正弦定理引出的三角形五心的相似性質(zhì)

陳佳敏 蔡享

摘要：主要類比三角形正弦定理，探討得出了三角形五心到各邊和各頂點的距離與正弦定理類似的一個性質(zhì)，這對于進一步研究三角形的五心提供了幫助.

關(guān)鍵詞：正弦定理；內(nèi)心；旁心；垂心；外心；重心

平面幾何問題是高中聯(lián)賽中的一個重難點，所有的多邊形都是由若干個三角形構(gòu)成的，因此，三角形在平面幾何中占據(jù)著最重要的作用.解決三角形的問題是解決平面幾何問題的基礎(chǔ).三角形的五心（垂心、重心、內(nèi)心、外心、旁心）是三角形問題的核心，三角形的很多性質(zhì)都是在五心的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，三角形的五心有很多很好的性質(zhì).本文類比三角形的正弦定理邊角與外接圓半徑之間的關(guān)系，探討了三角形五心到各邊和各個頂點距離與三角形外接圓半徑R和三個內(nèi)角A，B，C的關(guān)系，從而歸納出一個與正弦定理相似的性質(zhì)，這對于理解和掌握三角形從而解決一些平面幾何問題能夠起到很好的幫助.

一、定理

二、探討三角形五心到各邊的距離和到各頂點的距離的相似性質(zhì)

1.內(nèi)心

2.旁心

3.垂心

4.外心

5.重心

代入上式即得結(jié)論，其余兩式類似證明.

至此我們已經(jīng)嚴(yán)格地證明了上述五個性質(zhì)，并且我們可以看到這五個性質(zhì)與正弦定理有著相似之處，研究的都是五心到各邊距離和各頂點距離與外接圓半徑和三角形三個內(nèi)角之間的關(guān)系，這對于我們探索和挖掘三角形各方面的性質(zhì)又更進了一步。

（作者單位 湖北省咸寧市鄂南高級中學(xué)）