等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比

白春雷

摘 要：類比是提出新問題和做出新發(fā)現(xiàn)的一個重要源泉。作為高考重點知識的等差、等比數(shù)列之間有較強的相似性。從類比中發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，在類比中發(fā)現(xiàn)異同點，發(fā)現(xiàn)問題的實質(zhì)。

關(guān)鍵詞：類比；數(shù)列；隱含條件

鄭信教授認為應(yīng)用類比的關(guān)鍵就在于如何把關(guān)于對象在某些方面一致性的含糊認識說清楚。本文通過等差數(shù)列與等比數(shù)列之間相似性的解說來明確二者清晰的相似性。

1.從熟悉的知識中尋求運算方面的相似性。

等差數(shù)列 等比數(shù)列

從以上比較可看到如下的相似性：

d→p；加法→乘法；

減法→除法；乘法→乘方。

2.答疑解惑

的除法應(yīng)相似于等比的開方嗎？

解：d與q之間的相似性可通過下面的兩個例題來說明：

例題1.在等差數(shù)列{an}中，若a10=0則有等式a1+a2++an=a1+a2+…+a19-n（n<19，n∈N+），類比上述性質(zhì)相應(yīng)的在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則有等式a1·a2…an=a1·a2…a19-n成立。

例題2.在等差數(shù)列{an}中，“d≠0”是“若m+n=p+q，則am+an=ap+aq（m、n、p、qn∈N+）”成立的充要條件，類比上述性質(zhì)相應(yīng)的在等比數(shù)列中，命題“若am·an=ap·aq，則m+n=p+q（m、n、p、q∈N+）”成立的充要條件是“公比q≠±1”。

由此可知公差d=0，一般相似于等比數(shù)列的公比q=±1（有時d也可能相似于q=1或q=-1中的一個）。但等差數(shù)列中的“0”與等比數(shù)列中的“1”不一定只對應(yīng)公差與公比。

等比數(shù)列的開方是相似于等差數(shù)列的除法。

3.突戰(zhàn)演練

類比雖是偉大的引路人，也可能產(chǎn)生美麗的錯誤，它的或然性與創(chuàng)造性緊密聯(lián)系在一起。“大膽地猜想，小心地求證”可防止類比“惹禍”。

（作者單位 江蘇省徐州市張集中等專業(yè)學(xué)校）