一階線性非齊次微分方程的解法探悉

劉喜梅

摘要：一階非齊次線性微分方程是微分方程組重要組成部分.本文分二章.第一章闡述了它的基本概念.第二章介紹了它的幾種基本解法及例題分析。

關鍵詞：非齊次線性微分方程常數變易法變量代替法

引言

微積分中研究變量的各種函數及函數的微分與積分.這里討論了一階線性非齊次微分方程的幾種解法。

一、一階線性非齊次微分方程的基本概念

定義1[1]：一階線性微分方程dy1dx=P（x）y+Q（x）（1） ，（P（x），Q（x）在考慮區間上是x連續函數） ，若Q（x）=0，（1）變為dy1dx=P（x）y（2）， （2）稱為一階齊次線性微分方程.若Q（x）≠0，（1）稱為一階非齊次線性微分方程。

二、一階線性非齊次微分方程的解法及例題分析

（一） 常數變易法

1.常數變易法概念[2]

現用常數變易法來求（1）解。由（2）是分離變量，得dy1y=P（x）dx積分得ln|y|=∫P（x）dx+c1（c1是任意常數）。由對數定義得y=±ec1e∫P（x）dx，令±ec1=c得y=ce∫P（x）dx，這是（2）的通解，令y=c（x）e∫P（x）dx（3），得dy1dx=dc（x）1dx=e∫P（x）dx+c（x）P（x）e∫P（x）dx（4），由（1）（3）（4）得dc（x）1dx=Q（x）e-∫P（x）dx，即c（x）=∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c（c是任意常數），將上式代入（4），得到方程（1）通解y=e∫P（x）dx∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c，這將常數變易為待定函數的方法，稱常數變易法。

2.伯努利微分方程概念

定義2[3]：形如dy1dx=P（x）y+Q（x）yn方程，稱為伯努利微分方程，這里P（x），Q（x）為x連續函數，n≠0，1是常數，對于y≠0，用y-n乘上式兩邊，得y-ndy1dx=y1-nP（x）+Q（x），引入變量變換z=y1-n，得dz1dx=（1-n）y-ndy1dx由此得dz1dx=（1-n）P（x）z+（1-n）Q（x）（5），這是線性微分方程，可按常數變異法求（5）的通解.n>0時，還有解y=0。

（二）變量代替法

1.變量代替法概念[4]

設y=u（x）v（x）是方程（1）的解，其中u（x）為（2）特解，將y′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）代入（1），得u′（x）v（x）+u（x）v′（x）=P（x）u（x）v（x）+Q（x）

即[u′（x）-P（x）u（x）]+u（x）v′（x）=Q（x）

因u（x）是（2）特解，有u′（x）-P（x）u（x）=0，得u（x）=e∫P（x）dx

對u（x）v′（x）=Q（x）積分，得v（x）=∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c

所以（1）通解為y=e∫P（x）dx∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c

2.變量代替法例題分析

求y′-21x+1y=（x+1）512

解：設y=uv是原方程的解，且u是對應齊次方程特解。

把y′=u′v+uv′代入原方程即得[u′-21x+1u]v+uv′=（x+1）512

由u′-21x+1u=0，得u=（x+1）2由uv′=（x+1）512，得v=213（x+1）312+c

故通解為y=（x+1）2[213（x+1）312+c]

（三）分項可積組合法

1.分項可積組合法概念[5]

該方法是用觀察湊微分，把方程左邊一些項組合成兩個函數乘積的導數，再求解。即用適當函數f（x）乘原方程兩端，把（1）化為f（x）dy1dx=P（x）f（x）y+Q（x）f（x），于是d[f（x）y]1dx=Q（x）f（x），所以f（x）y=∫Q（x）f（x）dx。

2.分項可積組合法例題分析

求y′+2x1x2+1y=4x21x2+1

解：原方程兩端同乘以x2+1，有（x2+1）y′+2xy=4x2，即[（x2+1）y]′=4x2，通解為（x2+1）y=413x3+c。

3.利用積分因子轉化為可積組合法

用觀察法困難時，可先求積分因子u（x）或u（y），在原方程兩端同乘u（x）或u（y），把方程左邊一些項組合為兩個函數之積的導數。

由（1）設N（x，y）=1，M（x，y）=-P（x）y

1）若11NM1y-N1x=φ（x）則u（x）=e∫φ（x）dx

2）若11MM1x-N1y=φ（y）則u（y）=e∫φ（y）dx

4.利用積分因子轉化為可積組合法例題分析

求解y′+ycosx=e-sinx.

解：設N（x，y）=1，M（x，y）=ycosx

有N1x=0，M1y=cosx及11NM1y-N1x=cosx，

得到u（x）=e∫cosxdx=esinx

原方程兩端同乘esinx，得esinxy′+ycosxesinx=1，即esinxy=x+c

（四）簡捷解法

1.簡捷解法定理

定理[6]：若一階線性非齊次微分方程具有如下的形狀：

F（x）dy1dx+F′（x）y=Q（x），它通解為： y=11F（x）∫Q（x）dx

證明：將原方程化為d[F（x）y]=Q（x）dx，兩邊積分得F（x）y=∫Q（x）dx即y=11F（x）∫Q（x）dx

2.簡捷解法例題分析

求解lnxdy1dx+y1x=xlnx

解：利用定理有

y=11lnx∫xlnxdx=11lnx[x212lnx-112∫xdx]=x2112-114lnx+c1lnx

結論