善用模型思想，巧解數(shù)學問題

尹志偉

【摘 要】模型思想是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中新增加的一個核心概念。在義務教育階段的數(shù)學中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學符號建立起來的代數(shù)式、關系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等都是數(shù)學模型。通過數(shù)學建模教學，既可以培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識、鞏固學生的數(shù)學方法，又可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識以及分析和解決實際問題的能力。

【關鍵詞】模型思想 數(shù)學應用意識 培養(yǎng)初探

作為數(shù)學的基本思想之一，模型思想是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中新增加的一個核心概念。

一、如何理解模型思想

《標準（2011年版）》對模型思想的說明是：“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。”從數(shù)學教育的角度來看，建立模型思想本質上是幫助學生體會數(shù)學與外部世界的聯(lián)系，而培養(yǎng)學生模型思想的基本活動就是建立模型。從廣義的角度看，一切數(shù)學的概念、原理和數(shù)學的理論體系，都視為數(shù)學模型；就其狹義而言，是指能描述或反映特定問題或具體事物關系的數(shù)學結構。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果，并討論結果的意義。這說明模型思想的應用包括三大步驟：從現(xiàn)實到數(shù)學模型——從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，尋找相關的數(shù)學關系，建立數(shù)學模型；處理數(shù)學模型——求解模型的數(shù)學結果；得到原問題的結果——討論結果的意義，檢驗結果的適切性。

二、初中數(shù)學教學中常見的幾種模型

隨著數(shù)學教育界“數(shù)學應用意識”的不斷深入，提高數(shù)學應用性的教育迫在眉睫。數(shù)學應用性包括兩個層次：一是數(shù)學精神、思想和方法；二是數(shù)學建模。數(shù)學建模教學，既可以培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識、鞏固數(shù)學方法，又可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識以及分析和解決實際問題的能力。初中階段常見的模型有方程（組）模型、不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型和統(tǒng)計模型。

1.方程（組）模型

方程（組）是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關系最基本的數(shù)學模型，求解此類問題的關鍵是：針對給出的實際問題，設定合適的未知數(shù)，找出等量關系，求出結果。

2.不等式模型

現(xiàn)實世界中不等關系是普遍存在的，許多現(xiàn)實問題很難確定具體的數(shù)值，但可以求出或確定問題中某個量的變化范圍，從而對所研究的問題有比較清楚的認識。

例：某商品的售價是528元，商家出售這樣的商品可獲利10%～20%，設進價為x元，則x的取值范圍是 。

3.函數(shù)模型

新課標要求學生能用函數(shù)表示法刻畫某些實際問題中變量之間的關系變化，結合對函數(shù)關系的分析，嘗試對變量的變化規(guī)律進行初步預測，能用一次函數(shù)、二次函數(shù)等來解決簡單的實際問題。學習了正、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)后，學生頭腦中已經(jīng)有了函數(shù)模型。因此，一些實際問題可以利用函數(shù)模型解決。

其實，我們也可以把方程（組）模型、不等式模型和函數(shù)模型統(tǒng)稱為代數(shù)模型，它們往往緊密關聯(lián)。

例：為了援助失學兒童，李明從2012年1月份開始，每月一次將相等數(shù)額的零用錢存入已有部分存款的儲蓄盒內，準備每6個月一次將儲蓄盒內存款一并匯出（匯款手續(xù)費不計）。2月份存款后清點儲蓄盒內有存款80元，5月份存款后清點儲蓄盒內有存款125元。

（1）在李明2012年1月份存款前，儲蓄盒內已有存款多少元？（2）為了實現(xiàn)到2015年6月份存款后存款總數(shù)超過1000元的目標，李明計劃從2013年1月份開始，每月存款都比2012年每月存款多t元（t為整數(shù)），求t的最小值。

【分析】本題綜合考查學生應用方程組和不等式解決實際問題的能力。

4.幾何模型

在日常生活中，諸如臺風、航海等傳統(tǒng)的應用問題，常需要建立相應的幾何模型，需要轉化為幾何或三角函數(shù)問題求解。重點談兩個經(jīng)典的幾何模型。

（1）用勾股定理列方程的模型。

在直角三角形中，已知邊的關系時，經(jīng)常可以借助勾股定理列方程，模型思想在簡單問題中學生處理起來往往得心應手，但在設計精巧的問題情境中，學生普遍表現(xiàn)出思維混沌，束手無策。

5.統(tǒng)計模型

在當前的經(jīng)濟生活中，統(tǒng)計知識的應用越來越廣泛。而數(shù)學建模思想的應用在統(tǒng)計學方面得到很好的體現(xiàn)。新課標明確提出體會用樣本估計總體的思想。統(tǒng)計與概率是數(shù)學在生活、生產(chǎn)中應用的重要方面。在教學中應注重所學內容與日常生活、自然等領域的聯(lián)系。

三、如何培養(yǎng)學生的模型思想

培養(yǎng)學生的模型思想，提高學生的建模能力，讓學生善于把實際問題、數(shù)學問題進行合理有效的轉化，需要教師有意識地長期對學生進行啟發(fā)、引導、點撥和不斷地探究、反思，經(jīng)過思維碰撞、糾錯磨練。

1.讓學生在循序漸進的學習中感悟模型思想。

學生感悟模型思想需要經(jīng)歷一個長期的過程。數(shù)學建模必須結合學生實際水平分層次逐步推進，與正常教學內容同步。教學過程中要讓學生循序漸進，逐步提高。

2.使學生經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解驗證”的數(shù)學活動過程。

“問題情境——建立模型——求解驗證”的數(shù)學活動過程體現(xiàn)了課標中模型思想的基本要求，也有利于學生在活動過程中理解、掌握有關知識與技能，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟模型思想的本質。這一過程更有利于學生去發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

（1）精選例題，倡導有效示范。

數(shù)學教師應善于思考，在備課時做個有心人，在教學設計時應該精選一些有代表性的、典型的建模題材作為主要的教學內容。通過具體問題的建模示例，介紹建模的思想方法，能起到較為深刻的教育意義和作用。 同時也可兼顧一些趣味性和創(chuàng)新性，在具體選取案例時，可選擇有趣又能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力、充分體現(xiàn)數(shù)學建模思想的案例。

（2）提升業(yè)務，促進建模教學。

在數(shù)學建模教學中，教師是關鍵。教師水平的高低直接決定著數(shù)學建模教學能否達到預期的培養(yǎng)學生能力的目的。我們的教師應該有主動發(fā)展的需求，多參加各種學術會議、到名校去做訪問學習等等，更應該通過各種渠道和方式，了解模型思想教學發(fā)展前沿的新趨勢、新動態(tài)。另外數(shù)學教師還必須更新教育理念，不斷積累和更新專業(yè)知識，其中包括較寬廣的人文和科學素養(yǎng)。數(shù)學教師只有不斷創(chuàng)新，努力提高自身素質，才能適應新的形勢，符合時代發(fā)展的要求。

（3）互相滲透，重視思想方法。

數(shù)學思想方法必須以一定的數(shù)學知識和技能為基礎，又能促進知識的深化及能力的形成。在初中數(shù)學模型思想教學的過程中，必須加強數(shù)學思想方法的滲透和強化，使它們相輔相成，融會貫通。相對而言，數(shù)學思想方法主要抓以下幾個：化歸思想、整體思想、變換思想和數(shù)形結合思想。在初中數(shù)學中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)與圖象、幾何與圖形等方面，各種思想方法都有很好的應用。因此，每年的中考中涌現(xiàn)了許多別具創(chuàng)意、獨特新穎的涉及多種思想方法的問題，尤其在考查高層次思維能力和創(chuàng)新意識方面具有獨特的作用。

【參考文獻】

[1]義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]朱海峰，夏建平.全國中考試題歸類精選·數(shù)學[M].福建：福建少年兒童出版社，2012.

（作者單位：江蘇省無錫市崇安區(qū)教育局教研室）