利用定積分證明不等式

王小林

摘要：在中學和大學的教學中，關于不等式的證明方法，已有較多的人做了研究，較詳細地介紹了證明不等式的若干種常用的方法，筆者在教學中發現，結合利用定積分的幾何意義和平面圖形的面積大小關系，來證明某些不等式，學生更容易理解，證明過程也更簡單。

關鍵詞：定積分；證明；不等式

利用定積分證明不等式，主要是利用定積分的幾何意義和平面圖形的面積大小關系建立不等關系，進而證明不等式。

一、用定積分證明代數不等式

例1.證明x>0時，■<1n（1+x）

原高等數學教材中通常利用拉格朗日中值定理來證明這個不等式，方法如下：

證明：首先取函數f（x）=1n（1+x），并取閉區間[0，x]

顯然f（x）在[0，x]上滿足拉格朗日中值定理的條件

于是有f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0）（0<ξ

因為f（0）=0，f′（x）=■故上式即為

1n（1+x）=■（0<ξ

由于0<ξ

x>0時，■<1n（1+x）

對上述證明過程，部分數學基礎較差的學生總是覺得難于理解，為什么要取函數f（x）=1n（1+x），并取閉區間[0，x]，使用拉格朗日中值定理得出的結論還要作替換才能找到不等關系。

二、用定積分證明數列不等式

例2.求證1+■+■+…+■<2-■（n∈N，n≥2）

證明：函數y=■（x>0）是單調遞減的函數，其圖形如圖1所示，在曲線y=■上取兩點C（k，■）和Dk+1，■，再分別過這兩點引x軸的垂線，觀察圖形，矩形ABDE的面積<梯形ABDC的面積，AB=1，BD=■，于是

■<■■dx<（k=1，2，…n-1）

上面各式兩邊相加得到■+■+■+…+■<■■dx

所以■+■+■+…+■<-■+1，

故1+■+■+■+…+■<2-■

事實上，對函數y=■（x>0，P>0，且P≠1）來說，具有與圖1類似的圖形，

矩形ABDE的面積<梯形ABDC的面積<梯形ABDC的面積，

于是有不等式■<■■<■■+■，（k=1，2，3…，n-1）

以上各式兩邊相加，并記1+■+■+…+■=Sn，得到，

Sn-1<■x-pdx<■（2Sn-1-■），

Sn<■（n1-p-p）<■（1-■）+Sn，

當p=2時，就證明了例題2

當p=■時得不等式2■-1<■-■+Sn，于是Sn>2■+■-1■，由于n>1，■+■-1■>0

于是得不等式1+■+■+…+■>■（n>1）

三、利用函數y=xp-1（x>0，p>1）的定積分，來證明著名的Young不等式

例3.設a≥0，b≥0，■+■=1即（q=■），則有ab≤■+■（p>1）

證明：函數y=xp-1（p>1）在x>0時是單調遞增的（如圖2所示）

取x軸上點A（a，0），y軸上點B（0，b），

過點A引x軸的垂線，交曲線于y=xp-1于E，

過點B引y軸的垂線，交曲線于y=xp-1于D，

交線段AE于C，則矩形OACB的面積≤曲邊梯形OAE的面積+曲邊梯形ODB的面積，

又由y=xp-1得x=y■

于是ab≤■xp-1dx+■y■dy

積分得，ab≤■+■b■，而q=■

所以ab≤■+■

特別地，取p=q=2，得到a2+b2≥2ab。

參考文獻：

1.《高等數學》（工程類），陳如邦，高等教育出版社，2011年5月

2.《數學分析》，吉米多維奇

3.《試論解數學題中的轉化》，陳志云，數學通訊，1990年12月

【責編 張偉飛】