例談導數的綜合運用

周方旦

[摘 要]導數是高中數學一個重要知識點。導數有許多方面的應用，有不等式方面的，有函數的單調性方面的，有解決有關參數方面的，甚至有一些特殊的應用。教師要充分挖掘導數的運用功能，提高數學教學效果。

[關鍵詞]導數；運用；例談

一、判斷函數的單調性

分析：利用導數判斷函數的單詞性，主要是根據單調性與導函數關系在區間（a、b）內，如果f（x）>0，那么f（x）在這個區間內單調遞增：如果f（x）<0那么f（x）在這個區間內單調遞減。

二、求函數的單調區間

【例2】已知函數f（x）=x3+bx2+cx+d，它的圖像過點P（0，2）且在點M（-1f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0

（1）求函數f（x）的解析式

（2）求函數f（x）的單調區間

分析：為了提高解題的準確性，在利用求導的方法確定函數的單調區間時，必須先求出函數的定義域，然后再求導判斷符號，本題先利用已知條件求出b、c、d的值。

解：（1）由函數的圖像經過點P（0，2）可知d=2

f（x）=x3+bx2+cx+2f′（x）=3x+2bx+c

因為f（x）在點M（-1f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0

所以3-2b+c=6即2b-c+3=0

而點M既在已知函數圖像上又在切線上

故有f（-1）=-1+b-c+2=-6+7即b-c=0

2b-c+3=0

由2b-c+3=0b-c=0 得b=c=-3

故f（x）=x3-3x2-3x+2

評注：充分挖掘出點M的三種作用，即在已知圖象上，在切線上及曲線在該點的導數，單調區間不可寫成并集的形式。

三、運用導數解不等式問題

【例3】設函數f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值

（1）求a、b的值

（2）若對任意的x∈[0，3]都有f（x）

分析：對于（2），首先根據導數求出函數f（x）的最大值，根據不等式恒成立構造新的不等式，進而求解。

解：（1）f′（x）=6x2+6ax+3b

因為函數f（x）在x=1及x=2時取極值，有f′（1）=0，f′（2）=0

即6+6a+3b=024+12a+3b=0 解得a=-3，b=4

（2）由（1）可知，f（x）=2x3-9x2+12x+8c

所以當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=5+8c，又f（3）=9+8c

則當x∈[0，3]時，f（x）最大值為f（3）=9+8c

因為對于任意x∈[0，3]都有f（x）

所得c<-1或c>9因此c的取值范圍為（-∞，-1）∪（9，+∞）

評注：本題主要考查用導數研究不等式的知識，考綜合分析問題的能力，此類問題為高考熱點。

責任編輯 一 覺