一元二次方程求解新方法在高等數學中的應用

張文哲

【摘要】求解一元二次方程的新方法最近已經被提出，相較于不容易記憶的求根公式，該方法利用了韋達定理和平方差公式.本文將討論這種方法帶給高等數學相關問題求解的影響，并發現使用這種新方法對問題進行推導時，過程有所簡化，更有利于學生學習.

【關鍵詞】一元二次方程;高等數學;數學教育;問題求解

一、引 言

一元二次方程的求解已在初等數學中討論過，如果方程為整系數，可采取觀察法，先因式分解再求解，比如“十字相乘法”;如果湊不出整數因子，通常會將方程進行適當變形，然后依據完全平方公式進行配方，再開方降次求根.盡管一元二次方程有求根公式，但不太容易記憶，最近PoShen Loh[1]（羅博深）提出了一種求解一元二次方程的新方法，該方法使用韋達定理（根與系數之間的關系）和平方差公式，既避免了配方法由于出現分母使得計算量增大的問題，又不用去記憶求根公式，從而簡化了計算過程.

在高等數學學習中，也會遇到一元二次方程的求解問題，如果利用新的方法來求解，我們可以看到它帶來的變化.

二、一元二次方程的新解法

PoShen Loh（羅博深）利用根與系數的關系以及平方差公式提出了求解一元二次方程的新公式.我們先將方程ax2+bx+c=0（a≠0）化為x2+bax+ca=0，由韋達定理，兩根之和為-ba，兩根之積為ca.PoShen Loh（羅博深）由方程的兩個根可為-b2a±z的形式，其中z為所求未知數，而又有-b2a+z-b2a-z=ca，考慮復數域C上的解，可得z的形式為z=±b2-4ac2a.該方法使得學生不需記憶求根公式，同時也避免了使用配方法由于出現分母所導致的計算量較大的問題.

三、一元二次方程的新解法在微分中值定理中的應用

考慮多項式函數f（x）=ax3+bx2+cx+d在閉區間[m，n]上的情形，其中a，b，c，d，m，n均為常數，且a≠0，m

由定理知，至少有一個ξ（m<ξ

由拉格朗日中值定理，有f（n）-f（m）=f′（ξ）（n-m），

經過適當變形，問題歸結為解方程：

3aξ2+2bξ-（an2+anm+am2+bn+bm）=0（m<ξ

-b3a+z-b3a-z=-an2+anm+am2+bn+bm3a，

從而可得

b29a2-z2=-an2+anm+am2+bn+bm3a，

由拉格朗日中值定理可知存在實數解，從而有

z=±b2+3a2n2+3a2nm+3a2m2+3abn+3abm3a，

從而有兩個根：

ξ1=-b3a+b2+3a2n2+3a2nm+3a2m2+3abn+3abm3a，

ξ2=-b3a-b2+3a2n2+3a2nm+3a2m2+3abn+3abm3a，

則由開區間（m，n）可確定ξ.

四、一元二次方程的新解法在函數單調性與曲線凹凸性中的應用

1.新解法在函數單調性中的應用

考慮函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），有導數f′（x）=3ax2+2bx+c.

考慮方程f′（x）=3ax2+2bx+c=0，因為a≠0，從而有3ax2+2b3ax+c3a=0，因此方程根的形式為-b3a±z，進而-b3a+z-b3a-z=c3a，可得b29a2-z2=c3a，z2=b2-3ac9a2.

當b2-3ac≤0時，若a>0，則f′（x）≥0，函數在定義域（-∞，+∞）內單調增加;若a<0，則f′（x）≤0，函數在定義域（-∞，+∞）內單調減少.

當b2-3ac>0時，解得z=±b2-3ac3a，從而f′（x）有兩個根x1=-b+b2-3ac3a和x2=-b-b2-3ac3a.

考慮函數f（x）的二階導數f″（x）=6ax+2b，將根的形式-b3a±z代入，有f″（x1）=b2-3ac3a，f″（x2）=-b2-3ac3a.

因為b2-3ac>0，所以f″（x1）≠0，f″（x2）≠0.

從而，若a>0，則x1>x2，函數f（x）在（-∞，x2）內單調增加，在x2，x1上單調減少，在x1，+∞內單調增加，且f″（x1）>0，f″（x2）<0，由第二充分條件，知函數f（x）在x1處取極小值，在x2處取極大值;若a<0，則x2>x1，函數f（x）在（-∞，x1）內單調增加，在[x1，x2]上單調減少，在（x2，+∞）內單調增加，且f″（x1）<0，f″（x2）>0，由第二充分條件，知函數f（x）在x1處取極大值，在x2處取極小值.

2.新解法在曲線凹凸性中的應用

考慮函數

f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+n（a≠0），x∈（-∞，+∞），

一階導數f′（x）=4ax3+3bx2+2cx+d，

二階導數f″（x）=12ax2+6bx+2c.

二階導數f″（x）=12ax2+b2ax+c6a，考慮方程f″（x）=0.

不妨假設方程的根為-b4a±z，

由根與系數的關系，

有-b4a+z-b4a-z=c6a.

當3b2-8ac≤0時，若a>0，則f″（x）>0x≠-b4a，函數f（x）在定義域（-∞，+∞）內的圖形是凹的;若a<0，則f″（x）<0x≠-b4a，函數在定義域（-∞，+∞）內的圖形是凸的.

當3b2-8ac>0時，z=±3b2-8ac43a，從而f″（x）=0有解：

x1=-b4a+3b2-8ac43a，x2=-b4a-3b2-8ac43a.

若a>0，則x1>x2，函數f（x）在（-∞，x2）內圖形是凹的，在x2，x1上是凸的，在x1，+∞內是凹的;若a<0，則x1

五、一元二次方程的新解法在常微分方程中的應用

考慮二階常系數齊次線性微分方程y″+py′+qy=0，其中p，q是常數.

通過具體的實例來看一元二次方程的新解法的應用.

例1 求微分方程4y″-20y′+25y=0的通解.

解 由特征方程為4λ2-20λ+25=0，可得λ2-5λ+254=0，特征方程的解為52±z，從而有52+z52-z=254，得到z=0，因此特征方程有兩個相等的實根λ1=λ2=52，因此所求微分方程的通解為y=（C1+C2x）e52x.

例2 求微分方程y″+6y′+13y=0的通解.

解 該微分方程的特征方程為λ2+6λ+13=0，由此可得特征方程的解為-3±z，從而有（-3+z）（-3-z）=13，得到z=±2i，因此特征方程有一對共軛復根λ1=-3+2i，λ2=-3-2i，因此所求微分方程的通解為y=e-3x（C1cos 2x+C2sin 2x）.

例3 求微分方程3y″+11y′+10y=0的通解.

解 對應特征方程為3λ2+11λ+10=0，可得λ2+113λ+103=0，其解為-116±z，從而有-116+z-116-z=103，得到z=±16，因此特征方程有兩個不相等的實根λ1=-53，λ2=-2. 因此微分方程的通解為y=C1e-53x+C2e-2x.

六、結 語

本文討論了一元二次方程的理論在高等數學當中的應用，包括微分中值定理、函數單調性與曲線凹凸性以及二階常系數齊次線性微分方程.可以發現PoShen Loh（羅博深）的方法可以幫助我們更加簡單明確地求解一元二次方程，能夠簡化高等數學當中相關問題的推導，我們也在具體教學過程中進行了嘗試，發現不僅有利于學生的學習，更能激發其學習興趣.

【參考文獻】

[1]Loh P S.A Simple Proof of the Quadratic Formula[J].arXiv，1910.06709，2019.

[2]同濟大學數學系.高等數學：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]一泓.條條大路通羅馬：一元二次方程的新解法[J].初中生數學學習，2001（30）：41-44.