5x是一個“整體”嗎

張艷紅

摘 要：以往遇到解方程36÷5x=2，數學老師們毫無疑問地把5x看做一個整體。但是筆者在金陵晚報上看到了相關的討論，認為5x是5×x的簡寫，按照四則運算的順序應該是先除后乘，引起筆者的思考，為什么要把5x看作一個整體。經過多方求助，明確了把“5x”看作一個整體的原因。和“從左到右”和“先乘除、后加減”一樣，都是一種人為的關于數學符號語言的規定，目的在于盡可能減少算式中為說明各個運算的順序所用的括號。通過對這一問題的探索，使筆者明白數學教學應留心有關數學史料，從而幫助學生盡可能的理解某一規定背后的原因，讓學生更好地認識和理解這樣的規定，體會規定的合理性與必然性。

關鍵詞：約定俗成；四則運算；括號；5x；整體

在數學六年級中解方程36÷5x=2，都是把5x看成除數，解答方法如下：36÷5x=2，5x=36÷2，5x=18，x=3.6；但是一次在金陵晚報上我看到過類似此題的解法，引發了小學、中學甚至大學老師們的爭論，說5x是5×x的簡寫，這道題完整的寫法應該是36÷5×x=2，根據同級運算應該按照從左到右的順序，應該先計算36÷5=7.2，然后是7.2x=2，x等于十八分之五。但是和同事交流的時候，沒有人同意報紙上的看法，大家還是說要把5x看作一個整體進行計算，所以我很疑惑，到底誰對誰錯呢？

我首先想到的是向教研員求助，得到的回復是：對于這樣的寫法沒有明確的具體規定，按習慣是把5x看作一個數。在中學的方程中是不會出現這樣的形式的，有除法時都是寫成分數形式，他建議回避，有除法直接寫成分數形式。看了回復，我對如何在課堂上教學有了明確的思路，要把5x看作一個整體。

但為什么要把5x看作一個整體呢？我還是沒有找到明確的依據，接下來，我求助特級教師，特級老師告訴我，把5x看成一個整體，這在小學數學中是約定俗成的。約定俗成是指事物的名稱或社會習慣往往是由人民群眾經過長期社會實踐而確定或形成的。 《荀子·正名》中說：“名無固宜，約之以命，約定俗成謂之宜，異于約則謂之不宜。”為了進一步弄清為什么把5x看作一個整體是約定俗成的，我翻查資料，終于在《小學數學疑難問題研究》中“四則混合運算為什么要規定從左到右、先乘除后加減？”一文中得到了啟示。

加減乘除四種運算統稱“四則運算”。如果一個算式中包含兩種或兩種以上的這些運算，則稱為四則混合運算算式。一般的，有了結合符號（如，各種括號），我們就可以根據需要，表達出四則混合運算算式所要求的任何一種運算順序。如下面的算式包含三個運算15×4+16÷4，適當運用括號，可以表示出實施這三個運算的任何一種順序。三個運算共有六種不同的運算順序。下面是其中的三種：先乘后加再除，[（15×4）+16]÷4，先除后加再乘，15×[4+（16÷4）]，先加再乘后除，[15×（4+16）]÷4。

在表達四則混合運算的算式中各個運算應有的順序時，為了盡可能少用一些括號，人們對運算順序做出了以下幾點規定：

（1）“從左到右”：在一個沒有括號的算式中，如果只有加減法，或者只有乘除法，則從左到右依次計算；

（2）“先乘除、后加減”：如果沒有括號的算式中既有加減法，又有乘除法，則先做乘除法，再做加減法；

（3）在一個有括號的算式中，先按上述規定計算括號里面的式子；

（4）有幾層括號時，從里到外依次計算。

由此，上述三個四則混合運算的算式可以化簡為：先乘后除再加，（15×4+16）÷4，先除后加再乘，15×（4+16÷4），先加再乘后除，15×（4+16）÷4，另三種運算順序可分別表達為：先除后乘再加，15×4+（16÷4）；先乘后除再加，15×4+16÷4；先加后除再乘，15×[（4+16）]÷4。這六種不同的運算順序平均只需用一對括號就能表達清楚。如果沒有這些規定，平均就得用兩對括號才行。

至于為什么要規定“從左到右”，而不是“從右到左”，可能是為了使這種沒有括號并且只有加減法或者只有乘除法的算式的運算順序與算式的書寫順序相同。于是，“{[（a+b）-c]+]}-e”中的括號可以全部省略，寫成a+b-c+d-e；但算式“a+{b-[c+（d+e）]}”要保持原定的運算順序，其宗的三對括號一對也不能省。

規定了“先乘除，后加減”之后，（15×4）+（16÷4）中的括號可以省略，把它寫成15×4+16÷4；而（15+4）×（16-4）中的括號則不能省。如果當初的規定不是“先乘除、后加減”，而是“先加減，后乘除”，則前一個算式中的括號不能省，后一算式中的括號可以省去。

“從左到右”和“先乘除、后加減”都不是以客觀規律為基礎的定理或定律，而是一種人為的關于數學符號語言的規定，目的在于盡可能減少算式中為說明各個運算的順序所用的括號。

像“從左到右”和“先乘除、后加減”這樣人為規定的知識，在數學知識體系中占有一定的份額，教師也都因為其“規定性”，覺得沒有什么道理可講，就直接告訴學生了。這樣的教學，表面上看，學生也能接受教師的“告訴”，但時間長了，學生習慣了接受，就會產生這樣的想法：老師這樣告訴我們的，我們就這樣去記，記住了就能做對題目了。顯然，從促進學生持續發展的角度來看，這樣的教學就遠遠不夠了。

其實，很多數學規定從產生到被普遍認可都有一個曲折而漫長的過程，怎樣規定更合理都有其內在的原因，并不是輕描淡寫的一句“數學上規定”就能解釋的。我們需要留心有關數學史料，提高自身文化專業知識，當學生有可能理解某一規定背后的原因時，不妨給學生創造條件，讓學生更好地認識和理解這樣的規定，體會規定的合理性與必然性。

參考文獻：

[1]方金秋.小學數學疑難問題解答[M].廣州：廣東人民出版社，1983.

[2]李曉亮.荀子[M].濟南：齊魯出版社，2006.

（作者單位 江蘇省南京市棲霞區實驗小學）