談數(shù)學(xué)直覺思維及應(yīng)用

楊光武

直覺思維是人腦對(duì)客觀世界及其關(guān)系的一種非常直接的識(shí)別或猜想的心理狀態(tài).它不是對(duì)事物先作各方面的詳盡分析，按部就班地運(yùn)用邏輯推理，達(dá)到對(duì)事物的認(rèn)識(shí)，而是從整體上對(duì)待對(duì)象，越過思考的中間階段，直接接觸到結(jié)論的一種心智活動(dòng).

直覺思維可分為直覺、靈感和想象.數(shù)學(xué)中的直覺就是人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象及其結(jié)構(gòu)關(guān)系的一種迅速的識(shí)別、直接的理解、綜合的判斷，是對(duì)事物本質(zhì)的一種極為敏銳的深入洞察，也就是對(duì)所探求問題答案的“一眼看穿”，亦是直覺的判斷，也就是百思不得其解時(shí)的一種“茅塞頓開”.但靈感不會(huì)從天而降，它是在一定知識(shí)信息儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上，對(duì)疑難問題久經(jīng)沉思之后的幾種信息之間的突然溝通.想象是人對(duì)腦中已有的表象進(jìn)行加工改造，創(chuàng)造出新形象的過程.它是人腦特有的功能，即使在人們面前并沒有一定的實(shí)物或人工符號(hào)，人們也可以把新的關(guān)系、符號(hào)和事物自由地構(gòu)想出來.在許多情況下，研究者并不能僅僅根據(jù)所面臨的數(shù)據(jù)或信息作出上述的直覺判斷，這時(shí)就需要求助于想象或猜想，才能形成一個(gè)大致的判斷，然后尋找根據(jù)，以證實(shí)自己的初步判斷的正誤.

對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)及其關(guān)系的直覺想象和直覺判斷是數(shù)學(xué)直覺思維的直接本質(zhì).同時(shí)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中直覺想象和直覺判斷是很難截然分開的，兩者常常交替著，有機(jī)地結(jié)合于一個(gè)統(tǒng)一的思維過程中，并且這種交替過程有時(shí)表現(xiàn)得特別迅速，與先前的思維進(jìn)程的關(guān)系更加不清楚，甚至中途出現(xiàn)某種“斷裂”.另外，有時(shí)甚至久思不得其解，但可能借助于某種機(jī)遇而得到啟迪，突如其來地使問題得以澄清，因而形成一種“內(nèi)現(xiàn)”或“頓悟”；有時(shí)伴隨靈感狀態(tài)出現(xiàn)，好像難以預(yù)期，但是它需要一定的主客觀條件，即它是主客觀聯(lián)系的一個(gè)方面，只不過作為認(rèn)識(shí)過程來說，它是一種飛躍.作為客觀條條，必須要有一個(gè)待以解決的數(shù)學(xué)問題，問題的解決也應(yīng)已經(jīng)具備了相當(dāng)?shù)目陀^基礎(chǔ)；作為主觀條件，研究者必須頑強(qiáng)地探索問題的答案，并經(jīng)歷了一段緊張的思考.

數(shù)學(xué)直覺思維具有潛邏輯性和無意識(shí)性特點(diǎn).

數(shù)學(xué)直覺思維的潛邏輯性常常集中表現(xiàn)在兩點(diǎn)上.

首先，與普通邏輯推理的過程相比，它的認(rèn)識(shí)就具有直接性，即如法國著名數(shù)學(xué)家彭加勒（H.poincare.1854-1912）所說：“為直覺所指引的數(shù)學(xué)家不是以步步為營的方式前進(jìn)，他們?cè)诘谝淮纬鰮糁芯脱杆俚搅苏鞣哪康?”

其次，與邏輯（推理）的抽象相反，數(shù)學(xué)直覺思維常常以形象思維形式表現(xiàn)為綜合性，即這時(shí)呈現(xiàn)在人們頭腦中的是一幅整體的圖像，盡管它的某些細(xì)節(jié)可能是模糊的.正是這種特性，我們考慮數(shù)學(xué)問題時(shí)常常畫一個(gè)草圖先從整體上進(jìn)行分析.

無意識(shí)性，主要是指思維過程的非自我意識(shí)性和非明確的目的控制性.

數(shù)學(xué)家對(duì)直覺思維在數(shù)學(xué)研究中的作用十分重視，把它視為數(shù)學(xué)創(chuàng)造的重要工具.彭加勒曾經(jīng)指出：“邏輯是證明的工具，直覺是發(fā)明的工具.”“邏輯可以告訴我們走這條路或那條路保證不遇見任何障礙，但是它不能告訴我們哪一條道路能引導(dǎo)我們到達(dá)目的地.”為此，必須從遠(yuǎn)處瞭望目標(biāo)，教導(dǎo)我們瞭望的本領(lǐng)是直覺.沒有直覺，數(shù)學(xué)家便會(huì)像這樣一個(gè)作家：“他只是按語法寫詩，但是卻毫無思想.”他同時(shí)代的數(shù)學(xué)巨匠希爾伯特（D.Hibert.1862-1943）也曾強(qiáng)調(diào)指出：“數(shù)學(xué)知識(shí)終究是依賴于某種類型的直觀洞察力.”直覺思維之所以受到數(shù)學(xué)家們的高度重視，是因?yàn)樗羞壿嬎季S所不能替代的作用.

直覺體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象及其他研究進(jìn)程的本質(zhì)的、整體的理解，它產(chǎn)生于得到正確研究進(jìn)程的具體構(gòu)想和正確的結(jié)論被證明之前.同時(shí)，憑借直覺，數(shù)學(xué)家們還能判斷出尚待研究的數(shù)學(xué)問題的價(jià)值乃至數(shù)學(xué)發(fā)展的前景.

然而，直覺并非為天才所獨(dú)享，更不如高斯所說，是“上帝的恩惠”.狄多涅就告誡學(xué)生說：“經(jīng)驗(yàn)證明，要達(dá)到這個(gè)目的（指對(duì)所要處理的數(shù)學(xué)對(duì)象有一個(gè)‘可靠的直覺），只能通過長期與所要學(xué)習(xí)的教材打交道，并且不斷嘗試從所有可能的角度去了解它……獲得‘直覺的過程，必須經(jīng)歷一個(gè)純形式，表面理解的時(shí)期，然后逐步將理解、提高、深化.”

怎樣才能增大直覺思維出現(xiàn)的隨機(jī)度呢？利特爾伍德提出：應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)“籠統(tǒng)思考”的藝術(shù).因此，思考數(shù)學(xué)問題要從各個(gè)數(shù)學(xué)片斷的局部結(jié)構(gòu)性聯(lián)系中“集思廣益”，就非得對(duì)它們“鳥瞰”、聯(lián)想不可.同時(shí)，要發(fā)現(xiàn)整體的結(jié)構(gòu)性聯(lián)系，還得沖破各個(gè)數(shù)學(xué)片斷的局部結(jié)構(gòu)性聯(lián)系的思維束縛.

數(shù)學(xué)家們通過長期的實(shí)踐，已逐漸形成獲得數(shù)學(xué)直覺的若干性指導(dǎo)性原則.如，簡單性、統(tǒng)一性、對(duì)稱性和美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)等.數(shù)學(xué)直覺是在這些原則的指導(dǎo)下，通過自覺或不自覺的思維過程逐漸產(chǎn)生的，并不是胡思亂想，盲目臆斷，而是擁有現(xiàn)實(shí)依據(jù)和經(jīng)驗(yàn)依據(jù).在上述直覺思維的指導(dǎo)性原則指導(dǎo)下，有解數(shù)學(xué)題常用入手策略：歸熟、歸間、歸元、歸系、歸形等.

在實(shí)施素質(zhì)教育的今天，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，在打好“三基”的基礎(chǔ)的同時(shí)，更應(yīng)重視能力的培養(yǎng)，全面提高學(xué)生創(chuàng)造精神和創(chuàng)造能力.利用直覺思維的迅捷性，全面提高學(xué)生創(chuàng)造精神和創(chuàng)造能力.利用直覺思維的迅捷性，敏銳的洞察力及具體簡單化聯(lián)想，可以使我們?cè)诮忸}中得到意想不到的效果.

一、歸熟

把生疏的問題盡可能統(tǒng)一到熟悉的領(lǐng)域中去，并加以聯(lián)想得到知識(shí)的縱深意向.