新課標高考中運算能力考查的特點分析

王戰普

摘要：新課標高考以能力立意，運算能力是思維能力和運算技能的結合，本文結合高考試題分析運算能力的考查特點，即更側重與考查包括分析運算條件、研究運算方向、選擇運算公式、確定運算路徑等一系列過程中的思維能力。

關鍵詞：新課標高考；運算能力

新課程數學高考，更加重視對能力的要求，強調“能力立意”而非“知識立意”。以“能力立意”為統領的命題技術最大的特點是在考察學生基礎知識的同時，將學生大腦中依附于數學知識的數學能力由淺入深展示出來。新課標強調五種能力兩種意識，運算求解能力是其中之一。

運算能力是思維能力和運算技能的結合。運算能力的核心包括合理、準確、熟練、簡潔四個維度，而準確是運算的基本要求，也是最低層次的要求；運算的熟練，屬于技能的范疇。新課標高考更側重與考查包括分析運算條件、研究運算方向、選擇運算公式、確定運算路徑等一系列過程中的思維能力，以及在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力，即重在運算策略的選擇。

運算能力的考察在新課程背景下主要集中在復數、三角函數恒等變換、數列、解析幾何四部分，以近三年的高考試題為例展開說明：

一、復數

復數在高考中通常是考察復數的概念、復數的幾何意義和復數的四則運算。在能力立意的背景下，復數又逐漸承擔了考察運算能力的功能。

例1（2011年新課標全國卷第1題）復數■的共軛復數是（ ）。

A.-■i B.■i C.-i D.i

解：解法一：■=■=i，共軛復數為-i，故選C

解法二：■=■=i，共軛復數為-i，故選C。

分析：試題中的復數精心設計，設計為分子和分母有一定的關系，以此來考查考生的觀察能力和優化解題過程的能力。試題的設計使對基礎知識的考查和能力的考查巧妙結合，滿足了不同基礎和能力的考生的需求，彰顯了新課標的理念。解法一學生可能要30秒，而解法二只需2秒，節約了時間，時間就是考試的生命，準確提高質量，就能贏得更高的分數。

二、三角函數恒等變換

三角恒等變換的定位其中之一就是對學生進行恒等變形的訓練，就是把復雜的關系用簡單的形式表示出來。由于三角函數恒等變換公式較多，這一部分的試題常常新穎別致，解法靈活多樣，既考察學生的基礎知識，又能考查考生是否能根據問題的條件，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑。

例2（2010年新課程全國卷第9題）若，cosα=-■，α是第三象限的角，則■=（ ）。

A.-■ B.■ C.2 D.-2

解法一：由cos2■=■，sin2■=■，得tan2■=■=9

因為α是第三象限的角，則■是第二象限或第四象限的角，所以tan■=-3，原式=-■

解法二：tanα=■tanα=■，解得tan■=-3，tan■=■

因為α是第三象限的角，則■是第二象限或第四象限的角，所以tan■=-3，原式=-■

解法三：由tan■=■=■=■=-3則■=-■

解法四：■=■=■=■=-■

分析：解法一、二常規但很繁瑣，解法三較抓住了tan■與cosα，sinα之間的關系，簡化了求半角的過程；解法四抓住了目標式子的結構特征得到了簡化。學生必須探究并確定運算的方向，恰當選取運算公式和知識點，最終確定自己的求解程序，不同的學生構造了不同的解題流程，顯示出學生對知識的深層把握。優秀的學生能夠設計簡潔流暢的思路，減少了運算量，當然也就減少了出錯的可能性。

三、數列

數列在舊大綱中主要以壓軸試題出現，考察學生的邏輯推理能力，運算能力和綜合運用知識的能力，新課標背景下，數列的定位是作為一類特殊的函數有著廣泛的應用和提高學生的恒等變換的能力。

例3（2012年新課標全國卷理16）數列{an}滿足an+1+（-1）nan，=2n-1，則{an}的前60項和為 。

解法一：令a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5，a5+a4=7，a6-a5=9，a7+a6=11，…a59+a58=115，a60-a59=117，n為奇數時的30個式子相加可得S偶-S奇=1770

又a4+a2=a4-a3+a3+a2=8，同理可推出a8+a6=24，…a60+a58=232

S偶=1800，S奇=30，前60項的和為1830。

解法二：a1=a1，a2=1+a1，a3=2-a1，a4=7-a1，a5=a1，a6=9+a1，a7=2-a1，a8=15-a1……由于，S4=10，S8-S4=26，S12-S8=42，…，所以S4k-S4（k-1）是以10為首項，16為公差的等差數列因為求S60，所以共有15項，S60=15×S4+■×15×14×16=1830

解法三：令a1=1，a2=2，a3=1，a4=6，a5=1，a10=10，a7=1，a8=14，…猜想每逢奇數項都1，偶數項為首項為2，公差為4的等差數列，故結果為1830。

分析：通過賦值，把n=1到n=60都列了出來，再進行歸納，是最容易想到的運算思路，此為解法一；題目條件以遞推的形式給出但是缺少首項，根據解題經驗可以用首項去表示后面所有項，再發現規律，此為解法二；沒有給首項，即與首項值沒有關系，給a1賦特殊值即可，此為解法三。此題考查的知識點很少，把運算技能和思維能力作為考查的重點。

四、解析幾何

解析幾何試題因其計算量大，綜合性強，成了歷年來學生感到困難的試題。新課標的解析幾何試題正逐步淡化特殊技巧，注重通性通法，盡量控制試題的運算量，而增加思維量，即“少考算，多考想”。2012年的高考試題很好體現了這一點。

例4（2012新課標全國卷理20）設拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點為F，準線為l，A∈C，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點；

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面積為4■；求P的值及圓F的方程；

（2）若A，B，F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值.

解：（1）由對稱性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2P，點A到準線l的距離，d=|FA|=|FB|=■P，S△ABD=4■？圳■×|BD|×d=4■？圳P=2

圓F的方程為x2+（y-1）2=8

（2）由對稱性設，則A（x0，■）（x0>0），則F（0，■）

點A，B關于點F對稱得：B（-x0，P-■）？圯P-■=-■？圳x02=3P2

得：A（■P，■），直線m：y=■x+■？圳x-■y+■=0

x2=2py？圳y=■？圯y′=■=■？圯x=■P？圯切點P（■，■）

直線n：y-■=■（x-■）？圳x-■y+■P=0

坐標原點到m，n距離的比值為■：■=3

分析：不難看出整個試題的運算量不大，本題改變以往第一問簡答的模式，兩問都需要分析條件，找到運算的途徑。第一問，是用S=■×底×高，或者是S=■absinc，根據題意應選擇公式S=■×底×高，那個邊為底？就需要考生分析研究△BFD，結合圖象信息，不難得出△BFD是等腰直角三角形，面積自然表達出來了；第二問求“坐標原點到距離的比值”需要確定直線的方程，運算的路徑是從“三點在同一直線m上”這個信息得出A的坐標，進而求兩條直線的方程。

從上面的列舉的試題來看，運算能力的考察不是單一進行的，而是和思維能力和運算技能相結合，選取合理簡潔的路徑是運算能力的考查的重點，集中體現在函數、方程、不等式的綜合，向量與解析幾何這兩類題中。這就需要我們在高三復習中，不但要正確解決問題，而且要嘗試從不同的角度去解決問題，優化解題思路，挖掘解題的深層規律，掌握知識的核心，從而達到高考要求的合理、準確、熟練、簡潔四個維度。

【責編 張偉飛】