淺談職高求函數值域的幾種常見方法

徐寶珠

摘 要：函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用什么方法求函數的值域均應考慮其定義域。函數的值域及其求法是高考考查的重點內容之一，在高考中經常出現，占有一定的地位。而對于學生求函數值域是一個頭痛的問題，近年職高學生生源下降，學生的知識水平差異尤為突出，特別是像數學這種文化基礎課底子更差，求函數值域對于學生難度就更大了，于是本篇主要幫助學生總結幾種求函數值域的各種方法。

關鍵詞：函數值域 定義域 職高數學

中圖分類號：G421 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）02（c）-0066-01

1 基本函數法

對于基本函數的值域可通過它的圖像性質直接求解。如：一次函數、二次函數、反比例函數、指對函數。

2 配方法

對于形如或類的函數的值域問題，均可用配方法求解，一般適用于二次函數類型的函數。

例1：求函數的值域。

解：

3 換元法

適用于代數或三角換元，將所給函數轉換成易求值域的函數但得注意在還原過程中需注意還原后t的取值范圍。

例2：求函數的值域。

解：令則：

≥

即

4 分離常數法

適用于分式類型的函數，且在解題過程中注意變量的范圍。

例3：求函數的值域。

解：由題意可知函數的定義域為：

5 單調性法

主要適用于能夠判斷單調性的復合函數。確定函數在定義域（或某個定義域的子集）上的單調性求出函數的值域。

例4：求函數的值域。

解：（1）令則

≥3而是減函數

6 反解法

（利用反函數的原理）

例5：求函數的值域。

解：由題意可知函數的定義域為R

≥0

而函數可化為≥0

即

7 不等式法

利用基本不等式≥，用此法求函數值域時，要注意條件“一正，二定，三相等”.如利用≥求某些函數值域（或最值）時應滿足三個條件：（1）。（2）為定值。（3）取等號成立的條件，三個條件缺一不可。

但均值不等式，在適用中注意適用范圍。

例6：求函數的值域：。

解：

≥

當且僅當時，即時等號成立，

≥，所以元函數的值域為。

8 判別式法

一般轉化為含參數y的一元二次函數，注意二次項的系數。

例7：求函數的值域。

解：恒成立，函數的定義域為R。

由 得。

①當即時，；

②當即時，時，方程

恒有實根。

≥0 ≤≤5且.

原函數的值域為。

總之：求函數值域的常用方法問題上面主要利用配方法、換元法、分離常量法、單調性法、反解法、不等式法、判別式法等，無論用什么方法求函數的值域都是相互聯系有規律可循的，只要我們靈活的掌握數學基礎知識、思想和方法，并根據所給函數解析式的特征，結合定義域，靈活的選擇適當方法，起到簡化運算過程，避繁就簡作用。

參考文獻

[1] 丘維聲，主編.高中數學（第一冊）：基礎版[M].高等教育出版社.

[2] 程利偉，主編.對口升學復習數學教材[M].珠海出版社.