巧解排列組合問題

龔亮

摘要：排列、組合題是高中數學中相對獨立的部分內容，它與其他知識聯系較少，內容比較抽象。不少學生在學習數、式、方程、函數等內容時還能得心應手，但在學習排列、組合問題時卻常常束手無策并出現錯誤。

關鍵詞：巧解；靈活運用；方法

排列組合問題，通常都是以選擇題或填空題的形式出現在試卷上，它聯系實際，生動有趣，但題型多樣，解法靈活。如何使排列、組合題群解得合乎數學解題規律，教給學生解題技巧，又能讓學生根據巧解邏輯，達到生動有趣、興意盎然之功效？首先必須認真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質特征，靈活運用基本原理和公式進行分析解答。同時，還要注意講究一些策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解。

在以往的教學中，學生對于一些常用解法基本都能掌握，比如，特殊元素法、特殊位置法、直接法、間接法、捆綁法、插空法、先分組再排列法、隔板法。但遇到新題型就不知如何變通運用了，下面重點探討幾類特殊題型的解題方法，希望能幫助學生更好地學習這部分內容。

一、固定順序問題

例1.某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目。如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插法的種數為 。

解析：先從7人中選出2人加入前排，這樣，前排共要排5人，將前排看做有5個空位，在5個空位中選2個排新加入的，順序可換，剩下3個位置按原定順序排好即可，故選C。

例2.在一次射擊比賽中，有8個泥制靶子排成如圖所示的三列（其中兩列有3個靶子，一列有2個靶子），一位神槍手按下面的規則打掉所有的靶子：

（1）首先他選擇將要有一個靶子打掉的一列。

（2）然后在被選中的一列中打掉最下面的一個沒被打掉的靶子，那么打掉這8個靶子共有多少種順序？

二、隔板法的特殊運用問題

例1.有10個優秀名額，分到高三年級一、二、三班，他們各班的名額不少于他們的班級數，共有 種分配方案。

三、構造幾何模型

例：在平面直角坐標系中，x軸正半軸上有5個點， y軸正半軸有3個點，將x軸上這5個點和y軸上這3個點連成15條線段，這15條線段在第一象限內的交點最多有 個。

（作者單位 江西省南昌一中）