“數學思維”與“數學思想”的教學

薛文輝

數學思想是指“將具體的數學知識忘掉后剩下的東西”，它形成于學生應用數學知識、方法解決問題的過程中，是對數學知識和基礎知識和基本技能的一種本質的認識.《義務教育數學課程標準（2011版）》把數學思想作為“四基”之一，很多教師在講評數學習題時，只顧基礎知識、基本方法、基本技能的講解而忽視數學最重要的數學思想方法的滲透，這與鄭敏信教授在《“數學思想”面面觀》中所提倡數學思想方法的教學“不應求全，而應求用”的觀點一致.教師在課堂教學中通過學生認識具體的知識內容及解決問題的思維過程“由顯及隱”揭示其中蘊含的“數學思想”.下面通過筆者的教學片斷，揭示“數學思想”與“數學思維”的教學.

例1：在△ABC中，AB=AC，AD是中線，△ABC的周長為34cm，△ABD的周長為30cm，求AD的長.

師：這條題目沒有圖形，可以首先畫出圖形幫助理解.

生1：動手畫出如下的圖形.

師：你們如何思考這個問題？

生1：34÷2=17，30-17=13.

師追問：你是如何思考的？

生1：由AD是△ABC的中線得BD=CD，又由已知得AB=AC.

由于△ABC的周長為34cm，因此AB+BD=AC+CD=34÷2=17.

又由于△ABD的周長為30cm，因此AD=30-17=13.

師：你是如何想到用這種方法解決這個問題的？

生1：我將△ABD的周長作為整體來考慮，AB+AD的長也整體考慮.

生2：受生1的啟發，我也可以這樣解決問題.

師：說說你的解決問題的途徑.

生2：因為△ABD的周長為30cm，可得△ACD的周長也為30cm，30+30=60就為△ABC的周長再加2個AD的長，所以60-34=26就為兩個AD的長，就可以得AD的長為13cm.

生3：將以上兩個同學的方法總結一下得到如下解法：由AB=AC，BD=CD，AB+BD=AC+CD=34÷2=17cm，可得AD=△ABD的周長-（AB+BD）=30-17=13cm

師：你總結得非常好！老師接著講評下一條作業中的問題.

例2：如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰的中線BD將這個等腰三角形的周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長.

生1：受上面的啟發，我是這樣思考的：由AB=AC，BD是AC的中線得AD=DC，運用分類討論的思想方法：當△ABD的周長是15時，則△BCD的周長是6，設AD為1份，則AB為2份，易得AD=DC=5，AB=10，BC=1；當△ABD的周長是6，則△BCD是15，同樣的方法可得AD=DC=2，AB=4，BC=13，由于4+4<13，故這樣的三角形不存在.

師：你這種解法主要是運用小學算術按比例分配的方法.

生2：我運用方程與分類討論的思想方法可以解決這個問題，當△ABD的周長是15時，則△BCD的周長是6，設AD=CD=x，則AB=2x，由AB+AD=15，解得x=5，易得AD=DC=5，AB=10，由BC+CD=6，得BC=1；當△ABD的周長是6時，則△BCD是15，用同樣的方法可得AD=DC=2，AB=4，BC=13，由于4+4<13，故這樣的三角形不存在.

生3：我運用分類討論的思想方法：當△ABD的周長是15時，則△BCD的周長是6，故AB-BC=15-6=9，AB+AC+BC+BD=21，可得3AB=30，AB=10，BC=1.當△ABD的周長是6，則△BCD是15，得BC-AB=9，AB+AC+BC=21，易得AB=4，BC=13，但考慮到4+4<13，故這種情況不成立.

師：上面三種解決你們最易理解和接受哪種方法？

生：第2種方法.

師：說明方程的解題思想比算術的方法更易讓人接受和理解，希望同學們好好體會同，并把它運用到解決數學問題中.再來一題，等腰三角形的兩邊長是2cm和4cm，則這個等腰三角形的周長為多少？

生1：我利用分類討論的思想方法：當2cm為腰時，等腰三角形的三邊長為2cm、2cm，4cm，則周長為8cm，當4cm為腰時，等腰三角形的三邊長為2cm、4cm、4cm，則周長為10cm.

生2：第一種情況不成立，不滿足三角形的兩邊之和大于第三邊，故只有第二種情況成立.

師：你說得很好.

師：若改為：等腰三角形的兩邊長分別為3㎝和4㎝呢？

生3：則兩種情況都成立.

老師將題目變一變，有一個內角為30°的等腰三角形，它的另外2個內角的度數分別為多少？你們會解答嗎？

生1：我利用分類討論的思想方法.若30°做頂角，則另外兩個內角的度數分別為75°、75°；若30°做底角，則另外兩個角的度數是30°、120°.

師：你答得非常好.若改為有一個內角為120°，則另外兩個角的度數是多少？

生2：由于三角形的內角和為180°，故120°只能做頂角，另外兩個角的度數是30°、30°.

師：你回答得很好！

老師再將題目變一變：有一個外角為45°的等腰三角形，它的三個內角的度數分別為多少？

生1：我運用分數討論的思想方法，當45°為底角的外角時，這種情況不可能.當45°為頂角的外角時，則頂角是135°，另外兩個角的度數是22.5°.

師：你回答得很好.我們再來研究一個問題：在一條直線上，有一點O，線段OA的長為，它與這條直線的夾角為45°，試在這條直線上找一點P，使△APO為等腰三角形，這樣的點P共有多少個？

生：我運用分類討論的思想方法并結合畫圖可以找到三個點：當OA為腰有2種情況，當OA為底有1種情況.

師：這個問題我們運用分類討論有及畫圖的“無字的說明”簡單的解法充分體現“數形結合”之“以形助數”的優越性.希望同學們好好體會.

“數學基本思想方法的形成是長期過程，并且是一個潛移默化的過程”，不同認知特點的學生理解上時有迷糊，也有深淺不同的認知，教師對數學思想方法的教學要遵循一個原則，即循序漸進、螺旋上升，并且要善于抓住時機引導、點撥、強化.