中考數學中的折疊問題探究

陳宏

中考數學中，經常通過折疊操作類問題考查學生的數、形結合的數學思想方法和空間想象能力，題目靈活多變，趣味性強，更為引導學生在數學學習與生活相聯(lián)系中激發(fā)興趣，體會數學學習的快樂。幾何圖形的折疊問題，實質上是軸對稱問題。解答這類問題的關鍵是根據軸對稱的性質，找準折疊前后的兩個全等圖形。確定其中對應角相等、對應線段相等。折痕平分線段、平分角等條件。下面分幾個類型來探索這類問題的解答思路。

一、折疊求角度類

此類問題往往利用折疊中的對應角相等，再通過鄰補角、平行線性質等得到各角度的數量關系。此類問題通常難度較低。

例1.將五邊形ABCDE紙片按如圖1的方式折疊，折痕為AF，點E，D分別落在E′，D′。已知∠AFC=76°，則∠CFD′等于（ ）

A.31° B.28° C.24° D.22°

分析：根據題意，由鄰補角的關系求得∠AFD=∠AFD′=180°-76°=104°，則∠CFD′=104°-76°=28°，故選B。

例2.如圖2，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，則∠AED′等于（ ）

A.50° B.55° C.60° D.65°

二、折疊求線段類

此類問題多通過折疊中的全等圖形，確定對應線段的等量關系，再運用勾股定理或相似比尋求線段間數量關系，構建方程，從而求解。方程建模思想的應用是解決此類問題的主要思路。

三、折疊求坐標類

此類題目中勾股定理與三角函數的綜合運用較多。求坐標一般要通過求線段長來解決。但有些題目中適當運用三角函數比運用相似圖形解答會更便捷。

四、折疊求面積類

此類問題的解答一般要借助線段長的求解，但問題的關鍵是確定所求圖形的形狀，再求面積；若圖形是非規(guī)則圖形，則要通過其他規(guī)則圖形的面積關系轉化求解。

例5.如圖5a，ABCD是一矩形紙片，AB=6 cm，AD=8 cm，E是AD上一點，且AE=6 cm。操作：（1）將AB向AE折過去，使AB與AE重合，得折痕AF，如圖b；（2）將△AFB以BF為折痕向右折過去，得圖c。則△GFC的面積是（ ）

分析：本題中通過折疊可知△GFC是等腰直角三角形，根據已知條件求出線段CF的長為2 cm，即可得到△GFC的面積為2 cm2。故選B。

五、折疊求圖形類

此類題目多由折疊中的角、線段間關系判斷特殊三角形、多邊形。

例6.矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點A的對應點A′落在線段BC上，再打開得到折痕EF。

（1）當A′與B重合時（如圖6a），EF= ；當折痕EF過點D時（如圖6b），求線段EF的長；

（2）觀察圖7a和圖7b，設BA′=x，①當x的取值范圍是 時，四邊形AEA′F是菱形；②在①的條件下，利用圖7b證明四邊形AEA′F是菱形。

六、折疊求規(guī)律類

例7.小宇同學在一次手工制作活動中，先把一張矩形紙片按圖（1）的方式進行折疊，使折痕的右側部分比左側部分長1 cm，展開后再按圖（2）的方式再折疊一次，使第二次折痕的左側部分比右側部分長1 cm，展開后得到圖（3），紙片上形成的兩條折痕之間的距離是 cm。

分析與解答：本題考查了通過動手操作發(fā)現規(guī)律、求解問題的能力。由于兩次都不是對折，但兩次的折痕到對折的折痕距離都是0.5 cm，所以兩條折痕之間的距離是1 cm。也可以借助實驗操作得兩條折痕之間的距離是1 cm。

折疊問題題型多樣，變化靈活，從考查學生空間想象能力與動手操作能力的實踐操作題，到直接運用折疊相關性質的說理計算題，發(fā)展到基于折疊操作的綜合題，甚至是壓軸題。中考復習中，抓其軸對稱實質，究其不變之根本，歸納總結每個類型的題目，構建解題模型，結合直角三角形、相似形、銳角三角函數等知識來解決有關折疊問題，可以使得解題思路更加清晰，解題步驟更加簡潔。學生在復習中提高認識，形成能力，解題有思路，有興趣，樂于嘗試探究，有新的收獲，自然提高了課堂復習效率，提高了學習成績。

（作者單位 黑龍江省齊齊哈爾市鐵鋒區(qū)種畜場學校）