巧用分段函數活化高中函數概念與性質

摘要：分段函數表達形式多樣，定義形式靈活，不拘于單一的對應法則，使函數關系更有表達力，文中以分段函數為載體，通過實例活化函數的概念，加強函數性質的運用，從而提高學生分析問題解決問題的能力。

關鍵詞：分段函數概念；背景；措施；方法

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）50-0161-02

一、基本概念

函數：初中定義為在某個變化過程中有自變量與因變量，對于自變量取一個值，因變量都有唯一的值與它對應。

函數的近代定義：設A，B都是非空的數集，f：x→y是從A 到B的一個對應法則，那么從A到B的映射f：A→B就叫做函數。函數概念有三個要素：定義域A，值域C和對應法則，它是函數關系的本質特征。

分段函數：主要是將在定義域分段下以不同對應法則得到對應函數式。

偶（奇）函數：函數y=f（x），對于定義域內的每個x，都有 f（-x）=f（x），（f（-x）=-f（x））則y=f（x）是偶（奇）函數。

周期函數：設f（x）是定義在數集M上的函數，如果存在非零常數T具有性質：f（x+T）=f（x），則f（x）稱是數集M上的周期函數，常數T稱為f（x）的一個周期。如果在所有正周期中有一個最小的，則稱它是函數f（x）的最小正周期。

二、分段函數的實時背景

分段函數在高中數學教材中并沒有作深入的說明，它由絕對值函數分段而產生的，如f（x）=|x-1|+|x+1|就要分三段化簡，得到了分段函數。分段函數比較抽象，解析式變化也很大，高中學生新學也比較困難，不過因其表達式的自由多變，更能活化函數的性質與彰顯函數思想。特別是近年來的考題中有許多是對分段函數的奇偶性、周期性、對稱性等進行綜合考查，應引起重視。

三、分段函數活化函數概念及性質具體措施主要有四點

1.利用分段函數揭示變量之間的對應關系，明晰概念內涵。分段函數更能體現定義域和值域的映射關系，更能將自變量與因變量的關系表達清楚。

例如：函數（x）=x+1（x<0）2x+1（x=0）1-2x（x>0）求（1）f（f（f（1）））= ；

（2）■= 。

本題中的計算遵循邏輯順序，先算f（1）=-1，再算f（-1）=0，f（0）=1。由此，發現函數遵循周期性的循環，求值規律揭示函數周期性而發覺函數思想，在具體而又更替性的對應運算中，看到了定值與定值之間形成映射的內在關系，深化近代函數概念的內涵。

2.利用函數分段，體現函數對應關系的多樣性與具體性，深化函數的本質特征。例如：已知函數f（x）為定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，當x>0時f（x）=sin2x-cosx， 求當x<0時f（x）的解析式。此題運用化歸思想綜合了函數的性質，將f（x）與f（-x）的相互轉化，解得當x<0時f（x）=sin2x-cosx。

3.利用函數分段，深化函數思想中的求值域、求定值，彰顯數形結合。

例如f（x）=a？茚b=a（a≥b）b（a

4.利用函數分段，深化函數的基本性質，如奇偶性，周期性，對稱性等。

例如：已知函數f（x）為定義在R上的偶函數，且f（x+2）=-■，當2≤x≤3時，f（x）=x，則f（105.5）= 。

由f（x+2）=-■，得f（x+4）=f（x），即f（x）是以T=4的周期函數，從而求得f（105.5）=f（108-2.5）=f（-2.5）=f（2.5）=2.5。

四、運用分段函數深化函數與方程的思想

函數與方程有許多統一的地方，方程是滿足等量關系，函數是滿足變化關系，都有量之間的等量關系共性。

函數與方程思想使變量關系有內在的邏輯性，如f（x）=x2-2x+3（x≤0）-2+lnx（x>0）的零點個數為 。通過零點特殊的自變量值與特殊的函數關系，明確函數特定關系，確定零點，從而為函數中值定理等打好基礎。又如：設f（x）=x2+bx+3（x≤0）2 （x>0），若f（-4）=f（0），f（-2）=-2，則關于x的方程的解的個數為 。通過方程多元解，說明函數之間y可以一對多，但不可以一個x對多個y，從而從正反方面闡明函數的概念。

分段函數表達形式多樣，定義形式靈活，不拘于單一的對應法則，使函數關系更有表達力，當然分段函數只是載體，高考中主要還是考查函數性質，函數和不等式結合等等，都是考查函數部分中較復雜的題型。只要掌握了分段函數的題型特點及解題技巧，同時把握住其中的解題要點，就能輕松應對分段函數問題?？偠灾?，“分段函數分段解決”，若能畫出分段函數的大致圖象，那么上述許多問題將會很容易解決。

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書 數學必修1[M].北京：人民教育出版社，2008.

[2]普通高中課程標準實驗教科書 數學必修2[M].北京：人民教育出版社，2008.

[3]劉義軍.奧賽經典·初中數學培優競賽梯級訓練[M].長沙：湖南師范大學出版社，2010.

[4]陳興祥.學海導航高一數學[M].海南：海南出版社，2011.

作者簡介：黃詠梅（1968—），女，現中南大學附屬鐵道中學數學中級教師，曾多次評為優秀教師，國家級奧數教練，曾在《中學數學》、《中學數學教學參考》發表過論文。