初中幾何分類討論解題的誘發因素

韋玉

分類討論是初中數學常用的重要思想方法，解答的關鍵在于正確認識問題中的誘發因素，從而進行正確的分類解答.引起分類討論的原因多種多樣，本文以一些幾何探究型題目為例，探討引發分類討論的若干因素.

一、所涉及的點的位置不確定

【例2】 如圖2，已知以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC邊于點E.

（1）求證：EB=EC=ED；

（2）試問在線段DC上是否存在點F，滿足BC2=4DF·DC.若存在，作出點F，并予以證明；若不存在，請說明理由.

解析：（1）連結BD、OE，易證EB=EC=ED.

（2）在△DEC中，由于ED=EC，因此∠C=∠CDE.

由三角形內角和定理，有∠DEC=180°-2∠C.

據題意可知∠DEC的大小不確定，點F所在的位置也就無法確定，故需對∠DEC加以分類討論，才能解決這一問題.

①當∠DEC>∠C時，有180°-2∠C>∠C，即當0°<∠C<60°時，在線段DC上存在點F滿足條件.在∠DEC內，以ED為一邊，作∠DEF，使∠DEF=∠C，且EF交DC于點F，則點F即為所求.這是因為由∠CDE=∠EDF，∠C=∠DEF，則有△DEF∽△DCE，DE2=DF·DC，即（12BC ）2=DF·DC，因此BC2=4DF·DC.

②當∠DEC=∠C時，即∠DEC=∠C=60°，此時C點即為滿足條件的F點，于是DF=DC=DE，仍有BC2=4DF·DC.

③當∠DEC<∠C時，即60°<∠C<90°，所作的∠DEF>∠DEC，此時點F在DC的延長線上，故線段DC上不存在滿足條件的點F.

三、所涉及的等腰三角形的底邊不確定

【例3】 已知二次函數y=12x2-x+m的圖象經過點A（-3，6），并與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左邊），P為它的頂點.

（1）試確定m的值；

（2）設點D為線段OC上的一點，且滿足∠DPC=∠BAC，求直線AD的解析式；

（3）在y軸的正半軸上是否存在點M，使△PCM為等腰三角形.若存在，求出所有滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

所以，當t=1.2秒或3秒時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似.

通過分類討論，便于對各種錯綜復雜的情況完整清晰地進行討論和研究，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力，有助于學生思維能力的培養.由于分類討論題具有明顯的邏輯性、綜合性和探索性，體現了“考查數學能力的要求”，所以在中考中有重要的位置.因此教師必須有意識地給予引導，使學生能正確認識分類討論的誘發因素，確定問題的分類標準，進而正確地進行分類討論.

（責任編輯 金 鈴）