類比推理在高中數學教學中的應用

季順華

“大前提、小前提和結論”三段論式的演繹推理貫穿于中學數學教學的始終，而合情推理在數學發展史上也留下濃重一筆，如阿基米德“稱”出了球體公式，哥德巴赫做出了世界著名的猜想，傅立葉發明了級數。在社會生活中，醫生診病、警察判案、軍事指揮、人際交往都要應用到合情推理。而我國中學數學教學歷來重視邏輯推理能力的培養，而忽視合情推理能力的培養，導致學生想象能力不高。類比推理作為合情推理的一種，是根據在特征、屬性等方面類同的兩個不同對象，猜測它們在其他方面也可能存在有類同之處，從而做出某種判斷的推理方法。

一、類比推理在數學教學中的作用

1.有助于激發學習動機。教師創設類比的問題情境，可以吸引學生的注意力，促使學生將自身的知識經驗與教師的講授有機聯系起來，通過對相關知識進行類比分析、尋找規律、做出猜想，從而接受新的知識，掌握新的方法。

2.有助于培養批判性思維能力。“學貴有疑，小疑則小進，大疑則大進”。高考指揮棒扼殺了高中生敢于質疑的精神，使他們不知覺地迷信于書本、權威，導致他們缺乏批判能力，容易出現判斷失誤。教師要借助于類比情境，引導學生從多角度審視、多方位批判分析新的知識，讓學生在“求同”中學會“存異”，從而培養學生的創新思維。

3.有助于提高學習的主動性。“溫故而知新，可以為師矣”。許多新的知識是由舊知識發展變化而來，新知識里或多或少都有舊知識的影子。教師在教學中，通過舊知猜測新知的內容、思想和方法，有助于提高學生的學習積極性。如在“球的體積和表面積”教學中，教師通過“圓柱的體積”知識的復習，將球體進行切割，分解成若干個近似于圓柱體的“小圓片”，它的體積和接近于球的體積。

4.有助于學生掌握科學的思維方法。學生通過類比有助于區別容易混淆的內容，能將抽象的內容具體化，便于學生理解抽象的概念屬性，促使學生主動記憶，提高學生的記憶效率。類比教學能增強教學效果，提高學生分析問題和解決問題的能力。

二、當前類比教學中存在的主要問題

1.認識不足。類比作為一種重要的思維方法，在厘清概念、總結規律、探索結論方面發揮重要的作用，能將零亂、松散的知識條理化。如球的概念教學中，用圓的切線與球的切面、圓的弦與球的截面圓、圓周長與球表面積、圓面積與球體積進行類比，有助于學生理解消化球的概念。然而，部分教師雖然也認為類比推理在解題中比較重要，但往往重視不夠，沒有進行針對性的訓練，導致學生應用類比推理解題時困難重重。

2.重解題輕講授。高中一些知識結構、性質相互關聯，通過類比推理就能快速地掌握新知。然而由于應試的觀念根深蒂固，大部分教師大搞題海戰術，片面追求問題的解題而忽視思想方法的指導，以至學生尚未將知識完全消化，就匆匆應用于解決數學題目，導致解題出錯。

3.缺乏系統化的教學。由于教師對類比推理教學沒有引起足夠的重視，對類比推理教學的原則和策略缺乏有效的研究，不深入挖掘類比資源、應用類比素材，導致應用類比教學的方法呈任意性和隨機性。

三、類比教學的應用策略

1.結構相似性類比。（1）概念類比教學。高中數學有很多概念的結構相似性明顯，如正弦函數與余弦函數、等差數列與等比數列、圓與橢圓等，教師要利用結構的相似性由舊知概念類比到新知概念。①提問。尋找類比的“源問題”，通過提問的方式復習舊知。比如：今天我們將學習橢圓的知識，大家之前都學過圓，哪位同學說一說圓是如何定義的？圓的標準方程是什么？你認為圓的概念中，哪些詞最能反映它具有的特性？接著教師呈現圓的概念，并標記重點詞匯，為下一步的類比教學做鋪墊。②類比。教師設置遞進性的問題，引導學生逐層深入，由淺入深地找到類比條件，實現從舊知到新知的跨越。教師設置的問題要“緩坡度”，降低思維的難度，避免跨度過大。③驗證。在得到新知概念之后，教師讓學生進一步驗證其正確性，加深學生對概念的理解。（2）公式教學類比。高中數學公式繁多，僅三角函數就有兩角和公式、和差化積、積分和差、倍角公式、誘導公式等若干個公式，學生即便花費很長時間記憶，在應用時也難免出錯。為了避免枯燥乏味的機械記憶，就要改變被動接受的學習方式，化被動記憶為主動歸納猜想，通過直觀感受得出公式。首先，教師要根據教學內容，挖掘“源問題”。如“三角函數的誘導公式”教學中，教師首先呈現銳角三角函數的定義。接著，教師讓學生借助于單位圓，觀察第一向限角與其旋轉180°至第三象限角的終邊的位置關系，猜想旋轉后與旋轉前的兩角三角函數值存在怎樣的關系？進而推導出三角函數的誘導公式。最后，教師要引導學生驗證類比的結論。（3）計算教學類比。高中數學中的許多運算及運算規律具有一定的相似性，如果教師能在“異中求同”，運用類比發現運算之間的區別聯系，則有助于學生掌握新的運算。如復數集是實數集的拓展與延伸，復數運算與實數運算有許多類似的性質，教師通過啟發引導，讓學生運用實數運算的交換律、結合律、分配律進行有關復數的運算。

2.性質相似性類比。通過性質的相似性進行類比，可以達到觸類旁通、舉一反三的教學效果。教師先統一復習舊知，學生經過獨立思考，按照類比的范式探索新知，進行統一類比，教師要及時給予引導和糾錯。性質的類比可以用表格的形式表述，清晰易懂，簡潔明了。如：

圓的性質和球的性質類比教學表格

雖然類比的兩個對象之間有許多相同或相近的屬性，但在細節上還是有顯著差別的，通過類比，學生能靈活地掌握新知，科學地構建知識體系。

如果說“演繹推理”是學習真理的話，那么“類比推理”則是發現真理。當科學家波利亞“讓我們教猜想吧”的呼聲拷問我們的數學教學時，我們應注重挖掘教材中潛在的類比資源，分析教材中哪些知識結構適合于類比教學，放手讓學生通過類比推理掌握新的知識，從而培養學生類比推理的能力。