例說初中數(shù)學(xué)難題的解題技巧和專題訓(xùn)練

梁桂清

初中數(shù)學(xué)考試，一般都把試題分為容易題（基礎(chǔ)題），中檔題以及難題。近年初中數(shù)學(xué)考試中，難題一般都占全卷總分的四分之一，難題不突破，學(xué)生是很難取得考試好成績的。

初中數(shù)學(xué)考試中的難題主要有以下幾種：1、思維要求有一定深度或技巧性較強(qiáng)的題目。2、題意新或解題或解題思路新的題目。3、探究性或開放性的數(shù)學(xué)。

針對不同題型要有不同的教學(xué)策略，無論解哪種題型的數(shù)學(xué)題，都要求學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本的解題技能（對數(shù)學(xué)概念的較好理解，對定理公式的理解，對定理公式的證明的理解；能很熟練迅速地解答出直接運(yùn)用定理公式的基礎(chǔ)題），所以對學(xué)生進(jìn)行“雙基”訓(xùn)練很必要。當(dāng)然，初三畢業(yè)復(fù)習(xí)第一階段都是進(jìn)行“雙基”訓(xùn)練，但要使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識把握得深化和基本技能得到強(qiáng)化，復(fù)習(xí)效果才好。

多年教學(xué)實(shí)踐證明，針對難題進(jìn)行專題復(fù)習(xí)是很有必要的，只要復(fù)習(xí)得好，對中等以上學(xué)生解難題的能力的提高作用是較大的。對此，我在第二階段復(fù)習(xí)中要對學(xué)生針對難題進(jìn)行思維能力的訓(xùn)練和思路拓寬的訓(xùn)練。當(dāng)然，這種訓(xùn)練也要針對學(xué)生的“雙基”情況和數(shù)學(xué)題型，這種訓(xùn)練要注意題目的選擇，不只針對考試，也要針對學(xué)生思維的不足，一定量的訓(xùn)練是必要的，但要給出足夠的時(shí)間給學(xué)生進(jìn)行解題方法和思路的反思和總結(jié)，只有多反思總結(jié)，學(xué)生的解題能力才能提高。老師要注重引導(dǎo)，不能以自己的思路代替學(xué)生的思路，因?yàn)槊總€(gè)人解決問題的方法是不一定相同的。

初中數(shù)學(xué)試題命題者的命題目的是考查我們初中畢業(yè)的學(xué)對初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握情況，試題當(dāng)然都離不開初中的基礎(chǔ)知識。所謂難題，只是籠上幾層面紗，使我們不容易看到它的真面目。我們老師的任務(wù)就是教會(huì)我們的學(xué)生去揭開那些看起來神秘的面紗，把握它的真面目。敘述已經(jīng)掌握了所有初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，有一定的解題技能，只要我們對學(xué)生的引導(dǎo)和訓(xùn)練得當(dāng)，我們的學(xué)生一定能在考場上取勝。

對難題進(jìn)行分類專題復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)該把重點(diǎn)放在對學(xué)生進(jìn)行對數(shù)學(xué)難題跟基礎(chǔ)知識的聯(lián)系的把握能力的訓(xùn)練以及引導(dǎo)學(xué)生迅速正確分析出解題思路這一點(diǎn)上，并從中培養(yǎng)學(xué)生解題的知覺思維。應(yīng)當(dāng)先把難題進(jìn)行分類。然后進(jìn)行分類訓(xùn)練。在課堂上不必每題都要學(xué)生詳細(xì)寫出解題過程，一類題目寫一兩題就行了，其他只要求學(xué)生能較快地寫出解題思路，回去再寫出詳細(xì)的解題過程。

我認(rèn)為可以將初中考試中的難題分以下幾類進(jìn)行專題復(fù)習(xí)：

第一類：綜合多個(gè)知識點(diǎn)或需要一定解題技巧才能解的難題

這類難題的數(shù)學(xué)關(guān)鍵要求學(xué)生運(yùn)用分析和綜合的方法，運(yùn)用一些數(shù)學(xué)思想和方法，以及一定的解題技巧來解答。

例2.某公司在甲、乙兩座倉庫分別有農(nóng)用車12輛和6輛，現(xiàn)需要調(diào)往A縣10輛，調(diào)往B縣8輛。已知從甲倉庫調(diào)運(yùn)一輛到A縣和B縣的運(yùn)費(fèi)分別為40元和80元；從乙倉庫調(diào)運(yùn)一輛農(nóng)用車到A縣B縣的運(yùn)費(fèi)分別為30元和50元。

（1）設(shè)從乙倉庫調(diào)往A縣農(nóng)用車x輛，求總運(yùn)費(fèi)y的關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若要求總運(yùn)費(fèi)不超過900元。問共有幾種調(diào)運(yùn)方案？（3）求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案，最低運(yùn)費(fèi)是多少元？

教學(xué)引導(dǎo)：（1）先把題目的數(shù)量關(guān)系弄清楚，引導(dǎo)學(xué)生把本題數(shù)量關(guān)系表格化。（2）引導(dǎo)學(xué)生寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式后，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解答題目的后兩問。

附解答過程：

解：（1）y=30x+50（6-x）+40（10-x）+80（2+x）=20x+860

（2）20x+860≤900，x≤2，∵0≤x≤6，∴0≤x≤2

因?yàn)閤為非負(fù)數(shù)，所以x 的取值為0，1，2。因此，共有3種調(diào)運(yùn)方案。

（1）因?yàn)閥=20x+860，且x的取值為0，1，2。由一次函數(shù)的性質(zhì)

得x=0時(shí)，y的取值最小，y的最小值=860（元）。此時(shí)的調(diào)運(yùn)方案是：乙倉庫的6輛全部運(yùn)往B縣，甲倉庫的2輛運(yùn)往B縣，10輛運(yùn)往A縣，最低運(yùn)費(fèi)為860元。

評議：本題運(yùn)用函數(shù)的思想，可以給解題帶來了簡便。

第二類：開放性、探索性數(shù)學(xué)難題。

無論是開放性還是探索性的數(shù)學(xué)難題，教學(xué)重點(diǎn)是教會(huì)學(xué)生把握問題的關(guān)鍵。

例3.請寫出一個(gè)圖象只經(jīng)過二、三、四象限的二次函數(shù)的解析式。

教學(xué)點(diǎn)撥：二次函數(shù)的圖象只經(jīng)過二、三、四象限，就是不能經(jīng)過第一象限，即當(dāng)x>0時(shí)，y<0.什么樣的解析式的二次函數(shù)必有x>0時(shí)y<0，如：y=x2-2x-3）

第三類：新題型

初中考試題型再新也離不開初中的基礎(chǔ)知識，所以解這類題的關(guān)鍵是從題意中找到與題目相關(guān)的基礎(chǔ)知識，然后運(yùn)用與之相關(guān)的基礎(chǔ)知識，通過分析、綜合、比較、聯(lián)想，找到解決問題的方法。

例4.電腦CPU芯片由一種叫“單晶硅“的材料制成，未切割前的單晶硅材料是一種薄形圓片，叫“晶圓片”。現(xiàn)為了生產(chǎn)某種CPU芯片，需長、寬都是1cm的正方形小硅片若干。如果晶圓片的直徑為10.05cm。問一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張？請說明你的方法和理由。（不計(jì)切割損耗）

教學(xué)引導(dǎo)：本題人人會(huì)入手做，但要按一定的順序切割才能得到正確答案。

方法：（1）先把10個(gè)小正方形排成一排，看成一個(gè)長條形的矩形，這個(gè)矩形剛好能放入直徑為10.05 cm的圓內(nèi)，如矩形ABCD.

∵AB=1，BC=10，∴對角線AC2=102+12=100+1=101<10.052.

（2）在矩形ABCD的上方和下方可以分別放入9個(gè)小的正方形。

這樣新加入的兩排小正方形連同ABCD的一部分可以看成矩形EFGH，其長為9，高為3，對角線EG2=92+32=81+9=90<10.052.但新加入的這兩排小正方形不能是每排10個(gè)，因?yàn)?02+32=100+9>10.052.

（3）同理，∵82+52=64+25=89<10.05，而92+52=81+25=106>10.052所以，可以在矩形EFGH的上面和下面分別在排下8個(gè)小正方形，那么現(xiàn)在小正方形已有5層。

（4）再在原來的基礎(chǔ)上，上下再加一層，共7層，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的這兩排，每排都可以是7個(gè)但不能是8個(gè)。因?yàn)?2+72=49+49=98<10.052而82+72=64+49=113>10.052

（5）在7層的基礎(chǔ)上，上下再加入一層，新矩形的高可以看作是9，每排可以是4個(gè)，但不能是5個(gè)。∵42+92=16+81=97<10.052，而52+92=25+81=106>10.052

現(xiàn)在總共排了9層，高度達(dá)到了9，上下各剩下約0.5cm的空間，因?yàn)榫匦蜛BCD的位置不能調(diào)整，故再也放不下1個(gè)正方形了。

所以，10+2×9+2×8+2×7+2×4=66（個(gè)）。

評議：本題解題的關(guān)鍵是①一排一排地放小正方形，②利用圓的內(nèi)接矩形的對角線就是圓的直徑的知識。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，講解難題的時(shí)候，學(xué)生都能理解，但讓學(xué)生再做另外一些難題的時(shí)候，學(xué)生又做不出來。這是因?yàn)椋覀冎皇前呀Y(jié)果告訴學(xué)生，學(xué)生解題的思維方式?jīng)]有得到訓(xùn)練。在難題的教學(xué)中，我們不能只把結(jié)論告訴學(xué)生，更重要的是要讓學(xué)生知道解題的思維方式，我們不要急于把題目的解法告訴學(xué)生，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生自己去解題，在解題的過程中尋找解題思路以及訓(xùn)練思維能力和創(chuàng)新能力，這也是新課標(biāo)的要求；我們應(yīng)當(dāng)把教學(xué)重點(diǎn)放在訓(xùn)練學(xué)生解題的思路上，在引導(dǎo)學(xué)生尋找解題思路的這一過程之中，使找到開鎖的鑰匙。