數學思想方法在小學數學中的基本應用

陳華忠

數學思想方法是處理數學問題的指導思想和基本策略。引導學生理解和掌握以數學知識為載體的數學思想方法，是提高學生思維水平、建立科學的數學觀念、發展和運用數學的重要保證。下面介紹幾種常用的數學思想方法及其在教學中的運用。

一、符號化思想

華羅庚說過：“數學的特點是抽象，正因為如此，用符號表示就更具有廣泛的應用性與優越性。”用符號化的語言（包括字母、數字、圖形和各種特定的符號）來描述數學的內容，這就是符號思想。數學中各種量的關系、量的變化以及量與量之間的推導和演算，都是通過用字母表示數，以符號的濃縮形式來表達大量的信息，把復雜的語言文字敘述用簡潔明了的字母公式表示出來，這樣的處理便于理解，便于記憶，便于運用。

如教學“數學廣角——排列組合”時，某老師設計了這樣一個環節，在學生初步能夠表示多種搭配方案后，出示生活中的例子：衣服搭配、早餐搭配，讓學生用自己喜歡的方式把搭配方案表示出來。教學過程中，教師要適時引導學生運用語言、符號來描述自己的思維過程，并通過語義互譯，滲透符號化思想，給抽象思維過程以簡約、概括、直觀的表征，讓學生體驗符號化的優勢。

二、轉化思想

在數學教學中，解決數學問題往往不是直接解決原問題，而是將原問題進行變換，使其轉化為一個或幾個已經能夠解決的問題，這種思想叫做轉化思想。與原問題相比，利用轉化得到的新問題是學生能夠解決的或較容易解決的。所以，轉化目的是化繁為簡、化難為易、化未知為已知。

如，一位教師創設買東西的情境來教學“小數乘整數”。

師：同學們從情境圖中收集到哪些信息？要求什么問題？

生：王阿姨買了3塊蛋糕，每塊蛋糕1.2元。要求3塊蛋糕多少元？

師：怎么列式？

生：1.2×3。

師：1.2×3，怎么算？

生：老師還沒有教過。

師：大家能聯系自己學過的知識，先想一想，再嘗試地算一算嗎？誰來說一說？

生1：1.2×3就是3個1.2相加，1.2+1.2+1.2=3.6（元）。

生2：1.2元=12角，12×3=36（角），36角=3.6元。

師：同學們可真了不起，想出了這么好的辦法來解決這個新問題。老師聽出來了，在不知不覺中你們都把新問題轉化成了舊知識。（板書：新問題——舊知識）

師：把新問題轉化成已經學過的舊知識，這種方法就是轉化法。它是我們學習數學經常要用到的一種好方法，它是將需要解決的問題轉化為已經學過的舊知識，最后達到解決問題的一種方法。即通過引導學生應用以前所學過的小數加法和元、角的知識，將未知化為已知，從而體驗“轉化”思想在解決新問題中的價值。

三、假設思想

假設是一種常用的推測性的數學思想方法。小學數學解題中，有些問題的數量關系比較隱蔽，難以建立數量之間的聯系，或數量關系抽象，無從下手。這時，可以根據問題的具體情況合理假設，由此得出一些關系和結論，產生差異與矛盾，通過分析與思考，找出差異的原因，使復雜問題簡單化，數量關系明朗化，從而達到解決問題的目的。

如：養雞場分三次把一批肉雞投放市場，第一次賣出的比總數的 多100只，第二次賣出的比總數的 少120只，第三次賣出320只。這批雞共有多少只？

這道題的特點是分率后面還有個具體數量，給思考帶來麻煩。解答時可以假設沒有后面的具體數量，去零為整，這樣便于思考。假設第一次正好賣出總數的 ，把多的100只放在第三次賣出，即第三次要多賣出100只；假設第二次正好賣出總數的 ，那么少的120只需要從第三次取來，即第三次要少賣出120只。這樣，第三次賣出的只數是320+100-120=300（只）。由此可求出這批雞共有300÷（1- - ）=1050（只）。

四、模型思想

《數學課標》指出，“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。”教師在滲透“模型思想”時，應注意以下幾個問題：1.小學階段的基本數學模型主要有“加法模型”、“乘法模型”、“函數模型”、“方程模型”，其中，“加法模型”可以推演出“減法模型”，“乘法模型”可以推演出“除法模型”，“函數模型”主要表現在周長公式、面積公式、體積公式以及“路程=速度×時間”“總價=單價×數量”等關系式中。2.隨著數學學習的深入，“模型思想”的重要性表現更為明顯，更多體現在生活問題數學化的過程中，是解決生活實際問題以及數學學科發展的重要思想。小學階段所學知識是最基礎的數學知識，因此“模型思想”只要求初步滲透。3.模型思想包括建立模型和求解模型兩個部分，其中，建立模型是從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、函數等模型，是生活問題或具體情景的數學化過程，求解模型是數學問題解決的過程。

因此，教師要根據學生的認知水平和生活經驗，重視生活問題的抽象概括和數學化的過程，為模型思想的初步滲透和建立奠定思維基礎。在“數的運算”教學中，可以進行“加法模型”“乘法模型”等思想的滲透；在周長、面積、體積等知識教學中，可以進行“函數模型”思想的滲透；在簡易方程知識的教學中，可以進行“方程模型”思想的滲透等。

五、極限思想

極限是用來描述變量在一定變化過程中的終極狀態的概念，極限思想為數學的發展提供了強有力的思想武器。

如教學“圓的面積”時，教師比較注重對學生滲透極限思想，讓學生體會到“化圓為方”、“化曲為直”的數學方法。學生在經歷圓面積計算公式的推導過程中，通過教師點撥引導，大膽放手讓學生自主探究，合作交流，大部分學生都是先把圓分成相等的兩部分，然后把兩個半圓8等分，12等分，16等分等，并把它剪開，再拼湊成近似于平行四邊形或長方形的圖形。推導過程是學生通過動手操作、小組合作交流得出來的。最后運用課件演示進行驗證，突出如果把圓64等分、128等分以及更多等分，讓學生感受到這是一種用“無限逼近”的方法來推導圓的面積計算公式，感受到把圓等分的份數越多，“弧”就越接近于“直”，拼成的圖形越接近于長方形或平行四邊形。這時長方形或平行四邊形的面積就越接近圓的面積，從而使學生初步感受“無限”思想。

六、對應思想

對應思想是人們對兩個集合元素之間的聯系的一種思想方法，是解答實際問題的常見方法。小學數學一般是一一對應的直觀圖表，并以此孕伏函數思想。在“數的認識”教學中，可以運用“一一對應”的方法培養學生的對應意識，逐步形成對應的數學思想。

如教學“用分數知識解決問題”時，抓準分率與具體量的對應關系是解答的關鍵。用分數知識解決問題的數量關系比較抽象，必須充分利用半具體半抽象的線段圖作為解題工具。通過線段圖幫助，明確誰是單位“1”，誰是對應分率，從而幫助學生理清思路，找到解題線索，有利于發展學生的邏輯思維能力。如：小新看一本120頁的故事書，第一天看了總頁數的 ，第二天看總頁數的 ，___________？（讓學生提出問題并列式解決）

顯然，分率 對應的是第一天看的頁數；分率 對應的是第二天看的頁數；分率（ + ）對應的是前兩天看的頁數；分率（1- - ）對應的是還剩下的頁數。

為此，教師在教學中要有意識地滲透對應思想，增強學生的對應意識。只有學生掌握了對應的思想方法，無論用分數知識解決問題的條件如何變化，都能認清題目中的量與率的對應關系，找到解決問題的途徑與方法，為解決實際問題奠定基礎。

七、函數思想

運動、變化是客觀事物的本質屬性。函數思想的可貴之處就在于它是用運動、變化的觀點去反映客觀事物數量間的相互聯系和內在規律。學生對函數概念的理解有一個過程，教學中教師在處理一些問題時就要做到心中有函數思想，注意滲透函數思想。

如讓學生觀察“20以內進位加法表”，發現加數的變化引起和的變化的規律等都較好地滲透了函數思想。在低年級教材里，如一個加數不變時，“和”隨“另一個加數”變化而變化，也是找出其對應關系。六年級正、反比例這部分內容更是集中滲透了函數的概念。教師處理這部分教材時，應通過畫圖、列表等直觀形式，畫龍點睛地強調量的“變化”，突出“兩種相關聯的量”之間的對應關系，幫助學生形成初步的函數概念。為此，在教學中滲透函數思想的內容時，可以這樣安排：先讓學生獨立計算，然后指名匯報，師生訂正，接著再引導學生認真觀察比較，發現有什么規律，答案的變化是怎樣引起的？通過觀察對比，讓學生體會“當一個數變化，另一個數不變時，得數變化是有規律的”，這樣，函數思想就自然而然地滲透在其中。

八、分類思想

依據數學研究對象本質屬性的相同點和差異點，將數學對象分為不同種類的數學思想叫做分類思想。“物以類聚，人以群分”，將事物進行分類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法叫做分類討論。

分類思想是自然科學乃至社會科學研究中經常用到的，又叫做邏輯劃分。不論從宏觀上還是從微觀上對研究對象進行分類，都是深化研究對象、發展科學必不可少的思想。因此分類討論既是一種邏輯方法，也是一種數學思想。數學中的分類思想具有兩個特性：1.統一性。要進行分類首先必須將對象視為統一整體，然后進行分類；或者通過分類，指出對象間某種共同的聯系，進而表現出其統一的屬性。2.差異性。分類不僅揭示了對象的整體統一性，也刻畫了它們的個體差異性，這種差異性才使得不同對象得以區別，分類得以實現。

責任編輯：趙關榮