圓錐曲線離心率取值范圍求法大放送

孔建芳

如何求解離心率的取值范圍是很多學生較難掌握的內容.筆者通過多年的教學經驗認為，要解決此類問題，最重要的便是充分挖掘題中所隱含的條件，構造出解決此類問題的不等式.

一、利用直線與雙曲線的位置關系

【例1】 給出條件：已知雙曲線x2a-y2=1（a>0）與直線l：x+y=1相交于兩個點P和Q，要求解出雙曲線離心率的取值范圍.

解析：把雙曲線方程和直線方程聯立消去x，得（1-a2）y2-2y+1-a2=0，1-a2≠0

時，直線與雙曲線有兩個不同的交點，則Δ>0，Δ=4-4（1-a2）2=4a2（2-a2）>0，即a2<2且a≠1，所以e2=c2a2=1+1a2>32

，即e>62且e≠2.

二、利用點和雙曲線的位置關系

點評：在解決這一題時，可以先解出雙曲線上其中一點的坐標，然后再利用相關性質“若點P在雙曲線x2a2-y2b2=1

的左支上，則x≤-a；若點P在雙曲線x2a2-y2b2=1的右支上，則x≥a”.

求雙曲線離心率的取值區間時要根據題設的條件找到合適的切入點，因題制宜發現題中隱藏的不等關系，創建含有離心率的不等式是解決這類問題的重要之處.

（責任編輯 金 鈴）