利用設而不求解題

王玉建

摘 要： 在解析幾何解題過程中經常遇到中點問題，多種解法中，設而不求是解此類問題的較為簡便解法。即設出以某點為中點的弦的兩個端點，代入曲線方程，兩方程相減，目的湊斜率湊中點，這種方法簡稱設而不求，在解決中點問題中有廣泛的應用.

關鍵詞： 設而不求 中點問題 解析幾何

1.已知弦中點求直線方程

例1：在橢圓3x +4y =12內有一點P（1，1），求以P為中點的弦所在的直線方程.

解析：設以P為中點的弦的兩個端點A（x ，y ），B（x ，y ），顯然x ≠x

則3x +4y =12（1）

3x +4y =12（2）

（1）-（2）得：3（x +x ）（x -x ）+4（y +y ）（y -y ）=0

∵x +x =2，y +y =2，直線斜率k=-

∴所求直線方程為3x+4y-7=0

本題屬于已知中點求出斜率，進而求出直線方程.

2.求過定點的弦的中點的軌跡方程

例2：求在橢圓3x +4y =12內過一點P（0，1）弦的中點的軌跡方程.

解析：設弦的中點M（x，y）兩端點A（x ，y ），B（x ，y ）

則3x +4y =12（1）

3x +4y =12（2）

（1）-（2）得3（x +x ）（x -x ）+4（y +y ）（y -y ）=0

3x =x 時，M（0，0）

當x ≠x 時，3×2x+4×2y×k =0

又∵k =k =

∴3x+4y× =0

即3x +4y -4y=0

M（0，0）亦適合3x +4y -4y=0

∴所求過P（0，1）的弦的中點的軌跡方程為3x +4y -4y=0.

本題屬于過定點弦中點軌跡問題，關鍵在于斜率的表示方法.

3.已知斜率時，求弦的軌跡方程

例3：在橢圓x +2y =2內，求斜率為2的弦的中點的軌跡方程.

解析：設弦的中點M（x，y），兩端點P（x ，y ），Q（x ，y ）

則x +2y =2①

x +2y =2②

①-②得（x +x ）（x -x ）+2（y +y ）（y -y ）=0

∴x+4y=0

由x+4y=0 x +2y =2得x=±

∴所求的軌跡方程為x+4y=0（-

本題屬于已知斜率求中點軌跡問題，利用設而不求很容易解決.

4.利用設而不求，解決探索性問題

例4：在雙曲線 -y =1內，是否存在以P（1，1）為中點的弦，若存在求出來，若不存在說明理由.

解析：設存在以P（1，1）為中點的弦的兩端點P（x ，y ），Q（x ，y ）

則x -2y =2①

x -2y =2②

①-②得：（x +x ）（x -x ）+2（y +y ）（y -y ）=0

∵x +x =2，y +y =2，直線斜率k=

∴得直線方程為x-2y+1=0

由x-2y+1=0與 -y =1相結合得x -2x-5=0，判別式δ>0滿足題意條件.

∴所求的弦所在直線方程為x-2y+1=0.

本題是探索性問題，雙曲線中點問題中最后需要利用判別式△進行檢驗，若△≤0則說明滿足條件直線方程不存在.

5.利用設而不求解決對稱問題

例5：若拋物線y=ax -1上恒有關于直線x+y=0對稱的相異兩點A，B.求a的取值范圍.

設AB的中點M（x ，y ），兩點A（x ，y ），B（x ，y ）

則y =ax -1①

y =ax -1②

①-②得y -y =a（x +x ）（x -x ）

∴x = ，y =-

∵M（x ，y ）在拋物線內部

∴x < ，從而得到a> .

本題屬于對稱問題，找出中點坐標表達式，根據中點在拋物線內部限定，從而求出a的范圍，可見在解決中點問題設而不求有很重要的作用.