念還需要不斷地鞏固和深化，而充分利用練習和習題，是鞏固和深化的好方法，這種方法既靈活，又不多占用課堂教學時間，還能提高學生的思維能力。練習和習題是數學學習過程中必然要有的，這里所講的充分利用練習和習題，主要是要注意增強學生運用練習和習題鞏固概念的自覺性。在每學習一個新概念之后，固然需要有一定量的練習和習題，但更要注意在以后學習的不同階段，安排適當的練習和習題，運用以后所學到的知識對以前所學的概念進行鞏固和深化。

例題.如果橢圓x225+y216=1上一點P到左焦點的距離等于7，那么P點到右準線的距離是

簡析：由橢圓的第一定義可知P點到右焦點的距離等于3，設P點到右準線的距離是d，再由橢圓的第二定義可知3d=e，所以d=5。此題充分利用雙曲線第一定義和第二定義將問題迎刃而解。

總之，一個概念往往要從多個方面去認識它，要提高數學概念的教學質量，必須在教學過程中，根據學生學習數學概念的特點，不斷改進教學方法，總結和探討數學概念的教學規律，使數學概念的教學質量得到進一步提高。練習或習題能提供從多方面去認識概念的機會，能引起對概念的深入思考，通過分析可使學生對概念的認識達到較高的層次。