一道高考壓軸題引發的圓錐曲線定點問題探究

胡貴平

摘 要：圓錐曲線中的定點問題是高考常見考點，本文主要研究了過橢圓上一點作張角為直角所對的弦過定點問題，由于兩條直線垂直，所以常用兩條直線的斜率乘積等于-1來進行量化，文章主要從高考題入手對這一問題進行了研究，得出了圓錐曲線定點的一組性質.

關鍵詞：圓錐曲線;定點問題;性質

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0057-04

解析幾何中證明直線過定點，一般是選擇參數表示直線方程、數量積、比例關系等，根據等式的恒成立、數式變換，通過推理、計算，找出參數之間的關系，并消去部分參數，將直線方程化為點斜式方程，從而得到直線所過的定點.當定點具備一定的限制條件時，可先探索出定點，再證明該定點與變量無關.

一、試題呈現

（2020年新高考數學全國1山東卷第22題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，且過點A（2，1）.

（1）求C的方程;

（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明：存在定點Q，使得DQ為定值.

本題綜合考查直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素，考查了橢圓的標準方程和性質，圓錐曲線中的定點定值問題.

二、試題解析

解法一 （1）由題意，可得ca=32，4a2+1b2=1，a2=b2+c2.解得a2=6，b2=c2=3，故橢圓方程為x26+y23=1.

（2）設點Mx1，y1，Nx2，y2.因為AM⊥AN，所以

AM·AN=0，即x1-2x2-2+y1-1y2-1=0①

當直線MN的斜率存在時，設方程為y=kx+m，如圖1.

代入橢圓方程消去y并整理，得

1+2k2x2+4kmx+2m2-6=0，

x1+x2=-4km1+2k2，

x1x2=2m2-61+2k2②

根據y1=kx1+m，y2=kx2+m，

代入①整理，可得

k2+1x1x2+km-k-2x1+x2+m-12+4=0

將②代入，

k2+12m2-61+2k2+km-k-2-4km1+2k2+m-12+4=0，

整理化簡得2k+3m+12k+m-1=0，

因為A（2，1）不在直線MN上，所以2k+m-1≠0，

所以2k+3m+1=0，k≠1，于是MN的方程為y=kx-23-13，

所以直線過定點直線過定點E23，-13.

當直線MN的斜率不存在時，可得Nx1，-y1，如圖2.

代入x1-2x2-2+y1-1y2-1=0，得x1-22+1-y22=0.

結合x216+y213=1，解得x1=2（舍），x1=23，此時直線MN過點E23，-13.

由于AE為定值，且△ADE為直角三角形，AE為斜邊，

所以AE中點Q滿足DQ為定值（AE長度的一半122-232+1+132=423）.

由于A2，1，E23，-13，故由中點坐標公式可得Q43，13.

故存在點Q43，13，使得DQ為定值.

反思 韋達定理來處理，計算量大，容易出錯. 其實計算還可以用點乘雙根法優化，由AM⊥AN，得x1-2x2-2+y1-1y2-1=0.即x1-2x2-2+kx1+m-1kx2+m-1=0，亦即x1-2x2-2+k2x1-1-mkx2-1-mk=0.通過聯立直線MN方程與橢圓方程得1+2k2x2+4kmx+2m2-6=0，因為點x1，x2是方程1+2k2x2+4kmx+2m2-6=0的兩個根，所以1+2k2x2+4kmx+2m2-6=1+2k2（x1-x）（x2-x）.

令x=2，得1+2k24+8km+2m2-6=1+2k2（x1-2）（x2-2）.令x=1-mk，得1+2k2（1-m）2k2+4m（1-m）+2m2-6=1+2k2（x1-1-mk）（x2-1-mk）.所以x1-2x2-2+y1-1y2-1=4+8km+2m2-61+2k2+k2（1-m）2k2+4m（1-m）+2m2-61+2k2=0.即3m2+8k-2m+4k2-1=0，因式分解的2k+3m+12k+m-1=0.

解法二 （2）把橢圓平移到以A為坐標原點，此時橢圓方程為（x+2）26+（y+1）23=1.

設點Mx1，y1，Nx2，y2.因為AM⊥AN，所以AM·AN=0，即x1x2+y1y2=0①

當直線MN的斜率存在時，不妨設方程為y=nx+m，代入橢圓方程消去y有（x+2）26+（nx+m+1）23=1，整理，得1+2n2x2+4（1+mn+n）x+2（m2+2m）=0，所以x1+x2=-4（1+mn+n）2n2+1，x1x2=2m2+4m2n2+1.

y1y2=（nx1+m）（nx2+m）=n2x1x2+mn（x1+x2）+m2=n2·2m2+4m2n2+1-mn·4（1+mn+n）2n2+1+m2=m2-4mn2n2+1.代入①得x1x2+y1y2=2m2+4m2n2+1+m2-4mn2n2+1=0，即m=4n-43.

直線MN的方程為y=nx+4n-43，即y+43=n（x+43），故直線MN恒過定點-43，-43.利用坐標平移到原坐標系里，直線MN恒過定點23，-13.以下同解法一.

反思 通過圖象的平移變換，使得A2，1與原點重合，斜率的表達式變得簡潔，減少了部分運算量，其實計算還可以用齊次化法優化，以A為坐標原點，此時橢圓方程為（x+2）26+（y+1）23=1.展開就是x26+y23+2x3+2y3=0，直線MN方程為y=nx+m，變形就是nx+my=1，代入橢圓方程齊次化處理，得x26+y23+（2x3+2y3）y-nxm=0，兩邊同除以x2，得（13+23m）（yx）2+（23m-2n3m）（yx）+16-2n3m=0.所以y1x1·y2x2=16-2n3m13+23m=-1，即m=4n-43.

三、引申探究

對于橢圓上一點作張角為直角所對的弦是否都過定點呢？

性質1過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點Px0，y0作兩條互相垂直的弦PM，PN，則直線MN恒過定點a2-b2a2+b2x0，-a2-b2a2+b2y0.

證明 設點Mx1，y1，Nx2，y2.因為PM⊥PN，所以PM·PN=0，即x1-x0x2-x0+y1-y0y2-y0=0.①

當直線MN的斜率存在時，設方程為y=kx+m，

由y=kx+m，x2a2+y2b2=1.消去y并整理，得a2k2+b2x2+2a2mkx+a2m2-a2b2=0

x1+x2=-2a2mka2k2+b2，x1x2=a2m2-a2b2a2k2+b2②

根據y1=kx1+m，y2=kx2+m，代入①整理，

可得k2+1x1x2+km-x0-ky0x1+x2+x20+y20-2my0+m2=0.

將②代入，k2+1a2m2-a2b2a2k2+b2-km-x0-ky02a2mka2k2+b2+x02+y20-2my0+m2=0，

結合b2x20+a2y20=a2b2化簡整理，

得a2+b2m2-2a2kx0-b2y0m+（a2-b2）（k2x20-y20）=0，解這個關于m的方程，得m=-（a2-b2）（kx0+y0）a2+b2或m=y0-kx0.

當m=y0-kx0時，y=kx+y0-kx0過點Px0，y0，不符合題意，所以直線MN的方程為y=kx-（a2-b2）（kx0+y0）a2+b2，即y+（a2-b2）y0a2+b2=k（x-（a2-b2）x0a2+b2），故直線MN恒過定點a2-b2a2+b2x0，-a2-b2a2+b2y0.

當直線MN的斜率不存在時，可得Nx1，-y1，

代入x1-x0x2-x0+y1-y0y2-y0=0，得x1-x02-y21+y20=0.

結合x21a2+y21b2=1，x20a2+y20b2=1消去y1，得（a2+b2）x21-2a2x0x1+（a2-b2）x20=0.

解得x1=x0舍，x1=a2-b2a2+b2x0，此時直線MN恒過定點a2-b2a2+b2x0，-a2-b2a2+b2y0.

性質2 過雙曲線x2a2-y2b2=1（a>b>0，a≠b）上一點Px0，y0作兩條互相垂直的弦PM，PN，則直線MN恒過定點a2+b2a2-b2x0，a2+b2a2-b2y0.

性質3 過拋物線y2=2px（p>0）上一點Px0，y0作兩條互相垂直的弦PM，PN，則直線MN恒過定點2p+x0，-y0.

過圓錐曲線上一點Px0，y0作90°的張角所對的弦必過定點.

對于橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），動弦過定點e22-e2x0，-e22-e2y0;

對于雙曲線x2a2-y2b2=1（a>b>0，a≠b），動弦過定點e22-e2x0，e22-e2y0;

對于拋物線y2=2px（p>0），動弦過定點2p+x0，-y0.

過圓錐曲線上一點Px0，y0作兩條直線互相垂直加強到兩條直線斜率之積是定值，是否仍然有張角所對的弦必過定點？

性質4 過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點Px0，y0作兩條弦PM，PN，且滿足直線PM，PN的斜率之積是定值d（d≠b2a2），則直線MN恒過定點a2d+b2a2d-b2x0，-a2d+b2a2d-b2y0.

證明 設點Mx1，y1，Nx2，y2.因為kPM·kPN=d，所以y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0=d.

即dx1-x0x2-x0-y1-y0y2-y0=0，①

當直線MN的斜率存在時，設方程為y=kx+m，

由y=kx+m，x2a2+y2b2=1.消去y并整理，得a2k2+b2x2+2a2mkx+a2m2-a2b2=0

x1+x2=-2a2mka2k2+b2，x1x2=a2m2-a2b2a2k2+b2②

根據y1=kx1+m，y2=kx2+m，代入①整理，

可得d-k2x1x2-km+dx0-ky0x1+x2+dx20-y20+2my0-m2=0.

將②代入，d-k2a2m2-a2b2a2k2+b2+km+dx0-ky02a2mka2k2+b2+dx20-y20+2my0-m2=0，

結合b2x20+a2y20=a2b2化簡整理，

a2d-b2m2+2a2dkx0+b2y0m+（a2d+b2）（k2x20-y20）=0.解這個關于m的方程，得m=-（a2d+b2）（kx0+y0）a2d-b2或m=y0-kx0.

當m=y0-kx0時，y=kx+y0-kx0過點Px0，y0，不符合題意，所以直線MN的方程為y=kx-（a2d+b2）（kx0+y0）a2d-b2，即y+（a2d+b2）y0a2d-b2=k（x-（a2d+b2）x0a2d-b2），故直線MN恒過定點a2d+b2a2d-b2x0，-a2d+b2a2d-b2y0.

當直線MN的斜率不存在時，可得Nx1，-y1，

代入dx1-x0x2-x0-y1-y0y2-y0=0，得dx1-x02+y21-y20=0.

結合x21a2+y21b2=1，x20a2+y20b2=1消去y1，得（a2d-b2）x21-2a2dx0x1+（a2d+b2）x20=0.

解得x1=x0舍，x1=a2d+b2a2d-b2x0，此時直線MN恒過定點a2d+b2a2d-b2x0，-a2d+b2a2d-b2y0.

性質5 過雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一點Px0，y0作兩條弦PM，PN，且滿足直線PM，PN的斜率之積是定值d，則直線MN恒過定點a2d-b2a2d+b2x0，-a2d-b2a2d+b2y0.

性質6 過拋物線y2=2px（p>0）上一點Px0，y0作兩條弦PM，PN，且滿足直線PM，PN的斜率之積是定值d，則直線MN恒過定點-2pd+x0，-y0.

過圓錐曲線上一點Px0，y0作兩條直線斜率之積是定值，拓展到兩條直線斜率之和是定值，是否仍然有張角所對的弦必過定點？

性質7 過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點Px0，y0作兩條弦PM，PN，且滿足直線PM，PN的斜率之和是定值λ（λ≠0），則直線MN恒過定點-2y0λ+x0，-2b2x0a2λ-y0.

證明 設點Mx1，y1，Nx2，y2.因為kPM+kPN=λ，所以y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=λ.即y1-y0x2-x0+y2-y0x1-x0-λx1-x0x2-x0=0①

當直線MN的斜率存在時，設方程為y=kx+m，

由y=kx+m，x2a2+y2b2=1.消去y并整理，得a2k2+b2x2+2a2mkx+a2m2-a2b2=0

x1+x2=-2a2mka2k2+b2，x1x2=a2m2-a2b2a2k2+b2②

根據y1=kx1+m，y2=kx2+m，代入①整理，

可得2k-λx1x2+m-y0-λx0-kx0x1+x2-λx20+2x0y0-2mx0=0.

將②代入，2k-λa2m2-a2b2a2k2+b2-m-y0-λx0-kx02a2mka2k2+b2-λx20+2x0y0-2mx0=0.

結合b2x20+a2y20=a2b2化簡整理，

a2λm2+2ka2λ+b2x0-2ka2y0m-（b2+a2k2）（2x0y0-λx20）+（b2x20+a2y20）（2k-λ）=0因式分解，a2λm+ka2λ+2b2x0-（2k-λ）a2y0（m+kx0-y0）=0.

解這個關于m的方程，得m=-（ka2λ+2b2）x0+（2k-λ）a2y0a2λ或m=y0-kx0.

當m=y0-kx0時，y=kx+y0-kx0過點Px0，y0，不符合題意，所以直線MN的方程為y=kx-（ka2λ+2b2）x0-（2k-λ）a2y0a2λ，即y+2b2x0a2λ+y0=k（x+2y0λ-x0），直線MN恒過定點-2y0λ+x0，-2b2x0a2λ-y0.

當直線MN的斜率不存在時，可得Nx1，-y1，

所以kPM+kPN=y1-y0x1-x0+-y1-y0x1-x0=-2y0x1-x0=λ.x1=-2y0λ+x0.

此時直線MN恒過定點-2y0λ+x0，-2b2x0a2λ-y0.

性質8 過雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一點Px0，y0作兩條弦PM，PN，且滿足直線PM，PN的斜率之和是定值λ（λ≠0），則直線MN恒過定點-2y0λ+x0，2b2x0a2λ-y0.

性質9 過拋物線y2=2px（p>0）上一點Px0，y0作兩條弦PM，PN，且滿足直線PM，PN的斜率之和是定值λ（λ≠0），則直線MN恒過定點-2y0λ+x0，2pλ-y0.

圓錐曲線上一定點P與另外兩點M，N的斜率之和或斜率之積為定值時，在斜率存在時，可設MN的方程y=kx+m與圓錐曲線方程聯立，根據斜率之和或斜率之積建立起參數k，m之間的關系（若是關于k，m之間是一元二次方程，要特別注意因式分解），就可以得出直線過的定點，再在直線斜率不存在時單獨驗證.

參考文獻：

[1]劉增利.高考五年真題[M].北京：開明出版社，2020（7）.

[2]李金寬.圓錐曲線的定點弦性質[J].數學通報，2020（12）：32-33.

[責任編輯：李 璟]