游戲：設計數學實驗的有效載體

孫朝仁　朱桂鳳

寫出結論并說明理由。

【設計意圖】這一游戲的設計，能讓學生體驗用方程思想解決問題的優越性，借用月歷驗證問題解決的合理性和正確性，加深了學生對方程模型的認識。第一個活動的過程開放，學生必須借助分類思想獲得滿足行或者列本應存在的方程關系，在求解思維和判斷思維的幫助下，獲取問題的解答方案，并可借助月歷驗證其存在性；第二個活動切入點開放，隨著設定未知數的視點不同，獲得的方程形式不同，但答案殊途同歸。能讓學生在操作的過程中自然生成用方程解決問題的方法，解決了初始時不知道怎樣操作的問題，這種豁然開朗的感受來自于學生的手邊，不是講授課堂背景下死記硬背的結果，因此想忘也難以忘記，在一定層面上助推了建模意識的形成。

創造與解釋：做一做

（1）你能根據上述游戲，再編一個你理解的游戲，列出方程并求解嗎？

（2）將上述操作中的某個數用字母表示，借助方程驗證結論的正確性。

【設計意圖】游戲的編制與解答能驗證學生已經內化的方程建模的水準，同時也能在嘗試操作和再編制的過程中糾正認知偏差，縫合建模的空隙，熨平建模褶皺，豐富應用方程的思想，創造性地提升方程的建模空間。“用字母表示數”，為方程的正確展現提供了必備的前提，將方程的解以及相關數據回歸月歷，能即時解釋結論的合理性，體現生活化的實證性，在一定層面上深化了方程的建模意識。

二、數學實驗游戲的理性思考

數學建模是把現實世界中的實際問題加以提煉、抽象為數學模型，經歷模型的合理性驗證，并用獲得模型的解答策略闡釋現實問題的過程。數學建模意識是把現實世界中有待解決或尚未解決的問題，用數學的眼光發現問題、提出問題、理解問題，借助練達和轉化的過程，將新問題歸結于已經解決或易于解決的問題中，在已有知識經驗的幫助下獲取問題解決方案的一種習慣化意念。

多年的教學經驗顯示，大凡涉及應用類問題，學生學習起來總是底氣不足，有一種有意或無意的排斥感，這讓筆者在設計和執教時常常“謹慎+小心”，會擔心學生那種毅然決然的排斥心理。尤其是初中階段首次直面實際應用問題，即“用一元一次方程解決問題”的初始課，筆者更是百般注意，用全新的眼光審視現實的教學指向，設置符合學生認知規律和心理特征的“四組游戲+創造與解釋”，確定“月歷游戲”為學程的最大化學習載體，讓學生的思維在生趣的玩中不經意間習得言語無法傳遞的建模意識，在正向和逆向的思維錘煉中獲得一種根深蒂固的建模思想。

1.數學實驗游戲的穿插與行走，催生建模意識。

蘇科版教材七年級上冊“4.3用一元一次方程解決問題”的內容編排理念是以解決問題的策略為主線，消解編排實際問題類型的印跡。第一課時，用“月歷游戲”引動方程，借助“桌子加工問題”的解答過程，讓學生獲取用方程解決問題的一般方法。教材的指向試圖讓學生在“閱題多數”中播種建模意識，考量效果甚微（從歷次考試的考情分析得到實證，試卷上應用處皆留白）；筆者試圖改善這種低效學習的現狀，融合教情、學情和人情，借助實物載體（月歷）設計了游戲一和游戲二（思維互逆），讓學生沒有壓力，自由自在地玩、輕輕松松地報數；借助實實在在的做、認認真真的觀察和分析，獲得摸不著的數感和一些特殊的數量關系，能為方程的建立提供必備的解設前提，否則用同一字母正確表示關聯數之間的數量關系就成了無源之水、無本之木。而這些真切感受的獲取不是膚淺地觸及素材、走過問題、簡單說教就能實現的；數感的真正發展不是教師的理解和體悟能取代的。因此，實驗游戲的穿插與行走能催生學生的建模意識。

2.數學實驗游戲的延展與演繹，內生建模意識。

在學生“玩數”和“圈數”的基礎上，學生習得月歷上相鄰各數之間的數量關系。筆者試圖將學生的現有“數感”引向“式感”鏈接方程，為方程的著床與發育提供必要的幫助。將原有的“月歷游戲”情境進行了理性延展和知性加厚，創設了游戲三和游戲四。讓學生在同一載體下接受不同角度和不同層面的思維打磨，經歷無序的而又滿足條件的圈數過程，借助已經內生的數量關系，在計算的幫助下和范例流程的指向下（課前學生預學課本，獲得方程應用的初始能力），獲取個體解答方案。大部分學生是借助方程獲取老師希望的答案，理應即時張揚和表揚，因為這是知識的正向生長和學力的螺旋上升；依然有少部分學生借用“數量之間的關系+算術的方法”，獲取特殊個體的正確答案，也應給予認可，這是對學生的理解，也是對生出知識的尊重，更是踐行課標的實際表現（不同的人在數學上獲得不同的發展），同時也要指出此處的方程“小用”將成為知識譜系中的“大用”（有些問題算術方法是無能為力的，而方程卻能得心應手），因此，采用方程的方法更優越、更前瞻、更理性。在具體操作的過程中，筆者讓學生交流研討各組的思考過程，提煉方程解答問題的一般方法。讓學生從特殊入手，經歷“數學化和代數化”的過程，漸次靠近“方程化”，方程意識自然萌動、生根、發芽和拔節，終歸于期待的開花與結果，方程思想在“做”中和“俯身拉車”中自然“胎生”，又在“抬頭看路”中自然凝練，終歸于問題解決的一般習慣（通向通法）。因此，模型意識的內生源于實驗游戲的延展與演繹，絕不是“走讀生”（聽眾）能真正獲得的內力。

3.數學實驗游戲的尋繹和釋繹，衍生建模意識。

“創造與解釋”這一模塊的呈現是游戲的繼續與尋繹，簡短的兩行卻蘊含著、傳遞著大量的豐富的方程信息，為學生的數學實驗提供廣闊的探索時空。正如劉良華教授指出的游戲的基本秘密：其一，游戲讓所有參與游戲的人忘記自己在做游戲；其二，游戲永遠讓人生活在希望中；其三，游戲總是為游戲者提供及時的反饋與矯正。筆者試圖追求這種傳統課永遠也無法達到的數學學習的休閑境界，增補了“創造與解釋欄”，割舍了“桌面加工項”，讓學生在反反復復把玩月歷的過程中，獲得方程模型意識的衍生和外溢。游戲的再編制，為學生提供廣袤的思考時空，每個生命個體都能在能力范圍內和喜好層面上編制自己理解的游戲（可以是“T”型、“H”型、“Y”型等）。在編制與作答的過程中不經意間經歷了思維的雙磨練（正向與反向），加深了方程應用版式的印跡，獲得了終身受用的方程思想。回望整個探索旅途，再度自我選擇“用字母表示數”的提升點，能補位活動中初始能力夠不到的問題或因時空所限引起思維留白的問題，經歷多層面的交互和思辨以及質疑，讓建模意識完滿生長，成為生命永遠的經歷和終身難忘的記憶。這些本質性的模型意識的揭示和衍生，完全仰賴于游戲的尋繹和釋繹，是傳統課遙不可及的，也是“桌面加工項”不能帶來的理解福音。

三、后續的思考

數學實驗游戲的穿插與鑲嵌是改善數學課堂“假性生成”現狀的一劑良藥，能讓學生的興趣外溢、思維著陸、知識通透、學力豐長；游戲的行走源于模型意識，發端于學習需要，歸宿于人本理念。追求實效課堂是個永無止境的研究話題。值得注意的是，教學中，一般不可急于求成，尤其在前兩個游戲活動中，最好不要過早地引入字母表示，應僅限于具體的數的思考，到游戲三、四再引導學生用字母來表示，讓學生經歷從“數”到“式”的過程，也即經歷模型思想的建立過程，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。這里建立和求解模型的過程主要是借助月歷這一現實情境，讓學生用數學符號建立方程表示實際問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義，切實讓學生體會到用方程解決問題的優越性。

注：本文為全國教育科學“十二五”規劃2012年度單位資助課題——初中數學實驗的設計與實施策略研究（FHB120483）的階段性成果之一。

（作者單位：江蘇省連云港市教育科學研究所， 江蘇省連云港市幸福路中學）