在小學數學教學中滲透極限思想的四個“點”

張衛星

極限思想是微積分的基本思想，用以描述某個無限變化過程的終極狀態，是其他相關數學分支（如復變函數、實變函數）的理論基礎。極限也是人們從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質變的一種數學思想方法，是事物轉化的重要環節。因此，我們可以嘗試挖掘體現極限思想的知識點，在小學數學教學中滲透極限思想。

一、關鍵點——大張旗鼓地滲透

所謂關鍵點，即極限思想是認識一些新知的基礎，沒有對極限思想的感悟，就不可能深刻把握新知的內涵。小學階段這樣的知識點較多，如“圓面積公式”、“循環小數”、“角的認識”等，在教學這些知識點時要及時進行滲透，讓學生在認識新知的同時體驗極限思想的無窮魅力。

如，教學“射線的初步認識”一課時，一位教師經歷了如下教學片斷：

師：請同學們在白紙上畫一條3厘米長的線段，說一說它有什么特點。

生：它是直的，用直尺可以量出長度。

生：它有兩個端點……

師：請同學們在白紙上畫一條5厘米長的直線。

生：好了?。ǖ靡猓?/p>

生：不對！直線是沒有長短的……

師：為什么？

生：因為直線可以向兩邊無限延長。

師：無限延長是什么意思？

生：就是無限的長，沒完沒了的意思……

師：下面請同學們仔細觀察老師的演示。

師：（用紅外線光電筒照在黑板上）請同學們畫出來。

師：（打開窗戶，將紅外線光電筒照射向天空）如果光束沒有受到阻礙的話，請你畫出來……（學生有很多種情況，請學生自己說出自己的理由，交流反饋）

師：這就是我們今天要學的射線，它有什么特點呢？

生：一個端點、直的、可以向一個方向無限延長、不可度量。

師：射線是直線的一半嗎？

生：是的，因為在直線上點一個點，就可以得到兩條射線。

生：不對，它們都是可以無限延長的，所以無法比較，不能說誰是誰的一半……

讓學生一下子認識到圖形的無限性有一定難度，上述教學中，教師通過讓學生自己動手，使其建立起對“線段”、“射線”、“直線”的直觀感悟。在紅外線的演示下，學生輕松建立了對“直線”、“射線”的“無限”的空間感觀。在教師的引領下，學生走出有限的幾何觀念，形成無限的幾何觀念，既認識了新知，又感悟到極限思想的巨大價值。

二、細微點——潛移默化地滲透

所謂細微點，就是有一些知識點可以涉及極限思想，也可以不涉及極限思想，但如果涉及極限思想，就可以讓學生得到更深刻的認識。對于這些知識點，需要教師教學智慧、教學經驗的支撐，更需要教師主觀意愿的支撐。如果教師能夠把握這些知識點，并進行潛移默化的滲透，就可以讓學生體驗極限的內涵，提升其數學素養，使其對數學本質的認識更加到位。

如，教學“分數的意義和性質”單元復習課時，一位教師在學生掌握分數大小的基本比較方法后，設計了如下幾個有價值的數學問題：

師：你能舉出一個比 要小，但又與 很接近的分數嗎？

這一問題激起學生的積極聯想，很快地舉出了 、 ……

教師指著投影上表示 的數軸提問：你們剛才所舉的數，如果在數軸上表示出來，應該在哪兒呢？

教師這一問題使學生感受到這些數與表示的點越來越近了，但始終還在 的左邊。

師：下面請同學們舉出比 大，但又很接近 的數。

這時學生受到上一環節方法的影響，很快地聯想到 、 ……

師：剛才大家所舉的分數都在 右邊，而且與 越來越接近。現在能否舉出離 略遠一些，但又小于1的分數呢？

這時學生想到“1”可以表示分子、分母相同的數，再結合把 的分子與分母同時乘相同的數。如果學生想到 =1，把分子減去1得到 ，而 > 。教師引導學生依次進行聯想，學生先后得到 、 、 ……

師：剛才我們聯想到的分數都比1要小，那比1要小的分數，我們又叫它什么數呢？

生：真分數。（師板書：真分數<1）

師：你們還能聯想到假分數，舉出假分數嗎？

隨著學生的聯想，師板書：假分數≥1。

上述教學環節，教師利用幾個問題引導學生圍繞著 展開大數、小數的聯想。學生的聯想不僅是對數與數之間的聯想，而且還借助數軸，形象地描述了點與數對應的關系。通過這樣的聯想，學生進一步認識到任何不同的兩數之間存在著無窮多個數（數軸兩個不同的點之間有無數個點），也進一步認識到要向一個數無限地靠近，可以利用分數的基本性質把一個分數的分子與分母不斷地去乘一個比較大的數，然后把這個分數的分子減去1或加上1，就可以得到與這個數很靠近的數，這就是極限思想的滲透。這種滲透需要教師的精心預設并刻意引導，但對學生來說卻是潛移默化的。

三、關節點——深入淺出地滲透

所謂關節點，就是各知識點聯結的地方。因此，關節點往往在復習課內碰到。復習課就是把平時相對獨立進行教學的知識，特別是其中帶有規律性的知識，以再現、整理、歸納等辦法串起來，進而加深學生對知識的理解、溝通，并使之條理化、系統化。而能把這些知識串起來的主線往往就是知識的關節點。如果關節點蘊含極限思想，我們就要進行深入淺出地滲透。為此，在上復習課時教師首先要厘清知識之間的內在聯系，然后捕捉它們之間蘊含的極限思想，最后有計劃地加以滲透。

如，教學六年級下冊“平面圖形的整理與復習”一課時，我們可以以梯形的面積公式為核心，將其他各個圖形聯系起來，從而使學生建立更為豐富和合理的認知結構。以梯形為核心進行梳理的主要手段可以借助極限思想將公式進行聯絡。利用極限思想得到三角形的面積計算公式，方法是讓梯形的上底趨于0，梯形即趨于三角形，梯形的面積計算公式當上底趨于0時的極限就是三角形的面積計算公式。我們甚至可以把長方形、正方形、平行四邊形面積計算公式都看成是梯形面積計算公式的極限形式。于是，可以構建出圖1所示的知識網絡系統。

圖1

可見，在關節點滲透極限思想是教師深思熟慮的結果，可以更好地完善學生的認知結構。

四、枝節點——有理有據地滲透

所謂枝節點，即在新課鞏固環節需要對一些知識進行強化的點。因此，枝節點往往在新課練習中體現。一些教師在練習設計時往往側重于對基礎知識的鞏固，針對培養學生數學思想方法的練習題則相對較少。然而，學生的數學思想是靠不斷地積累、不斷地運用形成的，能夠自主運用數學思想解決問題是學生數學素養的高水平體現，它應該貫穿于數學學習的始終。練習作為學生數學學習的重要環節，也應該承擔這方面的任務。因此，教師在設計練習題時要根據數學知識的特點，有理有據地滲透極限思想。

如，教學“商不變性質”時，一位教師經歷了如下教學片斷：

師出示：（32÷□）÷（8÷□）=4。

師：這題怎么填？

生：填4。

師：有不同答案嗎？

生：1。

生：可填1～9各數。

生：可填任何數，只要相同就行。

師：你們明白他的意思嗎？

生：除0外的任何數都可以。

生：除0外任何相同的兩個數。

……

如果僅從解題的角度看，上述這道題，學生很容易找到答案，而且費時不會太多，但學生卻得不到此題的精髓，也就是題中所包含的規律，所體現的數學思想。因此，教師應想辦法讓學生自己挖掘出這些規律和思想?！坝胁煌拇鸢竼?？”激起了學生的思維欲望，思路迅速打開，從而使學生感受到答案的無窮，而答案的無窮也就是極限思想的具體表現，可以使學生頭腦中產生朦朧的極限定義。當然，這種無窮是商不變性質的本質體現?？梢?，在枝節點滲透極限思想，可以讓學生更好地、有理有據地認識數學的本質。

總之，極限思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是對數學知識的本質反映，是知識向能力轉化的紐帶。在小學數學教材中，能夠體現數學極限思想方法的素材極為廣泛，教師在教學中應潛心挖掘，并抓住適當的時機進行滲透。這樣，學生沉淀下來的就不只是數學知識，更主要的是一種數學素養，為他們以后建構新的數學知識體系夯實了基礎。

責任編輯：趙關榮